數(shù)學(xué)建模課件lesson3初等模型

1、初 等 模 型一、公平的席位分配二、動物的身長和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型一、公平的席位分配1、問題： 某學(xué)校有3個系共200名學(xué)生，其個甲系100名，乙系60名、丙系40名若學(xué)生代表會議設(shè)20個席位，公平而又簡單的席位分配辦法是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應(yīng)占有10、6、4個席位。 現(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，若仍按比例分配席位，出現(xiàn)小數(shù)按取整原則，重新計算后，甲乙丙三系的席位為10、6、4席。 現(xiàn)在的問題是：因為有20個席位的代表會議在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的局面，會議決定下屆增加1席他們按照上述方法重新分配席位，計算結(jié)果是：甲乙丙三系的席位為11、7

2、、3席。顯然這個結(jié)果對丙系太不公平了、因為總席位增加1席而丙系卻由4席減為3席按比例分配方案的計算結(jié)果 要解決這個問題必須舍棄所謂慣例，找到衡量公平分配席位的指標(biāo)，并由此建立新的分配方法。2、指標(biāo)體系的建立（1）按比例分配不公平的原因 設(shè)A、B兩方人數(shù)分別P1和P2，占有席位分別是n1和n2，則兩方每個席位代表的人數(shù)分別為P1/n1和P2/n2。顯然僅當(dāng)P1/n1=P2/n2，此時席位的分配才是公平的。但是因為人數(shù)和席位都是整數(shù)，所以通常P1/n1P2/n2，這時席位分配不公平，并且Pi/ni(i=1,2)數(shù)值較大的一方吃虧，或者說對這方不公平。 2、指標(biāo)體系的建立（2）不公平程度的衡量： 不

3、妨設(shè)P1/n1P2/n2，不公平程度用以下數(shù)值衡量：絕對程度： P1/n1 P 2/n2 評價：無法區(qū)分兩種程度明顯不同的不公平情況 但常識告訴我們，這種情況的公平席位度 比起前面已大為改善。改進： 相對標(biāo)準(zhǔn)2、指標(biāo)體系的建立（3）相對標(biāo)準(zhǔn)的建立：符號假設(shè)同上若： 定義 為 A相對不公平值若： 定義 為 B相對不公平值方案原則：使這些指標(biāo)值盡可能小3、分配方案的確定假設(shè)： A、B兩方已分別占有n1、n2席，利用相對不公平值rA和rB討論，當(dāng)總席位增加1席時，應(yīng)該分配給A還是B？ 不失一般性可設(shè) ，即對A不公平當(dāng)再分配1個席位時，關(guān)于P i/n i(i1，2)的不等式可能有以下3種情況：（1）

4、，說明即使A方增加1席，仍然對A 不公平，所以這一席顯然應(yīng)分給A方。3、分配方案的確定WHY？3、分配方案的確定歸納： 因為公平分配席位的原則是使得相對不公平值盡可能地小，所以如果 則這1席應(yīng)分給A方；反之則分給B方。模型： 當(dāng)上式成立時增加的l席應(yīng)分給A方。反之則分給B。4、模型的推廣Q值法推廣有m方分配席位的情況： 設(shè)第i方人數(shù)為P i ，已占有n i個席位，i=1，2，.，m。當(dāng)總席位增加1席時，計算： 應(yīng)將這席分給Q值最大的一方。這種席位分配方法稱Q值法。5、本問題求解： 下面用Q值法重新討論本節(jié)開始提出的甲乙丙三系分配21個席位的問題。（1） 先按照比例計算結(jié)果將整數(shù)部分的19席分配

5、完畢， 有n1=10，n26，n33（2）然后再用Q值方法分配第20席和第21席： 第20席： 第21席：于是這一席應(yīng)分給丙系。評論這種方法公平嗎？Q值所反映的對第i方的不公平程度： 記p為總?cè)藬?shù)即pP i，n為總席位數(shù)，且設(shè)第i方席位n i為按人數(shù)比例計算的整數(shù)部分即：于是：.nppnii 上式兩端分別是增加的1席分給第i方和不分給第i方時，該方每席位所代表的人數(shù)，這兩個值越大，對第i方越不公平。而Qi恰是它們的幾何平均值的平方，故Qi能反映對第i方酌不公平程度，增加酌1席應(yīng)分給Q值最大的一方。關(guān)于公平分席的另一方案新問題：學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿臺，333人住B 宿舍，432

