電磁學(xué)計算方法的比較

1、電磁學(xué)計算方法的比較| <<>>摘 要：介紹了電磁學(xué)計算方法的研究進(jìn)展和狀態(tài)，對幾種富有 代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優(yōu)勢和不足，包括矩量法、 有限元法、時域有限差分方法以及復(fù)射線方法等。關(guān)鍵詞：矩量法；有限元法；時域有限差分方法；復(fù)射線方法1引言1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第 定律和自由磁極不存在）和實驗的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場理論， 并用數(shù)學(xué)模型揭示了自然界一切 宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律， 這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標(biāo)系求解Maxwel l方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這 種方法可以得

2、到問 題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有 規(guī)則邊界的簡單問題。對于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較 高的數(shù)學(xué) 技巧，甚至無法求得解析解。20世紀(jì)60年代以來，隨著 電子計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場的數(shù)值計算方法發(fā)展起來，并得 到廣泛地應(yīng)用，相對于經(jīng)典電磁理論 而言，數(shù)值方法受邊界形狀的 約束大為減少，可以解決各種類型的復(fù)雜問題。但各種數(shù)值計算方法 都有優(yōu)缺點，一個復(fù)雜的問題往往難以依靠一種單一方法解決，常需 要 將多種方法結(jié)合起來，互相取長補短，因此混和方法日益受到人們的重視。本文綜述了國內(nèi)外計算電磁學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r，對常用的電磁計算方法做了分類。2 電磁場數(shù)值方法的

3、分類電磁學(xué)問題的數(shù)值求解方法可分為時域和頻域2大類。頻域技術(shù)主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術(shù)發(fā)展得比較早，也比較成熟。時域法主要有時域差分技 術(shù)。時域法的引入是基于計算效率的 考慮，某些問題在時域中討論起來計算量要小。例如求解目標(biāo)對沖激脈 沖 的 早 期 響 應(yīng) 時 ，頻 域 法 必 須 在 很 大 的 帶 寬 內(nèi) 進(jìn) 行 多 次 采 樣 計 算 ， 然后做傅里葉反變換才能求得解答，計算精度受到采樣點的影響。若有非線性部分隨時間變化，采用時域法更加直接。另外還有一些高頻方法，如GTD, UTD和射線理論。從求解 方 程的形式看 ，可 以 分 為 積 分 方 程 法( IE )和 微分方程

4、 法(DE) 。IE和DE相比，有如下特點：IE法的求解區(qū)域維數(shù)比DE法 少 一 維，誤 差 限于求解區(qū) 域 的 邊 界 ，故 精 度 高 ； IE 法適 合求無限 域問題，DE法此時會遇到網(wǎng)格截斷問題；IE法產(chǎn)生的矩陣是滿的，階 數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的是稀疏矩陣，但階數(shù)大；IE法難以處理非均勻、 非線性和時變媒質(zhì)問題，DE法可直接用于這類問題1。3 幾 種 典 型 方 法 的 介 紹有限 元 方 法是在20 世紀(jì) 40 年代 被 提 出 ， 在 50年 代 用 于 飛 機(jī) 設(shè)計。后來這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析問題中。 目 前 ，作為 廣 泛應(yīng)用于 工程 和 數(shù) 學(xué)問 題 的

5、一 種 通 用 方法 ，有 限 元 法 已非常著名。有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計算方法。其定解問題為：應(yīng)用變分原理，把所要求解的邊值問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題， 利用對區(qū) 域 D 的 剖分、插 值 ，離 散化變分 問 題為普通多元函數(shù)的極值問題，進(jìn) 而 得 到 一組多元 的 代數(shù) 方程組，求 解代數(shù)方程組就可以得到所求邊值問題的數(shù)值解。(1)時域有限差分方法時域有限差分(FDTD)是電磁場的一種時域計算方法。傳統(tǒng)上電 磁場的計算主要是在頻域上進(jìn)行的，這些年以來，時域計算方法也越來越受到重視。他已在很多 方面顯示出獨特的優(yōu)越性，尤其是在解 決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的散射體以及

