數(shù)學(xué)建模課件lesson3初等模型

1、初 等 模 型一、公平的席位分配二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型一、公平的席位分配1、問題： 某學(xué)校有3個(gè)系共200名學(xué)生，其個(gè)甲系100名，乙系60名、丙系40名若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，公平而又簡(jiǎn)單的席位分配辦法是按學(xué)生人數(shù)的比例分配，顯然甲乙丙三系分別應(yīng)占有10、6、4個(gè)席位。 現(xiàn)在丙系有6名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲乙兩系，若仍按比例分配席位，出現(xiàn)小數(shù)按取整原則，重新計(jì)算后，甲乙丙三系的席位為10、6、4席。 現(xiàn)在的問題是：因?yàn)橛?0個(gè)席位的代表會(huì)議在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的局面，會(huì)議決定下屆增加1席他們按照上述方法重新分配席位，計(jì)算結(jié)果是：甲乙丙三系的席位為11、7

2、、3席。顯然這個(gè)結(jié)果對(duì)丙系太不公平了、因?yàn)榭傁辉黾?席而丙系卻由4席減為3席按比例分配方案的計(jì)算結(jié)果 要解決這個(gè)問題必須舍棄所謂慣例，找到衡量公平分配席位的指標(biāo)，并由此建立新的分配方法。2、指標(biāo)體系的建立（1）按比例分配不公平的原因 設(shè)A、B兩方人數(shù)分別P1和P2，占有席位分別是n1和n2，則兩方每個(gè)席位代表的人數(shù)分別為P1/n1和P2/n2。顯然僅當(dāng)P1/n1=P2/n2，此時(shí)席位的分配才是公平的。但是因?yàn)槿藬?shù)和席位都是整數(shù)，所以通常P1/n1P2/n2，這時(shí)席位分配不公平，并且Pi/ni(i=1,2)數(shù)值較大的一方吃虧，或者說對(duì)這方不公平。 2、指標(biāo)體系的建立（2）不公平程度的衡量： 不

3、妨設(shè)P1/n1P2/n2，不公平程度用以下數(shù)值衡量：絕對(duì)程度： P1/n1 P 2/n2 評(píng)價(jià)：無法區(qū)分兩種程度明顯不同的不公平情況 但常識(shí)告訴我們，這種情況的公平席位度 比起前面已大為改善。改進(jìn)： 相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)2、指標(biāo)體系的建立（3）相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的建立：符號(hào)假設(shè)同上若： 定義 為 A相對(duì)不公平值若： 定義 為 B相對(duì)不公平值方案原則：使這些指標(biāo)值盡可能小3、分配方案的確定假設(shè)： A、B兩方已分別占有n1、n2席，利用相對(duì)不公平值rA和rB討論，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，應(yīng)該分配給A還是B？ 不失一般性可設(shè) ，即對(duì)A不公平當(dāng)再分配1個(gè)席位時(shí)，關(guān)于P i/n i(i1，2)的不等式可能有以下3種情況：（1）

4、，說明即使A方增加1席，仍然對(duì)A 不公平，所以這一席顯然應(yīng)分給A方。3、分配方案的確定WHY？3、分配方案的確定歸納： 因?yàn)楣椒峙湎坏脑瓌t是使得相對(duì)不公平值盡可能地小，所以如果 則這1席應(yīng)分給A方；反之則分給B方。模型： 當(dāng)上式成立時(shí)增加的l席應(yīng)分給A方。反之則分給B。4、模型的推廣Q值法推廣有m方分配席位的情況： 設(shè)第i方人數(shù)為P i ，已占有n i個(gè)席位，i=1，2，.，m。當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算： 應(yīng)將這席分給Q值最大的一方。這種席位分配方法稱Q值法。5、本問題求解： 下面用Q值法重新討論本節(jié)開始提出的甲乙丙三系分配21個(gè)席位的問題。（1） 先按照比例計(jì)算結(jié)果將整數(shù)部分的19席分配