6、人住在C宿舍學(xué)生們要組織一個10人的委員 會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)。 dHondt方法： 將A、B、C各宿舍的人數(shù)用1，2，3，.正整數(shù)相除其商數(shù)如下表： 將所得商數(shù)從大到小取前10個（10為席位數(shù))，在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2、3、5，這就是3個宿臺分配的席位。這種方法有道理嗎?初 等 模 型一、公平的席位分配二、動物的身長和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型二、動物的身長和體重問題的提出： 四足動物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？ 這個問題有一定的實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。

7、 動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關(guān)系。1、問題的分析與假設(shè) 把四足動物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。 將這種圓柱體的軀干類比作根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理： 動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進一步分析b/l的意義3、生物學(xué)角度分析b/lb/l生理學(xué)意義： b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法

8、支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。生物學(xué)進化角度： 經(jīng)過長期進化，對每一種動物而言b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式： （前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論： 即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。初 等 模 型一、公平的席位分配二、動物的身長和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型三、劃艇比賽問題提出： 賽艇是一種靠槳手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。八人艇還分

9、重量級(槳手平均體重86公斤)和輕量級(平均體重73公斤)。各種艇雖大小不同，但形狀相似TAMcMahon比較了各種賽艇1964一970年四次2000米比賽的最好成績(包括1964年和1968年的兩次奧運會和兩次世界錦標(biāo)賽)，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)致的差別，他認(rèn)為比賽成績與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個模型來解釋這種關(guān)系。1、數(shù)據(jù)資料各種艇的比賽成績和規(guī)格問題：比賽成績與槳手?jǐn)?shù)量間存在某種聯(lián)系預(yù)測：八人艇重量級組的成績比輕量級組約好5%2、問題分析 賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。（1）艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進。（2）槳手越多劃艇前進的動力越大。（

10、3）艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大， 使阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的 動力。建模目的：尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(航行定距離所 需時間)之間的數(shù)量規(guī)律。3、如何抽象問題假設(shè)？（1）如果假設(shè)艇速在整個賽程中保持不變，那么只需構(gòu) 造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇 速之間的關(guān)系。注意到在實際比賽中槳手在極短的 時間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個速度保持 到終點，那么上述假設(shè)也是合理的。（2）從表中可以看出，槳手?jǐn)?shù)n增加時，艇的尺寸l、b及 艇重w0都隨之增加，但比值l/b和wo/n變化不大。若 l/b常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面 積與排水體積之間的關(guān)系。（3

11、）若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與 槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對槳手體重、劃槳功 率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡化且合理的假 定，才能運用合適的物理定律建立需要的模型。4、問題假設(shè)（1）各種艇的幾何形狀相同，l/b為常數(shù)；艇重w0與 槳手?jǐn)?shù)n成正比，這是艇的靜態(tài)特性（2）艇速v是常數(shù)，前進時受的阻力f與sv2成正比(s 是艇浸沒部分面積)，這是艇的動態(tài)特性。（3）所有槳手(除八人艇輕量級組外)的體重都相同， 記作w；在比賽中每個槳手的劃槳功率P保持不 變，且P與w成正比。5、模型的構(gòu)成（1）有n名槳手的艇的總功率nP與阻力f和速度v的乘積 成正比，即：（2）由假設(shè)2、3，有：

12、（3）由假設(shè)1：各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積s 與艇的某特征尺寸c的平方成正比，則艇排水體積 A必與c的立方成正比，于是有：（4）根據(jù)艇重w0與槳手?jǐn)?shù)n成正比，所以艇和槳手的總 重量w/w0十nw也與n成正比(八人艇輕量級組除外)， 即：（5）由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量w/成正比， 即：6、模型比賽成績與速度的關(guān)系：91 nt速度與人數(shù)、重量及艇浸沒面積的關(guān)系：7、模型應(yīng)用于本問題 對于八人艇的重量級組和輕量級組，分別用vh，vl，wh，wl，sh，sl和th，tl表示其速度、槳手體重、艇浸沒面積和比賽時間。關(guān)系1：因為n相同，所以： 另外，重量級組槳手體重大，下沉力大，會增加艇