6、輻射系統(tǒng)的電磁問題中更加突出。FDTD法直接求解依賴時間變量的麥克斯韋旋度 方程，利用 二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn)換為差分形式，這樣達(dá)到在一定體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場的數(shù)據(jù)取樣壓 縮。電場和磁場分量在空間被交叉放置，這樣保證在介質(zhì)邊 界處切向場分 量的連續(xù)條 件自然得到滿 足 。在 笛卡 兒坐 標(biāo) 系 電場和磁 場分量在網(wǎng)格 單元中的位 置是每一磁 場 分 量 由4個電 場 分 量包圍著，反之亦然。這種電磁場的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然 幾何結(jié)構(gòu)。因此FDTD算法是計算機(jī)在數(shù)據(jù)存儲空間中對連續(xù)的實際 電磁波的傳播過程在時間進(jìn)程上 進(jìn)行數(shù)字模擬。而在

7、每一個網(wǎng)格點 上各場分量的新值均僅依賴于該點在同一時間步的值及在該點周圍 鄰近點其他場前半個時間步的值。這正是電磁場的感應(yīng)原理。這 些 關(guān)系構(gòu)成FDTD法的基本算式，通過逐個時間步對模擬區(qū)域各網(wǎng)格點 的計算，在執(zhí)行到適當(dāng)?shù)臅r間步數(shù)后，即可獲得所需要的結(jié)果。在上述算法中，時間增量A t和空間增量Ax, A y和A z不是 相互獨立的，他們的取值必須滿足一定的關(guān)系，以避免數(shù)值不穩(wěn)定。 這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯式 差分方程時隨著時間步的繼續(xù)計算結(jié)果 也 將 無 限 制 的 67 增 加 。 為 了 保 證 數(shù) 值 穩(wěn) 定 性 必 須 滿 足 數(shù) 值 穩(wěn) 定 條 件 ：用差分方法對麥克斯韋方程的數(shù)值計算

8、還會在網(wǎng)格中引起所模 擬波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中數(shù)字波模的傳播速度將隨波長、在 網(wǎng)格中的傳播方向以及離散化的 情況而改變。這種色散將導(dǎo)致非物 理 原 因 引 起 的 脈 沖 波 形 的 畸 變 、為 的 各 向 異 性 及 虛 擬 的 繞 射 等 ，因 此 必須考慮數(shù)值色散問題。如果在模擬空間中采用大小不同的 網(wǎng)格或包 含 不 同 的 介 質(zhì) 區(qū) 域 ，這 時 網(wǎng) 格 尺 寸 與 波 長 之 比 將 是 位 置 的 函 數(shù) ，在 不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞 射和 反射現(xiàn) 象，對此也應(yīng)該進(jìn)行定量的研究，以保證正確估計FDTD算法的精度。在開放問 題中電磁場將占據(jù)無限大空間，而

9、由于計算機(jī)內(nèi)存總是有限的，只能模擬有限空間，因此差分網(wǎng)格在某處必將截 斷，這就要求在網(wǎng)格截 斷處不引起波的明顯反射，使對外傳播的波就像在無限大空間中傳播一樣。這就是在截斷處設(shè)置吸收邊界條件，使傳播到截斷處的波被邊界吸 收而不產(chǎn)生反射，當(dāng)然不可能達(dá)到完全沒有反射，目前已創(chuàng)立 的一些吸收邊界條件可達(dá)到精度上的要求，如Mur所導(dǎo)出的吸收邊界 條件。(2 )復(fù)射線方法復(fù)射線是用于求解波場傳播和散射問題的一種高頻近似 方法 。他根 據(jù) 幾何 光學(xué)理論和幾何繞射理論的分析方法和計算公式，在解 析 延拓的復(fù)空間中求解復(fù)射線軌跡和 場的振幅和相位，從而直接得出局 部 不 均 勻 波( 凋 落 波 )的 傳 播