5、完畢， 有n1=10，n26，n33（2）然后再用Q值方法分配第20席和第21席： 第20席： 第21席：于是這一席應(yīng)分給丙系。評(píng)論這種方法公平嗎？Q值所反映的對(duì)第i方的不公平程度： 記p為總?cè)藬?shù)即pP i，n為總席位數(shù)，且設(shè)第i方席位n i為按人數(shù)比例計(jì)算的整數(shù)部分即：于是：.nppnii 上式兩端分別是增加的1席分給第i方和不分給第i方時(shí)，該方每席位所代表的人數(shù)，這兩個(gè)值越大，對(duì)第i方越不公平。而Qi恰是它們的幾何平均值的平方，故Qi能反映對(duì)第i方酌不公平程度，增加酌1席應(yīng)分給Q值最大的一方。關(guān)于公平分席的另一方案新問題：學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿臺(tái)，333人住B 宿舍，432

6、人住在C宿舍學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員 會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)。 dHondt方法： 將A、B、C各宿舍的人數(shù)用1，2，3，.正整數(shù)相除其商數(shù)如下表： 將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)（10為席位數(shù))，在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A、B、C行有橫線的數(shù)分別為2、3、5，這就是3個(gè)宿臺(tái)分配的席位。這種方法有道理嗎?初 等 模 型一、公平的席位分配二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重問題的提出： 四足動(dòng)物的軀干的長(zhǎng)度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？ 這個(gè)問題有一定的實(shí)際意義。比如，在生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)工作的人們，往往希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重。

7、 動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對(duì)生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價(jià)值的模型這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動(dòng)物身長(zhǎng)和體重間的比例關(guān)系。1、問題的分析與假設(shè) 把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長(zhǎng)度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。 將這種圓柱體的軀干類比作根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理： 動(dòng)物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對(duì)彈性粱的研究，有：進(jìn)一步分析b/l的意義3、生物學(xué)角度分析b/lb/l生理學(xué)意義： b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度。b/l太大，四肢將無法

8、支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費(fèi)。生物學(xué)進(jìn)化角度： 經(jīng)過長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)每一種動(dòng)物而言b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式： （前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論： 即體重與軀干長(zhǎng)度的4次方戊正比。這樣，對(duì)于某一種四足動(dòng)物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長(zhǎng)度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。初 等 模 型一、公平的席位分配二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型三、劃艇比賽問題提出： 賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。八人艇還分

9、重量級(jí)(槳手平均體重86公斤)和輕量級(jí)(平均體重73公斤)。各種艇雖大小不同，但形狀相似TAMcMahon比較了各種賽艇1964一970年四次2000米比賽的最好成績(jī)(包括1964年和1968年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo)賽)，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)致的差別，他認(rèn)為比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是建立了一個(gè)模型來解釋這種關(guān)系。1、數(shù)據(jù)資料各種艇的比賽成績(jī)和規(guī)格問題：比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量間存在某種聯(lián)系預(yù)測(cè)：八人艇重量級(jí)組的成績(jī)比輕量級(jí)組約好5%2、問題分析 賽艇前進(jìn)時(shí)受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。（1）艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。（2）槳手越多劃艇前進(jìn)的動(dòng)力越大。（

10、3）艇和槳手總重量的增加會(huì)使艇浸沒面積加大， 使阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的 動(dòng)力。建模目的：尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(jī)(航行定距離所 需時(shí)間)之間的數(shù)量規(guī)律。3、如何抽象問題假設(shè)？（1）如果假設(shè)艇速在整個(gè)賽程中保持不變，那么只需構(gòu) 造一個(gè)靜態(tài)模型，使問題簡(jiǎn)化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇 速之間的關(guān)系。注意到在實(shí)際比賽中槳手在極短的 時(shí)間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個(gè)速度保持 到終點(diǎn)，那么上述假設(shè)也是合理的。（2）從表中可以看出，槳手?jǐn)?shù)n增加時(shí)，艇的尺寸l、b及 艇重w0都隨之增加，但比值l/b和wo/n變化不大。若 l/b常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面 積與排水體積之間的關(guān)系。（3

