版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版必修5

1、第一章解三角形直點(diǎn)深化4i正弦定理和余弦定理的證明方法的探究正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它們的證明方法比擬多，除了教材上介紹的 向量法外，還可以采用下面的方法.i.幾何法證明正弦定理設(shè)ABC外接圓O 0的直徑，貝U BD= 2R下面按/ A為直角、銳角、鈍角三種情況加以 證明. 假設(shè)/ A為直角，如圖，貝U BC經(jīng)過(guò)圓心Q BC為圓Q的直徑，BC= 2R,aBC=BC= 2Rsin A sin 90(2)假設(shè)/ A為銳角，如圖，連接 CD 那么/ BAC=Z BDC BCBC在 Rt BCD中,=sin / BDC sin / BACBCBC=BD= 2R.=2Rsin / BD

2、Csin / BACsinA= 2R假設(shè)/A為鈍角，如圖，連結(jié) CD那么/ BAOZ CD=n, sin / BAC= sin / CDB在 Rt BCD中,BCsin Z CD= BD=2RBC = BC sin Z CDB sin Z BAC2RBCsin / BAC可證得：.3八=2R sin Abc同理可證：=2R,= 2Ra b c sin A sin B sin Csin B sin C不管 ABC是銳角三角形，直角三角形，還是鈍角三角形，都有2F其中RABC的外接圓的半徑.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，并且都等于其外接圓的直徑.2 .坐標(biāo)法證明余弦定理如

3、下圖，以 ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線(xiàn) AC為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，這時(shí)頂點(diǎn) B可作角A終邊的一個(gè)點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離r = c.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為x, y,由三角函數(shù)的定義 可得：x = ccos A, y= csin A,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為ccos A, csin A，又點(diǎn)C的坐標(biāo)是b, 0. 由兩點(diǎn)間的距離公式，可得：2 2 2兩邊平方得：a = b-ccos A + csin A22=b + c 2bccos A.以厶ABC的頂點(diǎn)B或頂點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，同樣可證b2= a2+ c2 2accos B, c2 = a2 + b2 2abcos C余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其

4、他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積 的兩倍.余弦定理的第二種形式是cos A=cos B=2 | 2 2b + c a2bc,2 | 2 2a + c b2ac,2 . 2 2cos C=a + b c2ab3 .向量法證明正弦、余弦定理如圖，在 ABC中，三個(gè)內(nèi)角/A,ZB,ZC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn) C的坐標(biāo)是b,0.由三角函數(shù)的定義，得點(diǎn) B 的坐標(biāo)是ccos A, csin A .所以=(ccos A- b, csin A).現(xiàn)將平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A 終點(diǎn)為點(diǎn) 0那么=，且 | =| = a,/ DAC= 180/

5、 C根據(jù)三角函數(shù)的定義，知點(diǎn)D 的坐標(biāo)是(一acos C, asin C).所以=(acos C, asin C).因?yàn)?，所以(一acos C asin C) = ( ccos A- b, csin A).asin C= csin A,acos C= ccos A b. a c由，得 =.sin A sin Ca b同理可證=sin A sin B所以 sin A sin Bcsin C由，得 acos C= b ccos A.兩邊平方，得 a cos C= b 2bccos A+ ccos A.所以 a2 a2sin 2C= b2 2bccos A+ c2 c2sin 2A 而由，得 a2

6、sin 2C= c2sin 2A所以 a2= b2+ c2 2bccos A2 2 2 2 2 2同理可證 b = a + c 2accos B, c = a + b 2abcos C2正弦定理的一個(gè)推論及應(yīng)用在初學(xué)正弦定理時(shí)，假設(shè)問(wèn)同學(xué)們這樣一個(gè)問(wèn)題：在ABC中，假設(shè)sin Asin B,那么A與B的大小關(guān)系怎樣？那么近乎所有的同學(xué)都會(huì)認(rèn)為A與B的大小關(guān)系不確定.假設(shè)再問(wèn)：在厶ABC中,假設(shè)AB,那么sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會(huì)有很多同學(xué)答復(fù)大小關(guān)系不確定.鑒于 此，下面我們講講這個(gè)問(wèn)題.一、結(jié)論在厶 ABC中, sin Asin B? AB.分析 題中條件簡(jiǎn)單，不易入手.但

7、既在三角形中，何不嘗試用聯(lián)系邊角的正弦定理？證明 因?yàn)閟in Asin B? 2Rsin A2Rsin巳其中只為厶ABC外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理變式a= 2RsinA,b= 2RsinB其中a,b分別為A,B的對(duì)邊，可得sinAsinB? ab,，可得 ab? AB.再由平面幾何定理“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊所以 sin Asin B? AB.、結(jié)論的應(yīng)用 例 1 在厶 ABC中, A= 45, a= 4, b= 2 2,求 B.分析 在遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，有的同學(xué)一看，這不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定 理得B= 30或B= 150。.其實(shí)這是錯(cuò)誤的！錯(cuò)在哪兒？我們只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)