10、 和 散 射 規(guī) 律 。復(fù) 射 線 方 法 是 包 括 復(fù) 射 線 追蹤、復(fù)射線近軸近似、復(fù)射線展開以及復(fù)繞射線等處 理技術(shù)在內(nèi) 的 一 系列 處 理方法的統(tǒng)稱。其共同 特點在于：通過將射線參考點坐標(biāo)延拓到復(fù)空間而建立了一個簡單而統(tǒng)一的實空間中波束/射線束(B undleofrays)分析模型；通過費 馬原理及其延拓，由基于復(fù)射線追蹤 或 復(fù)射 線 近軸近似的處理技術(shù)，構(gòu)造了射線光學(xué)架構(gòu)下有效的鞍點場描述方法等。例如，復(fù)射 線追蹤法將射線光學(xué)中使用的射線追蹤 方法和場強計算公式直接地解析延拓到復(fù)空間，利用 延 拓 后 的 復(fù) 費 馬原理進(jìn)行復(fù)射線搜索，從而求出復(fù)射線軌跡和復(fù)射線場。 這一方法

11、的特點在于可以基于射線光學(xué)方法有效地描述空 間中 波 束 的 傳 播 ，因此 ，提 供 了 一 類 分 析 波 束 傳 播 的 簡 便 方 法 。其 不 足 之 處 是 對 每 一 個 給 定的觀察點必須進(jìn) 行一次二維或四維的復(fù)射線軌跡搜索，這是一個 十分花費時間的計算機(jī)迭代過程。4 幾 種 方 法 的 比 較 和 進(jìn) 展將有限元法移植到電磁工程領(lǐng)域還是二十世紀(jì)六七十年代的事情 ，他 比 較 新 穎 。有 限 元 法 的 優(yōu) 點 是 適 用 于 具 有 復(fù) 雜 邊 界 形 狀 或 邊 界 條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問題。 這種方法的各個環(huán)節(jié)可以實現(xiàn)標(biāo) 準(zhǔn) 化 ，得 到 通 用 的 計 算 程 序

12、 ，而 且 有 較 高 的 計 算 精 度 。但 是 這 種 方 法 的計算程序復(fù)雜冗長，由于他是區(qū)域性解法，分割的元素數(shù)和節(jié) 點 數(shù)較多，導(dǎo)致需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜繁多，最終得到的方程組的元數(shù)很大，這使得計算時間長，而且對計算機(jī)本身的存儲也提出了要求。對電磁學(xué)中的許多問題，有 限元產(chǎn)生的是帶狀（如果適當(dāng)?shù)亟o節(jié)點編號的話）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨采用有限元法只能解決開域問題。用有限元法進(jìn)行數(shù)值分析的第一步是 對目標(biāo)的離 散 ，多 年 來 人 們 一 直 在 研 究 這 個 問 題 ，試 圖 找 到 一 種 有 效 、方 便 的 離 散 方 法 ，但 由 于 電 磁 場 領(lǐng) 域 的 特

13、 殊 性 ，這 個 問 題 一 直 沒 有 得 到 很 好 的 解決。問題的關(guān) 鍵在于一方面對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，一般的剖分方法難于適用；另一方面，由于剖分的疏 密與最終所形 成 的 系 數(shù) 矩 陣 的 存 貯 量密切相關(guān)，因而人們采用了許多 方法來減少存 儲 量 ，如 多 重 網(wǎng) 格 法 ，但這些方法的實現(xiàn)較為困難6。網(wǎng)格剖分與加密是有限元方法發(fā)展的瓶頸之一，采用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分和加 密技術(shù)相對來說可以較好地解決這一問題。自適應(yīng)網(wǎng)格剖分根據(jù)對場量分布求解后的結(jié)果對 網(wǎng)格進(jìn)行增加剖分密度的調(diào)整，在 網(wǎng)格密集 區(qū)采用高階插值函數(shù)，以進(jìn)一步提高精度，在場域分布變化劇烈區(qū)域，進(jìn)行多次加密。這些年有限元方法的發(fā)

14、展日益加快，與其他理論相結(jié)合方面也有了新的進(jìn) 展，并取得了相當(dāng)應(yīng)用范圍的成 果，如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、三維場建模求解、耦合問題、開域 問題、高磁性材料及具有磁滯飽和 非線性特 性介質(zhì)的處理等，還包括一些尚 處于探索階段的工作，如擬問題、人工智能和專家系統(tǒng)在電磁裝置優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用、邊 基有 限元法等，這些都使得有限元方法的發(fā)展有了質(zhì)的飛躍。矩量法將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，既適用于求解微分方 程，又 適用于求 解積 分方 程 。他 的求解過程簡 單 ，求 解步驟統(tǒng)一，應(yīng)用 起 來 比 較 方 便 。 然 而 77 他 需 要 一 定 的 數(shù) 學(xué) 技 巧 ， 如 離 散 化 的 程 度 、 基函

