必修2輔導(dǎo)—2—空間的位置關(guān)系(同步教師版ok)

1、空間的位置關(guān)系課標(biāo)要求1. 理解平面的無(wú)限延展性；正確地用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；2初步掌握文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化；3. 理解可以作為推理依據(jù)的三條公理 .4. 了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，5. 掌握兩條異面直線所成角的定義；掌握求異面直線所成角的求解方法。6. 了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系平面的根底公理知識(shí)要點(diǎn)1平面含義：平面是無(wú)限延展的 2三個(gè)公理:公理1公理2圖形 語(yǔ)言/文字語(yǔ)言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一 個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此 平面內(nèi).過(guò)不在一條

2、直線上的三點(diǎn)，有且只 有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共 點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的 公共直線.符號(hào) 語(yǔ)言A l,B llA ,BA,B,C不共線A,B,C確定平面aP ,Pl,P l作用判斷直線是否在平面內(nèi) 解決直線的共面問(wèn)題確定一個(gè)平面的依據(jù)判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)3.公理2的三個(gè)推論:推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.題例方法例1 判斷以下命題的真假，真的打“/，假的打“X1 空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面X 2 兩條直線可以確定一個(gè)平面X 3 兩條相交直線可以確定一個(gè)平面

3、V 4 一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面X 5 三條平行直線可以確定三個(gè)平面X 6 兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面X 7 兩個(gè)平面假設(shè)有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面重合X 8 假設(shè)四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線V 例2.在空間四邊形 ABCD各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果 EF、GH交于一點(diǎn)卩，那么A.P 一定在直線 BD上B.P 一定在直線 AC上 C. P不 在直線BD上D. P不在直線 AC或BD上答案：B例3.四邊形ABCD中，AB / CD，四條邊AB，BC，DC，AD 或其延長(zhǎng)線分別與平面a相交于 E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn) 求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線.

4、證：Q AB / CD， AB，CD確定一個(gè)平面B，易知 AB，BC，DC，AD都在B內(nèi)，c由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H都在B上，因而，E，G，G，H必都在平面a與B的交線上，所以四點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H共線.例4.直線a/b/c ，直線d與a、b、c分別相交于 A、B、C，求證：a b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面a,使得a a,b a又因?yàn)橹本€d與a b、c分別相交于A、B、C，由公理1，d a假設(shè)C a,那么cQa=C,在平面a內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作C b ,因?yàn)閎/c，那么c/ c，此與cn c矛盾.故直線c a綜上述，a b、c、d四線共面. 穩(wěn)固練習(xí)1. 給出

5、的以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)三條平行直線必共面每?jī)蓷l都相交且交點(diǎn)各不相同的四條直線一定共面有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合A. 1B.2C.3D.4解析:逐個(gè)對(duì)各選項(xiàng)分析：梯形是一個(gè)平面圖形，所以其四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，對(duì);兩條平行直線是可以確定一個(gè)平面的，三條平行直線有可能確定三個(gè)平面，錯(cuò);三個(gè)公共點(diǎn)可以同在兩個(gè)相交平面的公共直線上，錯(cuò);設(shè)這四條直線分別為11、12、13、|4,取其中兩條相交直線|1和|2,那么它們可確定一個(gè)平面a，取|3,設(shè)其與|1、|2的交點(diǎn)分別為A、B,那么由題意知這兩點(diǎn)不同，且A 11，Be |2,所以有A、B 從而|3a；同理可證明|4

6、 所以每?jī)蓷l都相交且交點(diǎn)各不相同的四條直線一定共面，對(duì).答案:B2. 以下命題正確的有 假設(shè) ABC在平面a外，它的三條邊所在直線分別交a于 P、Q、R,貝U P、Q、R三點(diǎn)共線. 假設(shè)三條平行線 a b、c都與直線|相交，那么這四條直線共面. 三條直線兩兩相交，那么這三條直線共面.A . 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D . 3個(gè)解析：易知與正確，不正確答案：C3. 一直線l與其外三點(diǎn)A，B，C可確定的平面?zhèn)€數(shù)是A . 1個(gè)B. 3個(gè)C. 1個(gè)或3個(gè)D . 1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)解析：當(dāng)A、B、C共線且與l平行或相交時(shí)，確定一個(gè)平面；當(dāng)A、B、C共線且與l異面時(shí)，可確定3個(gè)平面；當(dāng)A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)