11、）若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與 槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對(duì)槳手體重、劃槳功 率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡(jiǎn)化且合理的假 定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型。4、問題假設(shè)（1）各種艇的幾何形狀相同，l/b為常數(shù)；艇重w0與 槳手?jǐn)?shù)n成正比，這是艇的靜態(tài)特性（2）艇速v是常數(shù)，前進(jìn)時(shí)受的阻力f與sv2成正比(s 是艇浸沒部分面積)，這是艇的動(dòng)態(tài)特性。（3）所有槳手(除八人艇輕量級(jí)組外)的體重都相同， 記作w；在比賽中每個(gè)槳手的劃槳功率P保持不 變，且P與w成正比。5、模型的構(gòu)成（1）有n名槳手的艇的總功率nP與阻力f和速度v的乘積 成正比，即：（2）由假設(shè)2、3，有：

12、（3）由假設(shè)1：各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積s 與艇的某特征尺寸c的平方成正比，則艇排水體積 A必與c的立方成正比，于是有：（4）根據(jù)艇重w0與槳手?jǐn)?shù)n成正比，所以艇和槳手的總 重量w/w0十nw也與n成正比(八人艇輕量級(jí)組除外)， 即：（5）由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量w/成正比， 即：6、模型比賽成績(jī)與速度的關(guān)系：91 nt速度與人數(shù)、重量及艇浸沒面積的關(guān)系：7、模型應(yīng)用于本問題 對(duì)于八人艇的重量級(jí)組和輕量級(jí)組，分別用vh，vl，wh，wl，sh，sl和th，tl表示其速度、槳手體重、艇浸沒面積和比賽時(shí)間。關(guān)系1：因?yàn)閚相同，所以： 另外，重量級(jí)組槳手體重大，下沉力大，會(huì)增加艇

13、浸沒面積，但重量級(jí)組的艇身略大，上浮力大，也會(huì)抵消一部分下沉力，減少浸沒面積，因而若記 ，則將非常接近于1(略小于1)，所以：（w173，w286 ， ）8、模型驗(yàn)證（1）前面分析的模型： 比賽成績(jī)與速度的關(guān)系：91 nt（2）數(shù)據(jù)擬合t與n的模型：9、堂上討論題 d3-01： 你還能想出有理由設(shè)法收集并可使賽艇速度模型改進(jìn)的數(shù)據(jù)嗎？d3-02： 有人建議：如果負(fù)載時(shí)輕量級(jí)八人艇是重量級(jí)八人艇的比例模型（即尺寸比例是1:（1.8）1/3），5%的優(yōu)勢(shì)便消失。你同意嗎？為什么？初 等 模 型一、公平的席位分配二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型1、問題的提出 在意外事件發(fā)生

14、的時(shí)候，建筑物內(nèi)的人員是否能有效疏散撤離是人們普遍關(guān)心的問題。尤其是911事件發(fā)生后。對(duì)于個(gè)特定建織物，人們關(guān)心疏散路線和全部疏散完畢所用時(shí)間等。這個(gè)問題可以通過反復(fù)的實(shí)際演習(xí)來解決。但多次反復(fù)的演習(xí)實(shí)際上是不可能的，理想的辦法是通過理論上的分析來得到。 考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間教室(下圖)學(xué)生們可以沿教室外的走道一直走到盡頭的出口，試用數(shù)學(xué)模型來分析人員疏散所用時(shí)間。2、假設(shè)（1）為簡(jiǎn)單起見，可設(shè)疏散時(shí)大家秩序井然地排成 單行均勻穩(wěn)定地向外走，則疏散時(shí)隊(duì)列中人與 人之間的距離為常數(shù)，記為d米；（2）設(shè)逃離是勻速行進(jìn)的，速度為v米秒；3、符號(hào)體系d 疏散時(shí)人與人的距離v 疏散時(shí)