15、數(shù) 與權(quán)函數(shù) 的選 取，矩 陣求 解過程等。另 外 必須 指出的是，矩 量法可以達(dá)到所需要的精確度，解析部分簡單，可 計算量很大，即使 用 高 速 大 容 量 計 算 機(jī) ，計 算 任 務(wù) 也 很 繁 重 。矩 量 法 在 天 線 分 析 和 電 磁 場散射問題中有比較廣泛地應(yīng)用，已成功用于天線和天線陣的輻射、 散射問 題、微帶和有耗結(jié)構(gòu)分析、非均勻地球上的傳播及人體中電 磁吸收等。FDTD 用 有 限 差 分 式 替 代 時 域 麥 克 斯 韋 旋 度 方 程 中 的 微 分 式 ， 得 到 關(guān) 于 場 分 量 的 有 限 差 分 式 ，針 對 不 同 的 研 究 對 象 ，可 在 不 同

16、的 坐 標(biāo) 系中建模，因而具有這幾個優(yōu) 點，容易對復(fù)雜媒體建模，通過一次 時域分析計算，借助傅里葉變換可以得到整個同帶范圍內(nèi)的頻率響 應(yīng)；能夠?qū)崟r在現(xiàn)場的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射 體的 輻射特性和散射特性；計算時間短。但是FDTD分析方法由于受到計 算機(jī)存儲容量的限制，其網(wǎng)格空間不能無限制的增加，造成FDTD方 法 不 能 適 用 于 較 大 尺 寸 ，也 不 能 適 用 于 細(xì) 薄 結(jié) 構(gòu) 的 媒 質(zhì) 。因 為 這 種 細(xì) 薄結(jié)構(gòu)的最小尺寸比FDTD網(wǎng)格尺寸小很多，若用網(wǎng)格擬和這類細(xì)薄 結(jié)構(gòu)只能減小 網(wǎng)格尺寸，而這必然導(dǎo)致計算機(jī)存儲容量的加大。因 此需要將FDTD與其他技術(shù)相結(jié)合，

17、目前這種技術(shù)正蓬勃發(fā)展，如時 域積分方程/ FDTD方法，F(xiàn)DTD/ MOM。FDTD的應(yīng)用范圍也很廣闊， 諸如手持機(jī)輻射、天線、不同建筑物結(jié)構(gòu)室內(nèi)的電磁干擾特性研究、 微帶線等7 。復(fù)射線技術(shù)具有物理模型簡單、數(shù)學(xué)處理方便、計算效率高等特點，在復(fù)雜目標(biāo)散射特性分析等應(yīng)用領(lǐng)域中有重要的 研 究價值。典型的處理方式是首先將入射平面波 離散化為一組波束指向平行的復(fù)源 點場，通過特定目標(biāo)情形下的射線追蹤、場強計算和 疊 加各射線場的貢獻(xiàn)，可以得到特定觀察位置處散射場的高頻漸進(jìn)解。目前已 運用復(fù)射線分析方法對飛行器天線和天線罩（雷達(dá)艙）、（加吸波涂層） 翼 身 結(jié) 合 部 和 進(jìn)氣 道 以 及 涂 層 的 金 屬 平 板 、角 形 反 射 器 等 典 型 目 標(biāo) 散 射特性進(jìn)行了成功的分 析。盡管復(fù)射線技術(shù)的計算誤差可以通過參 數(shù) 調(diào)整 得到 控制 ，但 其 本 身 是 一 種 高 頻 近似 計 算 方 法，由 于 入射 波場的離散和只引入鞍點貢獻(xiàn)，帶來了不可避免的計算誤 差?？偟膩碚f 復(fù) 射線 方法 在目 標(biāo)電 磁 散 射 領(lǐng) 域 還 是 具 有獨 特 的 優(yōu) 勢，尤 其 是對 復(fù)雜目標(biāo)的處理。5 結(jié) 語電 磁 學(xué) 的 數(shù) 值 計 算 方 法 遠(yuǎn) 遠(yuǎn) 不 止 以 上 所 舉 ，還 有 邊