相似三角形綜合大題

1、相似三角形綜合大題一.解答題（共30小題）1. （2012?昌平區(qū)二模）如圖，在 RtA ABC中，/ ABC=90 °,過點 B作BD XAC 于D, BE平分/ DBC,交AC于E,過點 A作AFLBE于G,交BC于F,交BD 于H .（1）若/ BAC=45 °,求證： AF 平分/ BAC ; FC=2HD .（2）若/ BAC=30 °,請直接寫出FC與HD的等量關(guān)系.2. （2012?香坊區(qū)二模）已知：在 4ABC 中，Z ACB=90 °, AC=2BC , D 是線段 AC 上一點，E是線段CD上一點，過點D作DFLBE交BE的延長線于點

2、 F,連接CF.（1）當點D是線段AC的中點時（如圖1）,求證：BF-DF=V2CF：（2）當點D與點A重合時，在線段 EF上取點G,使GF=1DF,連接DG并延長 2交CF于點H,交BC延長線相交于點 P （如圖2）, CH: HF=4: 5, EG=,求PH4的長.3. （2012?西青區(qū)一模）在 4ABC 中，/ ACB=90 °, / ABC=30 °,將4ABC 繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為0 （0°< 0< 180°）,得到AAB'C.（I ）如圖，當AB / CB時，設(shè)A B與CB相交于點D .證明： A CD是等邊 三

3、角形；（II）如圖，連接AA '、BB 設(shè)4ACA和4BCB的面積分別為 S1、S2.求證： S1: S2=1 : 3;（出）如圖，設(shè)AC的中點為E, AB的中點為P, AC=a,連接EP.求當。為 何值時，EP的長度最大，并寫出 EP的最大值 （直接寫出結(jié)果即4. （2012?南崗區(qū)校級二模）在 4ABC中，已知/ BAC=45 °,高線CD與高線AE 相交于點H ,連接DE .（1）如圖1, 4ABC為銳角三角形時，求證：AE -CE=/2DE;（2）如圖2,在（1）的條件下，作/ AEC的平分線交 AC于點F,連接DF交AE 于點G,若BD=6CF, AE=6,求GH的

4、長.5. (2012?徐匯區(qū)校級模擬)在 4OAC 中，Z AOC=90 °, OB=6 , BC=12 , /ABO+/C=90°, M、N 分別在線段 AB、AC 上.(1)填空：cosC=.(2)如圖1,當AM=4,1.AAMN 與4ABC相似時，AAMN 與4ABC的面積比(3)如圖2,當MN / BC時，將4AMN沿MN翻折，點A落在四邊形 BCNM所 在平面的點為點 E, EN與射線 AB交于點F,設(shè)MN=x , EMN與4ABC重疊部 分的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍.圖1圖26. (2012?道外區(qū)二模)已知：如圖 1,四邊形 A

5、BCD中，/ ABC= /ADC=90°,連接AC , tan/ CAD=存過點D作DE LAB ,點E為垂足.(1)求證： 1ae+BC=DE ;2(2)連接BD,設(shè)BD與AC交于點F, DE與AC交于點G,若AG : FG=3 : 2,(1)如圖，當0°< a<60°時，在a角變化過程中，APAi與ABPBi始終存在 關(guān)系(填 相似“或全等”)，同時可得/ AiAP/BiBP(填="或之”> 關(guān)系).請說明4BEF與4AEP之間具有相似關(guān)系；(2)如圖，設(shè)/ ABP= 3,當120°V a< 180°時，在

6、a角變化過程中，是否存在 BEF與4AEP全等？若存在，求出 a與3之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明 理由；AE=6 (如圖2),求線段BC的長.8. (2012?上虞市模擬)復(fù)習(xí)完 四邊形”內(nèi)容后，老師出示下題：如圖1,直角三角板的直角頂點 P在正方形ABCD的對角線BD上移動，一直角邊 始終經(jīng)過點 C,另一直角邊交直線 AB于點Q,連接QC.求證：/ PQC=/DBC.(1)請你完成上面這道題；(2)完成上題后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出許多問題，如：如圖2,若將題中的條件 正方形ABCD ”改為 矩形ABCD ”，其余條件都不變， 是否仍能得到/ PQC= / DBC ?如圖3

