直線與圓知識歸納

1、實用文檔知識點歸納直線與方程1 .直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，它的傾斜角為0范圍：直線的傾斜角 口的取值范圍為0,n)2 .斜率：k =tan ot(a。£)，kwR2斜率公式：經(jīng)過兩點 已(不，), P2(X2,y2)(% #X2)的直線的斜率公式為 kp1p2 ="*X2 - Xi3.直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng) = kx +bk是斜率b是縱截距與x軸不垂直的直線點斜式y(tǒng) - yo =k(x -xo)(x0, yO)是直線上的已知點兩點式y(tǒng)-yi _ x-xi y2 - yi x2 - xi(xi ", yi = y2)(x

2、i,yi), (x2, y2)是直線上的兩個已知點與兩坐標軸均不垂直的直線截距式x y- + -=i a ba是直線的橫截距b是直線的縱截距不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax +By +C =0(A2 +B2 #0)當(dāng)B=0時，直線的橫截距為£A當(dāng)B#0時，A C C一一，一-,一-分別為直線B A B的斜率、橫截距，縱截距所有直線能力提升斜率應(yīng)用例1.已知函數(shù)f (x) = log2(x+ 1)且 a > b >c a0 ,則f(a) f(b) f(c)的大小關(guān)系例 2.已知實數(shù) x,y滿足 y =X2 2x+2(_1 <x <1), 試求213的

3、最大值和最小值x 2兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系11 : y = k1x +b112: y = k2x +b211 : Ax+B1y+C1 =012 : A2 x + B2 y + C2 =0平行ki = k2 ,且 bi。b2AB1C1一=一豐 一(A1B-A2B1=0)a2b2c2重合£ki =k2,且 bi =b2A1B1C1a2b2c2相交ki 豐 k2A * B1AB2垂直k1 k2 = -1A1 A2 + B1B2 =0設(shè)兩直線的方程分別為:li :y = k1x + bi 或li : Ax+B1y+Ci =0 . l2 : y = k2x + b2 l2:

4、A2x + B2y +C2 = 0 '當(dāng)ki #k2或AiB2AA2B1時它們相交，交點坐標為方程組:y =k1x成：Ax + By +C1 =0y=k2x+b2 T A2x + B2 y+C2 = 0直線間的夾角:若8為11到l2的角，tarn )"此或 tan= ABiB 1 k2klAA2 B1B2若a為li和12的夾角，或 tanuAB2A2B1|aA2 +B1B2當(dāng)1 +k1k2 =0或A1A2 +B1B2 =0時， =90。;直線11到12的角日與11和12的夾角豆：1a2)或 a = n -6(6 2)-)；距離問題1 .平面上兩點間的距離公式p(x1, y1)

5、, P2(x2, y2)則 RB = J(x2 -K) + (y2 -必)2 .點到直線距離公式點P(x。, y。)到直線l : Ax + By + C = 0的距離為：d =Ax。By。CA2B23 .兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線li和I2的一般式方程為li ： Ax + By+Ci = 0 ,l2：Ax +By +C2 =0,則li與I2的距離為d =|Ci - C2A2 B24 .直線系方程：若兩條直線l1： Ax + B1y+C=0, l2： A2x + B2y+C2 =0有交點，則過與12交點的直線系方程為(A1x + B1y +C1)+ “A2x + B2 y + C2)

6、 = 0或 (A2x + B2y+C2)+MAx+Biy+Ci)=0 (入為常數(shù)).xix2x 二2、，yiy2對稱問題1 .中點坐標公式：已知點A(xi, yj B(x2, y2),則A,B中點H (x, y)的坐標公式為，點P(x0, y°)關(guān)于A(a, b)的對稱點為Q(2a -x0,2b y0),直線關(guān)于點對稱問題可以化為點關(guān)于點對稱問題。2 .軸 對稱： 點P(a,b) 關(guān)于直線Ax + By+c =0(B #0)的對 稱點為P'(m,n),則 有n -bj m -a直線關(guān)于直線對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題。C =0(1)中心對稱：點關(guān)于點的對稱:該點是兩個對

7、稱點的中點，用中點坐標公式求解，點A(a, b)關(guān)于C(c,d)的對稱點(2ca,2d b)直線關(guān)于點的對稱:I、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出直線方程；n、求出一個對稱點，在利用11/l2由點斜式得出直線方程；出、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線11 :2x+3y 6 = 0關(guān)于點P(1,1)對稱的直線12的方程。點關(guān)于直線對稱：I、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數(shù)。n、求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標公式求解。如：求點 A(3,5)關(guān)

8、于直線1:3x4y+4 = 0對稱的坐標。直線關(guān)于直線對稱：(設(shè)a,b關(guān)于1對稱)I、若a,b相交，則a至M的角等于b至U1的角；若a/1,則b/1 ,且a,b與1的距離相等。n、求出a上兩個點A, B關(guān)于1的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。出、設(shè)P(x,y)為所求直線直線上的任意一點，則 P關(guān)于1的對稱點P'的坐標適合a的方程。如：求直線a :2x+ y-4 =0關(guān)于1 :3x+4y-1 =0對稱的直線b的方程。能力提升例1.點P(2,1)到直線mx y 3 = 0(m w R)的最大距離為例2.已知點A(3,1),在直線y = x和y =0上各找一點M和N ,使 MMN的周長最短