15、人員的行進(jìn)速度n i +1 第n i個(gè)課室的人數(shù)L i 第i個(gè)課室門口到第i 1 個(gè)課室門口的距離t 0 疏散時(shí)第一個(gè)到達(dá)教室門口所用的時(shí)間 4、模型的分析與建立（1） 考慮靠近出口的第一個(gè)教室內(nèi)人員的疏散。這個(gè)教 室撤空的時(shí)間是： 因而該室最后一人到達(dá)出口，全部撤離的時(shí)間是：01tvdnvLtvdn101)(（2）其他課室類似考慮5、考慮重疊的情況 在單行撤離的假設(shè)下還應(yīng)該考慮到這兩支疏散隊(duì)伍可能出現(xiàn)的重疊的情形，也就是說，當(dāng)?shù)诙€(gè)教室的第一個(gè)撤離者到達(dá)第一個(gè)教室的門口A時(shí)，第一個(gè)教室內(nèi)的人還沒有疏散完畢，這時(shí)如果兩支隊(duì)伍同時(shí)行進(jìn)勢(shì)必造成混亂，因此需要等待第一個(gè)教室撤空以后第二個(gè)教室的隊(duì)伍再

16、繼續(xù)前進(jìn)。這鐘情形出現(xiàn)的條件是：210201LdntvLtvdn或6、兩個(gè)課室全部撤離所用時(shí)間的模型02110221) 1(tvdnnLtvdnLLT問題：三個(gè)課室呢？初 等 模 型一、公平的席位分配二、動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重三、劃艇比賽四、人員疏散五、紅綠燈模型1、問題 在一個(gè)由紅綠燈管理下的十字路口，如果綠燈亮15秒鐘，問最多可有多少汽車通過該交叉路口？2、情況分析 這個(gè)問題提得籠統(tǒng)含混，因?yàn)榻煌魧?duì)十字路口的控制方式很復(fù)雜，特別是車輛左、右轉(zhuǎn)彎的規(guī)則，不同的國(guó)家都不一樣通過路口的車輛的多少還依賴于路面上汽車的數(shù)量以及它們的行駛的速度和方向。因而這里在一定的假設(shè)之下把問題簡(jiǎn)化。3、問題假設(shè)（1）

17、十字路口的車輛穿行秩序良好，不會(huì)發(fā)生阻塞。（2）所有車輛都是直行穿過路口，不拐彎行駛，并 且僅考慮馬路一側(cè)或單行線上的車輛。（3）所有的車輛長(zhǎng)度相同，為L(zhǎng)米，并且都是從靜止 狀態(tài)勻加速啟動(dòng)。（4）紅燈下等待的每相鄰兩輛車之間的距離相等， 為D米。（5）前一輛車起動(dòng)后，下一輛車起動(dòng)的延遲時(shí)間相 等，為T秒。4、坐標(biāo)體系 用x軸表示車輛行駛的道路，原點(diǎn)O表示交通燈的位置，x軸的正向是汽車行駛的方向以綠燈開始亮為起始時(shí)刻。5、定理應(yīng)用（1）勻速的運(yùn)動(dòng)規(guī)律： 其中S1(t)為t時(shí)刻汽車在x軸上的位置。（2）城市的最高限速v*，綠燈亮后汽車將起動(dòng)一直加 速到可能的最高速度，并以這個(gè)速度向前行駛。（3）第n輛車在t時(shí)刻的位置：2)(21attS2)()0()(2nnnttaStS 其中Sn(0)是啟動(dòng)前汽車位置，tn是該車啟動(dòng)時(shí)刻有：TntDLnSnn) 1()(1()0(6、模型建立（1）汽車加速時(shí)間：（2）綠燈亮后汽車行駛規(guī)律：nntavt