01第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、第十二章 無窮級(jí)數(shù)正如有限中包含著無窮級(jí)數(shù)，而無限中呈現(xiàn)極限一樣；無限之靈魂居于細(xì)微之處，而最緊密地趨近極限卻并無止境 . 區(qū)分無窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜悅！小中見大，多么偉大的神力 . 雅克. 伯努利 (1)無窮級(jí)數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式， 也是微積分理論研究與實(shí)際應(yīng)用中極其有力 的工具 . 無窮級(jí)數(shù)在表達(dá)函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算函數(shù)值以及求解微分方程等方面都有 著重要的應(yīng)用 . 研究級(jí)數(shù)及其和，可以說是研究數(shù)列及其極限的另一種形式，但無論在研究 極限的存在性還是在計(jì)算這種極限的時(shí)候， 這種形式都顯示出很大的優(yōu)越性 . 本章先討論數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)， 介紹無窮級(jí)數(shù)的一些根本內(nèi)容， 然后討論函數(shù)項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)， 并著重討論如何將函數(shù)展開 成冪級(jí)數(shù)與三角級(jí)數(shù)的問題 .第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)分布圖示 引言 引例 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念例1例2例3例4例5例6例7Koch雪花收斂級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)例8例9例 10例 11柯西審斂原理例 12內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題12-1返回內(nèi)容要點(diǎn)、無窮級(jí)數(shù) un 與其局部和數(shù)列n1sn 具有同樣的斂散性，unn1lim sn ； n、 收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) ：(1) 級(jí)數(shù)滿足線性運(yùn)算；(2) 在級(jí)數(shù)中改變、去掉或增加前面有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性(3) 在一個(gè)收斂級(jí)數(shù)中，任意添加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂于原來的和(4 )級(jí)數(shù)收斂的必要條件：假設(shè)級(jí)數(shù)Un收斂，那么n 1li

3、m Unn、柯西審斂原理簡(jiǎn)介例題選講利用級(jí)數(shù)的局部和數(shù)列討論級(jí)數(shù)的斂散性 例1寫出級(jí)數(shù)從而U1U2S2U3S3UnSn級(jí)數(shù)因?yàn)閟nSnUn1的前n項(xiàng)的局部和SnU2Un 1 UnSn 18n 1R,求這個(gè)級(jí)數(shù).U n，所以 U nSnSn 1 .8117808217818317821,Si1S1S2188n_8n8n 118n 213572246.8的一般項(xiàng)解 分母是偶數(shù)的連乘積，而且第一項(xiàng)為偶數(shù)， 第二項(xiàng)是兩個(gè)偶數(shù)之積，第三項(xiàng)是三個(gè)偶數(shù)之積，,第n項(xiàng)是個(gè)n偶數(shù)之積，故可寫成(2n川,而分子為奇數(shù)，故第n項(xiàng)為2n 1.于是該級(jí)數(shù)的-般項(xiàng)為2n 1Un(2n)!故所求級(jí)數(shù)為1 1例3( E01)

4、討論級(jí)數(shù) -1的收斂性1 22 3n(n 1)1 1 1解叫n(n 1) n n 1丄丄1 11 22 3 n(n 1)2所以lim snnlim 1 -n n 11,即題設(shè)級(jí)數(shù)收斂，其和為1.例 4 (E02)證明級(jí)數(shù)證級(jí)數(shù)的局部和為sn 12 3是發(fā)散的. n叫J,顯然,limnSn，故題設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散.例5 ( E03)討論等比級(jí)數(shù)(又稱為幾何級(jí)數(shù))naq0aq2aqnaq(a0)的收斂性.1,有 Sna aqaq2aqna(1 qn)1 q1,有 limn0,那么 lim snn1,有 limnqn,那么 limnsn1,有 Snna.limn1,那么級(jí)數(shù)變?yōu)镾n1)n1-a1 (1)n,

5、易見limnsn不存在.綜上所述，當(dāng) q 1時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂，且a aqaq2aqn注：幾何級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù)中最著名的一個(gè)級(jí)數(shù)阿貝爾曾經(jīng)指出“除了幾何級(jí)數(shù)之外， 數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被嚴(yán)格確定的無窮級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)在判斷無窮級(jí)數(shù)的收斂性、求無窮級(jí)數(shù)的求和以及將一個(gè)函數(shù)展開為無窮級(jí)數(shù)等方面都有廣泛而重要的應(yīng)用幾何級(jí)數(shù)的增長速度令人震驚有一個(gè)關(guān)于古波斯國王的傳說，他對(duì)一種新近創(chuàng)造的象棋游戲留下深刻印象， 以至于他要召見那個(gè)創(chuàng)造人而且以皇宮的財(cái)富相贈(zèng)當(dāng)這個(gè)創(chuàng)造人一一個(gè)貧困但卻十分精通數(shù)學(xué)的農(nóng)民一一被國王召見時(shí)，他只要求在棋盤的第一個(gè)方格里放一粒麥粒，第二個(gè)方格里放兩粒麥粒，第三個(gè)方格里放四里麥粒，