9、，并求出周長。線性規(guī)劃問題：(1)設(shè)點 P(x0, y0)和直線 1 : Ax +By +C = 0 ,若點P在直線1上，則Ax。+By0 +C = 0;若點P在直線1的上方，則B(Axo +By0 +C) >0 ;若點P在直線1的下方，則B(Ax0+By0 +C) <0 ；(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式Ax + By + C a 0( < 0),當(dāng)B >0時，則 Ax +By +C >0表示直線l : Ax + By +C =0上方的區(qū)域;Ax +By +C <0表示直線l : Ax + By +C =0下方的區(qū)域;當(dāng)B <

10、;0時，則Ax +By +C >0表示直線l : Ax + By +C =0下方的區(qū)域;Ax +By +C c0表示直線l : Ax + By +C =0上方的區(qū)域;注意：通常情況下將原點(0,0)代入直線Ax + By+C中，根據(jù)> 0或< 0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。(3)線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng)B>0時，將直線 Ax + By =0向上平移，則z = Ax + By的

11、值越來越大;直線Ax + By = 0向下平移，則z = Ax + By的值越來越?。划?dāng)B < 0時，將直線 Ax + By = 0向上平移，則z = Ax + By的值越來越小；直線Ax十By =0向下平移，則z = Ax十By的值越來越大；如：在如圖所示的坐標平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)，目標函數(shù)z =x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 a為；(1)設(shè)點 P(x0, y°)和直線 l : Ax +By +C = 0 ,若點P在直線l上，則Ax0 +By0 +C = 0 ；若點P在直線l的上方, 則 B(AxO +ByO +C) >0 ；若點P在直線l的下方

12、，則B(Ax0 +By0 +C)<0 ；(2)二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式Ax + By + C a 0( < 0),當(dāng)B >0時，則Ax +By +C a 0表示直線l : Ax+By +C =0上方的區(qū)域;Ax十By+C M0表示直線l : Ax + By +C =0下方的區(qū)域：當(dāng)B <0時，則Ax +By +C a 0表示直線l : Ax + By +C =0下方的區(qū)域;Ax +By +C <0表示直線l : Ax + By +C =0上方的區(qū)域;次不等式表不平面注意：通常情況下將原點(0,0)代入直線 Ax + By+C中，根據(jù)&g

13、t; 0或< 0來表示二元一區(qū)域。(3)線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。生產(chǎn)實際中有許多滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng)B>0時，將直線 Ax+By =0向上平移，則z = Ax+By的值越來越大；直線Ax + By = 0向下平移，則z = Ax + By的值越來越??；當(dāng)B < 0時，將直線 Ax + By = 0向上平移，則z = Ax + By的值越來越?。恢本€Ax + By =0向下平移，則z = Ax + By的值越來越大；如：在如

14、圖所示的坐標平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括周界)，目標函數(shù)z =x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則 a為；O圓與方程2222.1 圓的標準方程：(xa) +(y-b) =r圓心C(a,b),半徑r特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2 - y2 =r2 .2.2 點與圓的位置關(guān)系：1 .設(shè)點到圓心的距離為 d,圓半徑為r：(1)點在圓上Qd=r; (2)點在圓外Qd>r; (3)點在圓內(nèi)dvr.2 .給定點 M (x0,y0)及圓 C ：(xa)2+(yb)2h2. M 在圓 C 內(nèi) y (x0a)2+(y0-b)2 <r2 M 在圓 C 上=(x°-a)

15、2+(y°七)2 = 2 M 在圓 »卜仁(x0-a)2+(y0-b)2>r22.3 圓的一般方程：x2+y2Wx +Ey +F =0 .當(dāng)D2+E2BF >0時，方程表示一個圓，其中圓心D E j . D2 E2-4F-,-,半徑 r 222 當(dāng)D2+E2_4F =0時，方程表不一個點I，卜,2 2B =0且 A = C#0且 D2+E2_4AF >0 .當(dāng)D2+E2BF父0時，方程無圖形(稱虛圓) 注：(1)方程Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx +Ey+F =0表示圓的充要條件是:圓的直徑系方程：已知 AB是圓的直徑A(xi,yi)B(X2,y2)=

16、(x Bi)(x x2) (y y1)(y -2) =02.4 直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax + By+C =0與圓(x a)2+(y b)2 =r2的位置關(guān)系有三種，d是圓心到直線的距離，(dAa Bb C,A2 B2(i) d A二 相離 u A<0；(2)d=ru 相切 u = 0 ；(3) d <r u 相交仁 0 >02.5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為 O, Q,半徑分別為ri,2, O1O2 =d。(1) d > ri + r2外離u 4條公切線；(2) d = ri + r2外切u 3條公切線；(3)ri -r2 <d <ri+匕u相交u 2條公切線；(4) d =g-r2 u內(nèi)切u i條公切線；(5) 0 <d 4rl r2|u內(nèi)含仁無公切線；外離外切相交 內(nèi)切 內(nèi)含圓的切線方程：1 .直線與圓相切：(i)圓心到直線距離等于半徑r; (2)圓心與切點的連線與直線垂直(斜率互為負倒數(shù))2 .圓x2為22的斜率為k的切線方程是y二h主小業(yè)一過圓x2+y2Wx+Ey+F=0上一點P(x0,yO)的切線方程為：x0x+y0y +Dx-x0+E y+y0 +F =0 22,一般方程若點(x。, y。)在圓上，則(x - a)