8、.,、宀 /口 sin 45 sin B1解 由正弦定理得=,sin B=；,4 2冷22又 sin Bsin B, 所以O(shè)B,所以C有兩解.(1)當(dāng) C= 60 時(shí)，有 A= 90;當(dāng) C= 120。時(shí)，有 A= 30.點(diǎn)評(píng)除此之外，此題也可以利用余弦定理來(lái)求解3細(xì)說(shuō)三角形中解的個(gè)數(shù)解三角形時(shí)，處理“兩邊及其一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩角 問(wèn)題需判斷解的個(gè)數(shù),這是一個(gè)比擬棘手的問(wèn)題.下面對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入探討.一、出現(xiàn)問(wèn)題的根源我們作圖來(lái)直觀地觀察一下.不妨設(shè)ABC的兩邊a, b和角A,作圖步驟如下： 先做出角 A,把未知邊c畫(huà)為水平的，角 A的另一條邊為邊 b; 以b邊的不是A點(diǎn)的另外一個(gè)

9、端點(diǎn)為圓心，邊a為半徑作圓C; 觀察圓C與邊c交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，便可得此三角形解的個(gè)數(shù).顯然，當(dāng)A為銳角時(shí)，有如下圖的四種情況：/f c Hfxn 牛解z f%:C ! 2Bi H &十C/=hKiii Ab一斛根據(jù)上面的分析可知，由于a, b長(zhǎng)度關(guān)系的不同,導(dǎo)致了問(wèn)題有不同個(gè)數(shù)的解.假設(shè)A為銳角,只有當(dāng)a不小于bsin A時(shí)才有解，隨著a的增大得到的解的個(gè)數(shù)也是不相同的.當(dāng)A為鈍角時(shí)，只有當(dāng)a大于b時(shí)才有解.二、解決問(wèn)題的策略1.正弦定理法 ABC的兩邊a, b和角A,求B根據(jù)正弦定理sin asin B可得sinbsin B= a假設(shè)sin B1,三角形無(wú)解；假設(shè) sin B= 1,三角形有且只

10、有一解；假設(shè) 0sin B1, B有兩解，再 根據(jù)a, b的大小關(guān)系確定 A, B的大小關(guān)系利用大邊對(duì)大角，從而確定B的兩個(gè)解的取舍.2 余弦定理法 ABC的兩邊a, b和角A,求c. 利用余弦定理可得 a2= b2 + c2 - 2bccos A整理得 c2 - 2bccos A- a2 + b2 = 0.適合上述一元二次方程的解 c便為此三角形的解.3 .公式法當(dāng) ABC勺兩邊a, b和角A時(shí)，通過(guò)前面的分析可總結(jié)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷公式如下表：A 90a babaw babsin Aa= bsin Aab，所以AB,故B= 30, 符合條件的 ABC只有一個(gè).方法二由余弦定理得22= c

11、2+ (2)2- 2 X 2X ccos 45 ,即 c2-2c 2= 0,解得 c= 13.而1 3b,故符合條件的 ABC只有一個(gè).易錯(cuò)警示44挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)由于我們對(duì)三角公式比擬熟悉，做 題時(shí)比擬容易入手. 但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會(huì)出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象,其根本原因是對(duì)題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r(shí)，題目中隱含條 件的挖掘.1 .兩邊之和大于第三邊例1鈍角三角形的三邊 a= k, b= k + 2, c= k+ 4，求k的取值范圍.錯(cuò)解 cba且厶ABC為鈍角三角形，C為鈍角.由余弦定理得cos

12、C=2abk2+ ( k+ 2)2 (k+ 4)2 =2k(k + 2)2k 4k 12 0.2k(k + 2)2 k 4k 120,解得2k0.綜上所述，0kk + 4.即k2而不是k0.正解 cba，且 ABC為鈍角三角形，C為鈍角.2.2 2 . 2a + b c k 4k 12由余弦疋理得 cos C= 一20b = 2k(k + 2) 0.2 k 4k 120,解得2k k+ 4, k2,綜上所述，k的取值范圍為2k0, ab- 0 W 3. a點(diǎn)撥忽略了三角形內(nèi)角和為 180,及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致 ？取值范圍求錯(cuò).正解,r、宀b sin B sin 3 A由正弦定理得a