7、，可確定 4個(gè)平面答案：D4. 求證：兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)：直線 AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為 A，B，C,求證：直線 AB，BC，CA共面. 證明：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過(guò) A，B，C三點(diǎn)可以確定平面a.因?yàn)锳 a,Ba，所以AB a.同理BC a, AC a所以AB，BC，CA三直線共面.5. 空間四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)， EF和GH 交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn).證明：t P EF, EF 面 ABC,. P 面 ABC，同理 P 面 ADC ,P在面ABC與面ADC的交線上，又面

8、 ABC n面 ADC=AC，二 P AC, 即卩 EF、HG、AC 三線共點(diǎn).空間的位置關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)A.空間直線與直線之間的位置關(guān)系1. 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；2. 公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè) a、b、c是三條直線a/ b, c/ b a/ c強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3. 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

9、4. 異面直線所成角： a與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與 o的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) o 般取在兩直線中的一條上; 兩條異面直線所成的角0, 90° 。 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。B. 空間直線與平面的位置關(guān)系1直線與平面有三種位置關(guān)系：1直線在平面內(nèi)一一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)2直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)3直線在平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)指岀：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a

10、a來(lái)表示C. 空間平面與平面之間的位置關(guān)系1.兩平面的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)；相交有一條公共直線分別記作/ ;題例方法例1.a b、c是空間三條直線，all b, a與c相交，那么b與c的位置關(guān)系是A 相交E.共面C.異面或相交D.相交，平行，異面都可能答案：C例2.a b、c是空間三條直線，有以下四個(gè)命題.假設(shè)a丄b,b丄c;那么a丄c;2假設(shè)a、b異面，b、c異面，那么 a c異面；3假設(shè)a、b共面，b、c共面，那么a、c共面；4假設(shè)a、b平行，b、c平行，那么a c平行. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.4答案：A例3.在以下的四個(gè)命題中，其中正確的選項(xiàng)是 直線與平面沒(méi)有公共

11、點(diǎn)，那么直線與平面平行 直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等距離不為零，那么直線與平面平行 直線與平面內(nèi)的任一條直線不相交，那么直線與平面平行 直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線不相交，那么直線與平面平行A.B.C.D.答案：B例4.S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖SA= SB= SC，且/ ASB=Z BSC=Z CSA=，M、N 分別是 AB 和 SC 的2中點(diǎn).求異面直線SM與BN所成的角的余弦值.證明：連結(jié)CM，設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連結(jié) QN _那么QN/ SMQNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ,設(shè)SC=日，在厶 BQN中.5121410BN = a NQ =丄 SM= a BQ =-14

12、a 由余弦定理得 COS/ QNB=22445例5.如圖中，正方體 ABCD A1B1C1D1，E、F分別是 AD、AA1的中點(diǎn).1求直線AB1和CC1所成的角的大??；2求直線AB1和EF所成的角的大小.解：1如圖，連結(jié) DC1， / DC1 / AB1，DC1和CC1所成的銳角/ CC1D就是AB1和CC1所成的角./ / CC1D=45 °， / AB1 和 CC1 所成的角是 45° .2如圖，連結(jié) DA1、A1C1，/ EF/ A1D，AB1/ DC1，./ A1DC1 是直線 AB1 和 EF 所成的角.VAA1DC1是等邊三角形，/ A1DC仁60o，即直線AB

13、1和EF所成的角是60o穩(wěn)固練習(xí)1. a b是異面直線 道線c/a,那么c與b( )A. 定是異面直線B. 定是相交直線C.不可能是相交直線D.不可能是平行直線答案：D2. 直線a與直線b垂直,a平行于平面a，那么b與a的位置關(guān)系是()A.b/aB.b aC.b與a相交D.以上都有可能解析：a與b垂直,a與b的關(guān)系可以平行、相交、異面,a與a平行，所以b與a的位置可以平行、相交、或在a內(nèi)，這三種位置關(guān)系 都有可能.答案:D3. a是平面a外一條直線，過(guò)a作平面B使B/a，這樣的平面B ()A.至多有一個(gè)B.至少有一個(gè)C.不存在D.有且只有一個(gè)答案：A4.三棱錐S ABC中點(diǎn)E、F分別為棱SC、