7、,若將題中的條件 芷方形ABCD”改為 直角才!形ABCD”，其余條件都不 變，是否仍能得到/ PQC=/DBC?7. (2012?路南區(qū)一模)如圖 ，在4ABC中，AB=BC , / ABC=120。，點P是線 段AC上的動點(點 P與點A、點C不重合)，連接BP.將4ABP繞點P按順時 針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°V a< 180°),得到AiBiP,連接AAi,直線AA 1分別交直線 PB、直線BB1于點E, F.(3)如圖，當“=120°時，點E、F與點B重合.已知AB=4 ,設(shè)AP=x , S=AAiBBi 面積，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式卸7郅7圖斗請你對上

8、述反思 和 作出判斷，在下列橫線上填寫是“或 否”：；.并對、 中的判斷，選擇其中一個說明 理由.9. (2012?上海模擬)已知：在 RtAABC 中，/ C=90 °, AC=4 , /A=60°, CD 是 邊AB上的中線，直線 BM /AC, E是邊CA延長線上一點，ED交直線BM于點 F, WAEDC沿CD翻折得EDC,射線DE交直線BM于點G.(1)如圖1,當CDXEF時，求BF的值；(2)如圖2,當點G在點F的右側(cè)時；求證：BDFsBGD;設(shè)AE=x , ADFG的面積為 2求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍； (3)如果4DFG的面積為6V3,求AE

9、的長.E A CA醫(yī)1圉工0隹國10. (2012?道外區(qū)一模)已知：點 P為正方形 ABCD內(nèi)部一點，且/ BPC=90 °,過 點P的直線分別交邊 AB、邊CD于點E、點F.(1)如圖1,當PC=PB時，貝U S/xpbe、S/pcf Szxbpc之間的數(shù)量關(guān)系為 ；(2)如圖 2,當 PC=2PB 時，求證：16SApbe+Sapcf=4Sabpg；(3)在(2)的條件下，Q為AD邊上一點，且/ PQF=90°,連接BD , BD交QF 于點N,若SAbpc=80, BE=6 ,求線段DN的長.AD AD AD -4D11. (2012?太原一模)如圖1,已知四邊形

10、ABCD是正方形，對角線 AC、BD相 交于點E,以點E為頂點作正方形 EFGH,使點A、D分別在EH和EF上，連接BH、 AF.(1)判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系；(2)將正方形 EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn) 0 (0°36短。)，設(shè)AB=a , EH=b , 且 av 2b.如圖2,連接AG ,設(shè)AG=x ,請直接寫出x的取值范圍；當x取最大值時，直 接寫出。的值；如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形，并求 a與b的數(shù)量 關(guān)系.圖1圖2備用圖12. (2012?武漢模擬)(1)如圖1,在4ABC中，點D, E在邊BC上，BD : DE : CE=1 : 2: 3

11、,線段FG/ BC,分別交線段 AD , AE于M、N兩點，則有FM : MN : NG=(2)如圖2,在4ABC中，/ BAC=90 °,正方形 DEGF的四個頂點有 ABC的三 邊上，線段FG分別交線段 AD , AE于M、N兩點，若BD=4 , EC=9,求MN的 長？(3)如圖3,在4ABC中，/ BAC=90 °,正方形 DEGF的四個頂點在 4ABC的三 邊所在的直線上，DA與EN的延長線分別交直線 FG于M、N兩點，求證： MN2=MF?NG.13. (2012?香坊區(qū)校級模擬)已知，等邊 4ABC中，D為BC上一點，DE/AC交 AB于C, M是AE上任意一

12、點(M不與A、E重合)，連DM ,作DN平分/ MDC 交AC于N.(1)若 BD=DC (如圖 1),求證：EM+NC=DM ;(2)在(1)的條件下，如圖 2,作DFXAC于F,若NF: FC=3 : 5, AM=4 ,連 接MN將/ DMN沿MN翻折，翻折后的射線 MD交AC于P,連接DP交MN于 點Q,求PQ的長.14. (2012?香坊區(qū)一模)已知：在4ABC中，AB=AC，點P是BC上一點，PC=2PB , 連接AP,作/ APD= / B交AB于點D.連接CD,交AP于點E.(1)如圖1,當/ BAC=90 °時，則線段 AD與BD的數(shù)量關(guān)系為 ;(2)如圖 2,當/