13、sin A sin Asin( A+ 2A)sin Acos 2 A+ cos Asin 2 Asin Asin A2 2=cos 2 A+ 2cos A= 4cos A 1./ A+ B+ C= 180, B= 3A, A+ B= 4A180, 0A45.cos A1,2-14cos A 13,b 1一3.a溫馨點(diǎn)評(píng) 解三角問(wèn)題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問(wèn)題，角的取值范圍隱含在題目的條 件中，假設(shè)不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗5正弦、余弦定理的應(yīng)用有些題目，外表上看不能利用正弦、余弦定理解決，但假設(shè)能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?，就能利用?定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例.一、平面幾

14、何中的長(zhǎng)度問(wèn)題例1 如圖，在梯形 ABCDK CD 2, AC= 19，/ BAD60,求梯形的高.1)A E分析 如圖，過(guò)點(diǎn)D作DEL AB于點(diǎn)E,那么DE為所求的高.由/ BAD= 60,知/ ADG 120,又邊CD與 AC的長(zhǎng)，故 ACD為兩邊和其中一邊的對(duì)角，可解三角形.解Rt ADE需先求AD的長(zhǎng)，這只需在 ACD中應(yīng)用余弦定理即可.解 由/ BAD-60，得/ ADC= 120,在厶ACD中，由余弦定理得aC= aD+ cD 2AD- cd- cos / ADC即 19 = AD+ 4 2ADX 2 x 2 ,解得 AD- 3或AD- 5舍去.在厶 ADE中, DE= AD- s

15、in 603.32點(diǎn)評(píng)依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個(gè)妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的 表達(dá).、求范圍例2如圖，等腰 ABC中，底邊BC= 1，/ ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D,求BD的取值范圍注：0x1時(shí)，fx = x 1為增函數(shù).X分析 把BD的長(zhǎng)表示為/ ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域. 解設(shè)/ ABC= a .因?yàn)? ABC=Z Ca所以/ A= 180 2 a ,Z BDC=Z A+Z ABD- 180 2 a + = 180因?yàn)锽C= 1,在厶BCD中,由正弦定理得BD=sinsin2si naycosa22cosa2sin a cosaa sina2 a 1+ co

16、s4cos 222a3 a24cos2acos aBD減小，且當(dāng)cos =BD= 2;當(dāng) cos = 1 時(shí),2bd=3因?yàn)?0y45,所以-22cos aa1，a而當(dāng)cos 增大時(shí),2故BD的取值范圍是 3，2 .(2)數(shù)形結(jié)點(diǎn)評(píng)此題考查：(1)三角知識(shí)、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想.三、判斷三角形的形狀例3 在厶ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, 6假設(shè)=k(k R).(1)判斷 ABC勺形狀；假設(shè)c = .2,求k的值.解 (1) = cbcos A, = cacos B,又=, bccos A= accos B, bcos A= acos

17、B,方法一 sin Bcos A= sin Acos B,即 sin Acos B cos Asin B= 0, sin( A B) = 0,又 nV A Bn, A= BABC為等腰三角形.方法利用余弦定理將角化為邊,.2 2 2b + c a2bc2,2 2 a + c b2ac, a2= b2, ABC為等腰三角形.由(1)知：a= b.=bccosA= bc .2 2 2b + c a2bc/ c = 2,. k= 1.6管窺高考熱點(diǎn)跟蹤4高考解答題一般先運(yùn)用三角恒等變換，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過(guò)正弦、余弦定理以及面積公式

18、實(shí)現(xiàn)邊角互化,求出相關(guān)的邊和角的大小.例 1 在厶 ABC中， AB= 2, AC= 3, A= 60.(1)求BC的長(zhǎng)；求sin 2 C的值.分析 此題主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系與二倍角關(guān)系，考查運(yùn)算求解 能力.1解 (1)由余弦定理知， BC= AB+ AC 2AB- AC- cos A= 4 + 9 2X 2 X 3X-= 7,所以 BC=7.、AB BC由正弦定理知，晶c=A，所以 sin C= AC sin A= 2器217因?yàn)锳B 0,于是 sin A+ sin C= sin A+ sin 2A=sin A+ cos 2 A= 2sin 2A+ sin A+ 11 29=2 sin A 4 + 8.因?yàn)?0v Av 4，所以 ovsin Av#因此-2v 2 sin A- 4 2+ * 8.由此可知sin A+ sinC的取值范圍是3 nj例3 在厶ABC中, A=,AB= 6, AC= 3 ：2，點(diǎn)D在BC邊上，AD= BD求AD的長(zhǎng).的長(zhǎng)度，再由正弦定理求出角分析 根據(jù)題意，設(shè)出 ABC的內(nèi)角A B, C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是 a, b, c