14、AB的中點(diǎn)，假設(shè)EF= 3 , AC=SB=2，那么異面直線AC與SB所成的角為(A. 30°B. 45°C. 60答案：BD . 120°S ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為 2，底面邊長(zhǎng)為,3，E是SA的中點(diǎn)，那么異面直線BE與SC所成角的大小為()A . 90°B. 60°C. 45°D . 30°5.如下圖，正四棱錐答案：B目標(biāo)測(cè)試、選擇題1.以下各條件可以確定平面的是 A.梯形 答案：A2.設(shè)有三條直線B.六邊形C.兩兩平行的三條直線D.兩兩相交的三條直線A.是異面直線答案：D3.異面直線是指a、b、c,假設(shè) a丄c,b丄c貝U

15、a與 cB.是相交直線C.是平行直線D.相交，平行，異面都可能A.空間中兩條不相交的直線B.分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C.不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線D.平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D錯(cuò),有可能平行或相交；C正確.答案：CD 平行或異面解析：A錯(cuò),有可能平行；B錯(cuò),有可能平行或相交；4. 假設(shè)直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a與b的位置關(guān)系是A 相交B.平行C異面答案：D5. 以下命題中正確命題的個(gè)數(shù)是1平行于同一直線的兩條直線平行2垂直于同一直線的兩條直線平行3過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行4與直線平行且距離等于定長(zhǎng)的直線只有兩條(5)(6)A .答案：假設(shè)一個(gè)角的兩邊分別

16、與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等假設(shè)兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等4B. 3C. 2D. 1B6. 下面四個(gè)命題：假設(shè)直線a, b異面，b, c異面，那么a, c異面；假設(shè)直線a, b相交，b, c相交，那么a, c相交；假設(shè)a/ b,那么a, b與c所成的角相等；假設(shè)a丄b, b丄c,那么a/c.其中真命題的個(gè)數(shù)為A . 4B. 3C. 2D . 1答案：D7. l,m,n為兩兩垂直的三條異面直線，過(guò)I作平面a與直線m垂直，那么直線n與平面a的關(guān)系是A. n aB. n a或naC. n aD. n答案：A8.直線 a/ b, b/a,那么a與

17、a的位置關(guān)系是)a或n不平行于aA.a/a B.a與a相交 C.a與a不相交 D.a a答案：C9.平面a上有不共線的三點(diǎn)到平面B的距離相等，那么a與B的關(guān)系是A.平行B.相交C.至少有一個(gè)公共點(diǎn)D.平行或相交答案：D10假設(shè)a, b, I是兩兩異面的直線，a與b所成的角是 ，I與a I與b所成的角都是，貝U 的取值范圍是3D .忖2答案：D11. 正方體ABCD A1B1C1D1中，AB的中點(diǎn)為 M , DD1的中點(diǎn)為N，異面直線 B1M與CN所成的角是A . 30°B. 90°C. 45°D. 60°答案：B12. 正四棱柱 ABCD A1B1C1D

18、1中，AA 1=2AB,E為AA1中點(diǎn)，那么異面直線 BE與CD 1所形成角的余弦值為*1013/103A .B. _C.D105105答案：C二、填空題13. 以下命題中，正確命題的序號(hào)是 。 一條直線平行于一個(gè)平面，這條直線就與這個(gè)平面內(nèi)的任意直線不相交 過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面平行 過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與直線平行 a、b是異面直線，那么過(guò)b存在惟一一個(gè)平面與a平行答案：14. (09湖南文)平面六面體 ABCD A1B1C1D1中，既與 AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)是 。答案：515. 在正方體ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上