13、BAC=60 時，求證：AD=BD;(3)在(2)的條件下，過點 C作/ DCQ=60°交PA的延長線于點 Q如圖3,連接 DQ,延長CA交DQ于點K,若CQ=N-.求線段AK的長.15. (2012秋？大豐市期末)探索繞公共頂點的相似多邊形的旋轉(zhuǎn)：(1)如圖1,已知：等邊4ABC和等邊AADE,根據(jù) (指出三角形 的全等或相似)，可得CE與BD的大小關(guān)系為： .(2)如圖2,正方形 ABCD和正方形 AEFG ,求： 區(qū)的值；噩(3)如圖3,矩形ABCD和矩形 AEFG , AB=kBC , AE=kEF ,求：區(qū)的值.(用eb|k的代數(shù)式表示)16.(2012秋？東城區(qū)期末)如圖

14、1,在等腰直角 4ABC中，Z BAC=90 °, AB=AC=2 , 點E是BC邊上一點，/ DEF=45。且角的兩邊分別與邊 AB ,射線CA交于點P,Q.(1)如圖2,若點E為BC中點，將/ DEF繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交 于點P, EF與CA的延長線交于點 Q.設(shè)BP為x, CQ為y,試求y與x的函數(shù)關(guān) 系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(2)如圖3,點E在邊BC上沿B到C的方向運動(不與 B, C重合)，且DE始 終經(jīng)過點A, EF與邊AC交于Q點.探究：在/ DEF運動過程中，4AEQ能否構(gòu) 成等腰三角形，若能，求出 BE的長；若不能，請說明理由.(2)如圖，當

15、DE經(jīng)過點A時，過點C作CHLBD,垂足為H,設(shè)AC、BD 相交于F,若NH=4 , BH=16 ,求CF的長.17. (2012秋?道外區(qū)期末)已知： 4ACB與4DCE為兩個有公共頂點 C的等腰直 角三角形，且/ ACB= / DCE=90 °, AC=BC , DC=EC .把 DCE繞點C旋轉(zhuǎn)，在 整個旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè) BD的中點為N,連接CN.(1)如圖 ，當點D在BA的延長線上時，連接 AE,求證：AE=2CN ;18. (2012春？泰興市校級期中)在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是邊長為1的正方形，其中點B、C分別在x軸和y軸上，點M為y軸負半軸上一動點， 點N 為x

16、軸正半軸上一動點，且/ NAM=45 °,(1)試說明 OAN s' OMA ;(2)隨著點N的變化，探求4OMN的面積是否發(fā)生變化？如果 4OMN的面積不變，求出4OMN的面積；如果面積發(fā)生變化，請說明理由；19. (2012秋？亭湖區(qū)校級期中)已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/ B=90 °, CD=8 , BC=12, / ACB=30 °, E 為 BC 邊上一點，以 BE 為邊作正 BEF , 使正4BEF和梯形 ABCD在BC的同側(cè).(l)當正4BEF的頂點F恰好落在對角線 AC上時，求BE的長；(2)將(1)問中的正4BEF沿B

17、C向右平移，記平移中的正 4BEF為正BEF', 當點E與點C重合時停止平移.設(shè)平移的距離為 x,正ABE F的邊BE和EF分 別與AC交于點M和點N,連接DM、DN :設(shè)正B'E'F與4ABC重疊部分的面積為 S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式， 并寫 出自變量x的取值范圍，當 DN取得最小值時，求出 S的值；是否存在這樣的x,使三角形DMN是直角三角形？若存在，求出 x的值；若不 存在，請說明理由.20. (2012秋？江陰市校級期中)如果一個點能與另外兩個點能構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點.例如：矩形 ABCD中，點C與A、B兩點可構(gòu)成直角三角形 ABC