13、浸沒面積，但重量級組的艇身略大，上浮力大，也會抵消一部分下沉力，減少浸沒面積，因而若記 ，則將非常接近于1(略小于1)，所以：（w173，w286 ， ）8、模型驗證（1）前面分析的模型： 比賽成績與速度的關(guān)系：91 nt（2）數(shù)據(jù)擬合t與n的模型：9、堂上討論題 d3-01： 你還能想出有理由設(shè)法收集并可使賽艇速度模型改進的數(shù)據(jù)嗎？d3-02： 有人建議：如果負(fù)載時輕量級八人艇是重量級八人艇的比例模型（即尺寸比例是1:（1.8）1/3），5%的優(yōu)勢便消失。你同意嗎？為什么？初 等 模 型一、公平的席位分配二、動物的身長和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型1、問題的提出 在意外事件發(fā)生

14、的時候，建筑物內(nèi)的人員是否能有效疏散撤離是人們普遍關(guān)心的問題。尤其是911事件發(fā)生后。對于個特定建織物，人們關(guān)心疏散路線和全部疏散完畢所用時間等。這個問題可以通過反復(fù)的實際演習(xí)來解決。但多次反復(fù)的演習(xí)實際上是不可能的，理想的辦法是通過理論上的分析來得到。 考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間教室(下圖)學(xué)生們可以沿教室外的走道一直走到盡頭的出口，試用數(shù)學(xué)模型來分析人員疏散所用時間。2、假設(shè)（1）為簡單起見，可設(shè)疏散時大家秩序井然地排成 單行均勻穩(wěn)定地向外走，則疏散時隊列中人與 人之間的距離為常數(shù)，記為d米；（2）設(shè)逃離是勻速行進的，速度為v米秒；3、符號體系d 疏散時人與人的距離v 疏散時

15、人員的行進速度n i +1 第n i個課室的人數(shù)L i 第i個課室門口到第i 1 個課室門口的距離t 0 疏散時第一個到達教室門口所用的時間 4、模型的分析與建立（1） 考慮靠近出口的第一個教室內(nèi)人員的疏散。這個教 室撤空的時間是： 因而該室最后一人到達出口，全部撤離的時間是：01tvdnvLtvdn101)(（2）其他課室類似考慮5、考慮重疊的情況 在單行撤離的假設(shè)下還應(yīng)該考慮到這兩支疏散隊伍可能出現(xiàn)的重疊的情形，也就是說，當(dāng)?shù)诙€教室的第一個撤離者到達第一個教室的門口A時，第一個教室內(nèi)的人還沒有疏散完畢，這時如果兩支隊伍同時行進勢必造成混亂，因此需要等待第一個教室撤空以后第二個教室的隊伍再

16、繼續(xù)前進。這鐘情形出現(xiàn)的條件是：210201LdntvLtvdn或6、兩個課室全部撤離所用時間的模型02110221) 1(tvdnnLtvdnLLT問題：三個課室呢？初 等 模 型一、公平的席位分配二、動物的身長和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型1、問題 在一個由紅綠燈管理下的十字路口，如果綠燈亮15秒鐘，問最多可有多少汽車通過該交叉路口？2、情況分析 這個問題提得籠統(tǒng)含混，因為交通燈對十字路口的控制方式很復(fù)雜，特別是車輛左、右轉(zhuǎn)彎的規(guī)則，不同的國家都不一樣通過路口的車輛的多少還依賴于路面上汽車的數(shù)量以及它們的行駛的速度和方向。因而這里在一定的假設(shè)之下把問題簡化。3、問題假設(shè)（1）

17、十字路口的車輛穿行秩序良好，不會發(fā)生阻塞。（2）所有車輛都是直行穿過路口，不拐彎行駛，并 且僅考慮馬路一側(cè)或單行線上的車輛。（3）所有的車輛長度相同，為L米，并且都是從靜止 狀態(tài)勻加速啟動。（4）紅燈下等待的每相鄰兩輛車之間的距離相等， 為D米。（5）前一輛車起動后，下一輛車起動的延遲時間相 等，為T秒。4、坐標(biāo)體系 用x軸表示車輛行駛的道路，原點O表示交通燈的位置，x軸的正向是汽車行駛的方向以綠燈開始亮為起始時刻。5、定理應(yīng)用（1）勻速的運動規(guī)律： 其中S1(t)為t時刻汽車在x軸上的位置。（2）城市的最高限速v*，綠燈亮后汽車將起動一直加 速到可能的最高速度，并以這個速度向前行駛。（3）第n輛車在t時刻的位置：2)(21attS2)()0()(2nnnttaStS 其中Sn(0)是啟動前汽車位置，tn是該車啟動時刻有：TntDLnSnn) 1()(1()0(6、模型建立（1）汽車加速時間：（2）綠燈亮后汽車行駛規(guī)律：nntavt