6、如此繼續(xù)下去，直到整個(gè)棋盤都被覆蓋上為止國王被這種樸素的要求所震驚，他立即命令拿來一袋小麥，他的仆人 們開始耐心地在棋盤上放置麥粒，令他們十分吃驚的是，他們很快就發(fā)現(xiàn)袋子里的麥粒甚至整個(gè)王國的麥粒也缺乏以完成這項(xiàng)任務(wù)，因?yàn)榧?jí)數(shù)1,2,22,23,24,的第64項(xiàng)是一個(gè)十分大的一個(gè)數(shù)：2639223372036854775808.如果我們?cè)O(shè)法把如此多的麥粒假設(shè)每個(gè)麥粒直徑僅一毫米一一放在一條在直線上，這條線將長約兩光年例6 (E04)把一個(gè)球從a米高低落到地平面上球每次落下距離h碰到地平面再跳起距離rh，其中r是小于1的正數(shù)求這個(gè)球上下的總距離(圖12-1-1)解 5.232323232323T

7、oo Too2 Too3解總距離是2s a 2ar 2ar2ar32ara -1 ra 1 r1 r假設(shè)a6,r2/3,那么總距離是sa 1 r61 2/330 (米)1 r1 2/3例7(E05)把循環(huán)小數(shù)5.232323表示成兩個(gè)整數(shù)之比.23115 1oo 1 1QQ 1QQ22311oo E99518"99線性運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例8 (E06)求級(jí)數(shù)n 1的和n(n 1)解 根據(jù)等比級(jí)數(shù)的結(jié)論，知丄 丄乙 1n 1211 2而由前例，知1n 1 n(n 1)1,所以1 1m 莎 n(n 1)13n 1 2n n 1 n(n 1)4.例9設(shè)級(jí)數(shù) un收斂,n 1Vn發(fā)散，證明：級(jí)數(shù)

8、 (Unn 1n 1Vn)發(fā)散.證 用反證法， Un收斂 假定(Un Vn)收斂，由 Vn (Un Vn) Un與級(jí)數(shù)性質(zhì)得n 1n 1知Vn收斂,這與題設(shè)矛盾，所以級(jí)數(shù)(Un Vn)發(fā)散.n 1n 1例10判別級(jí)數(shù)1丄22 10 22 2 10110n是否收斂.解將所給級(jí)數(shù)每相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)得到新級(jí)數(shù)因?yàn)閚2F收斂，而級(jí)數(shù)1 21n 110n- 丄發(fā)散,10 n 1 n所以級(jí)數(shù)G沽)發(fā)散，根據(jù)性質(zhì)3的推論1101，去括號(hào)后的級(jí)數(shù)1 1 12.' n2 2 10 2110n.也發(fā)散11 (E07)證明調(diào)和級(jí)數(shù) 1是發(fā)散的對(duì)題設(shè)級(jí)數(shù)按以下方式加括號(hào)1111101612m 1設(shè)所得新級(jí)數(shù)為m

9、Vm，那么易見其每一項(xiàng)均大于11從而當(dāng)2時(shí),Vm不趨于零由性質(zhì)4知Vm發(fā)散，再由性質(zhì)3的推論1m 1即知，調(diào)和級(jí)數(shù)1發(fā)散.證畢.n 1 n最后再給出關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散速度的一個(gè)注記當(dāng)n越來越大時(shí)，調(diào)和級(jí)數(shù)的項(xiàng)變得越來越小，然而，慢慢地-非常慢慢地-它的和將增大并超過任何有限值.調(diào)和級(jí)數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)家困惑并為之著迷。它的 發(fā)散性是由法國學(xué)者尼古拉.奧雷姆(1323 1382)在極限概念被完全理解之前約400年首次證明的.下面的數(shù)字將有助于我們更好地理解這個(gè)級(jí)數(shù).這個(gè)級(jí)數(shù)地前一千項(xiàng)相加約為7.485 ;前一百萬項(xiàng)相加約為14.357 ;前十億項(xiàng)相加約為21;前一萬億項(xiàng)相加約為28等等.更有學(xué)者估計(jì)過，為了使調(diào)和級(jí)數(shù)的和等于100,必須把1043項(xiàng)加起來.例12( E08)利用柯西審斂原理判定級(jí)數(shù)1的收斂性.解因?yàn)閷?duì)任何自然數(shù)P,|Un 1 Un 2| _L_ Un pl (n 1)2(n 2)21(n p)2n(n1)(