19、的不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，如果A1E= B1F，有下面四個(gè)結(jié)論：EF丄AA1；EF/ AC;EF與AC異面；EF /平面 ABCD.其中一定正確的有。答案：16. 在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，P、Q、R、S、M分別是棱 A1B1、B1C1、AB、BC、B1B的中點(diǎn)，那么異面直線(1) A1B和B1C所成的角大小是 ，(2) PM和RS所成的角大小是 ，(3) BD1和B1C所成的角的大小等于 。答案：(1)/ B1CD,600 / NPQ,60° 90°三、解答題17. 在空間四邊形 ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)設(shè)EF與HG交于點(diǎn)M

20、。求證：M在直線AC上證明：t EE AB; F BCo EF 平面ABC，同理HG 平面ADC 又 EF n HG=M; /. M E 平面 ABC; M E 平面 ADC ;平面ABC n平面ADC=AC /. M在直線 AC上18. 如圖正方體 ABCD A1B1C1D1中，E、F分別為DC 和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、AC 與EF的交點(diǎn).A1A(1) 求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；(2) 假設(shè)A1C與面DBFE交于點(diǎn)R,求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：(1)t 正方體 ABCD A1B1C1D1 中，BB1/DD 1 且 BB1=DD 1 BD/B 1D1 且 BD=B

21、1D1.又/ B1D1C1 中，E、F 為中點(diǎn)， EF/ B 1D1; EF/BD ;即 D、B、F、E 四點(diǎn)共面.(2)t QE平面 AC1，Q E平面 BE ; PE平面 AC1，P E平面 BE ;平面 AC1Q 平面 BE =PQ. 又 ACm平面BE =R，二RE平面AC1，RE平面BE;. RE PQ.即P、Q、R三點(diǎn)共線19.空間邊邊形 ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小.解：分別取 AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PN / AB，PM/ CD，于是/ MPN就是異面直線 AB和CD成的角。連結(jié) MN、DN，設(shè)

22、AB=2，/ PM=PN=1.而 AN=DN= 、3，由 MN 丄 AD，AM=1，得 MN=、2， / MN2=MP2+NP2，./ MPN=90 ° .異面直線 AB、CD 成 90° 角.20. A1B1C1ABC是直三棱柱，/ BCA=90 °，點(diǎn)D仆F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn) 假設(shè)BC=CA=CC 1, 求 BD1與AF1所成角的余弦值 解:取 AB 中點(diǎn)為 D，取 B1C1 中點(diǎn)為 E1，連接 E1F1、BD1、A1D、DE1。令 BA=CA=CC 1=a因 E1F1/A 1B1 且 E1F1=A1B1/2 中位線；又 A1B1/AB 且 A1

23、B1=AB ;又 AD 在 AB 上且 AD=AB/2_那么E1F1/AD 且E1F1=AD，于是AD E 1F1為平行四邊形實(shí)為矩形，所以AF1/DE 1且AF1=DE 1因 BD/D 1A1 且 BD= D 1A1，_那么 DB D 1A1 為平行四邊形，所以 BD1/DA 1 且 BD1=DA 1由此可知/ AiDEi為BDi與AFi所成角在三角形 AiBiCi 中，/ BiAiCi=RT Z, BiAi=CiAi,那么 AiEi=( V2/2)a。在 RT 三角形 BBiDi 和 AAiFi 中，BDi=AFi=( V5/2)a在三角形 AiDEi中，DEi=AF i, DAi=BD

24、i，那么由余弦定理有 cos/ AiDEi=4/52i .如圖i 28的正方體中，E是AiDi的中點(diǎn)(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線B Ai成異面直線？(2) 求直線B Ai和C Ci所成的角的大??；(3) 求直線AE和C Ci所成的角的正切值；(4) 求直線AE和B Ai所成的角的余弦值解：t Ai平面BCi，又點(diǎn)B和直線C Ci都在平面B Ci內(nèi)，且B CCi,直線B Ai與C Ci是異面直線同理，正方體i2條棱中的CiDi、D Di、DC、AD、BiCi所在的直線都和直線Di(圖 i-28)B Ai成異面直線(2) t CiC B Bi，/ B Ai和B Bi所成的銳角就是 B Ai和C Ci所成的角；/ ZMBBi=45 °/ B Ai 和 C Ci 所成的角是 45 °(3) / AiA/ B