18、,則稱點C為A、B兩點的勾股點.同樣，點 D也是A、B 兩點的勾股點.個；(2)如圖 1,矩形 ABCD 中，AB=12 , BC=6 , DP=4, DM=8 , AN=5 ,過點 P作 直線l平行于BC,點H為M、N兩點的勾股點，且點H在直線l上，求PH的長；(3)如圖2,矩形ABCD中，AB=12, BC=6,將紙片折疊，折痕分別與CD、AB交于點F、G,若A、E兩點的勾股點為 BC邊的中點M,求折痕FG的長.21. (2012春？滄浪區(qū)校級期中)已知，正方形 DEFG內(nèi)接于4ABC中，且點E, F 在BC上，點D , G分別在 AB , AC上，(1)如圖，若4ABC是等腰直角三角形，

19、AB=AC , / A=90 °, SAADG=2,則Sa abc =-(2)如圖 ，若4ABC是直角三角形，/ A=90°, AB=4 , AC=3 ,求正方形的邊 長.(3)如圖,若4ABC是任意三角形，Saadg=1 , Sabde=3, Safcg=1 ,貝U正方 形的邊長為.(4)如圖，若4ABC是任意三角形，求證：£正方形4ABe .22. (2012秋？哈爾濱月考)如圖，4ABC和 CDE均為等邊三角形， BC邊上的中垂線AM交BC邊于點M . 4CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)，點D落在直線AM上(點D 不與點A、M重合)時停止， 4CDE在CD邊的下方，連接

20、BE.24.(2012秋?靖江市校級月考)等邊4ABC的邊長為2,P是BC邊上的任一點(與 B、C不重合)，連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊 4APD和等邊 APE,分別與 邊AB、AC交于點M、N,設(shè)BP=x.(如圖1)(1)如圖1所示，當點 D在線段AM上，求證：BE+DM= WbC；(2)在(1)的條件下，設(shè)直線BE交直線AM于點N,如圖2所示，若® 哲, CM &且4CDE的面積為 即由，求線段BN的長.423. (2012秋？南崗區(qū)校級月考)如圖 1, BD為矩形ABCD的對角線，/ DBC的 平分線BE交DC于點E, DK，BE交BE的延長線于 K .(1)若 t

21、an/DBC=,求證：BE= DK .32(2)如圖2,在(1)的條件下，/ BED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至/ BED', /BED' 的兩邊分別交 BD、DK于點k L,若已知：DL: LK=5 : 3, IL=5 ,求舊的長？(1)求證：AM=AN ;(2)若BM=用，求x的值； O(3)連接DE,分別與邊 AB、AC交于點G、H(如圖2),當x取何值時，ZBAD=15 °? 并判斷此時以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請 說明理由.25. (2011?北塘區(qū)二模)如圖 1,在 4ACD 中，AC=2DC , AD=FdC.(1)求/ C的度

22、數(shù)；(2)如圖2,延長CA到E,使AE=CD ,延長CD到B,使DB=CE , AB、ED交 于點O.求證：/ BOD=45 °(3)如圖3,點F、G分別是AC、BC上的動點，且S；ACFG=S四邊形AFGB,作FM / BC, GN / AC ,分別交AB于點M、N,線段AM、MN、NB能否始終組成直角三角形？ 給出你的結(jié)論，并說明理由.26. （2011?邯鄲一模）（1）如圖1,四邊形ACDG與四邊形ECBH都是正方形，且B, C, D在一條直線上，連接 DE并延長交線段 AB于點F.求證：AB=DE , AB ± DE ;（2）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個矩形，

23、如圖 2,且星=區(qū)=乃，則ABCD CE與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系會發(fā)生什么變化？請說明你的看法和理由.（3）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個直角三角形，如圖3, / BCE=/ACD=90 °,且生普之七且請直接寫出 AB與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.CD CE27. （2011?哈爾濱）已知：在 4ABC 中，BC=2AC , / DBC= / ACB , BD=BC , CD交線段AB于點E.（1）如圖1,當/ACB=90 °時，則線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系為 ;（2）如圖 2,當/ ACB=120。時，求證：DE=3CE;（3）如圖3,在（2）的條件下，點 F是BC邊的中點，連接 DF, DF與AB交于G, ADKG和4DB