三角恒等變換知識總結(jié)

1、三角恒等變換知識點總結(jié)2014/10/241. 一、基本內(nèi)容申講兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsintan(tantan1mtantantana+tan6=tan(a+6)(1-tan對其變形：2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下:atan6),有時應用該公式比較方便。sin22.2sincos.cos2cossin_2.22cos112sintan22tan1tan2“倍角”與“二次”的關(guān)系,降角一升次).特別注意公式的三角表達形式，且要善丁變形，cos21cos2,sin21cos2這兩個形式常用。22輔助角公式：

2、sinxcosxJ2sinx;JSsinxcosx2sinx46asinxbcosx,a2b2sinx.簡單的三角包等變換變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。變換目標：利用公式簡化三角函數(shù)式，達到化簡、計算或證明的目的。變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設(shè)計變換途徑。常用知識點：(1)基本包等式：sin2cos21,tan(注意變形使用，尤其1的靈活應cos要熟悉余弦(2)三角形中的角：ABrrCrr,sinA/、sin(BC),cosAcos(BC)；(3)向量的數(shù)量積：rrragorabcos(

3、a,b),rrag)xx2yy2,abxgyy20a/bxy2x?y10;用，求函數(shù)值時注意角的范圍)；、考點闡述考點1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sin20ocos40ocos20osin40o的值等丁(一一-42、右tan3,tan-，則tan()等丁()3、若,WJ(1tan)(1tan)的值是.44、(1tanl)(1tan2)(1tan3)L(1tan44)(1tan45)考點2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos虧cos?的值等?。ǎㄌ崾荆簶?gòu)造分子分母）6、cos20ocos40cos60ocos80（）7、已知A2，且cosA3,那么sin2A等丁（5考點3運用相關(guān)公

4、式進行簡單的三角恒等變換218、已知tan（）-,tan（）一，則tan（）的值等?。ǎ?441一9、已知sinsin-,coscos-,貝Ucos（）值等于（）310、函數(shù)f（x）cos2（x一）sin2（x一）1是（）1212（A）周期為2的奇函數(shù)（B）周期為2的偶函數(shù)（C）周期為的奇函數(shù)（D）周期為的偶函數(shù)4、常見題型及解題技巧（另外總結(jié)）（一）關(guān)于輔助角公式：asinxbcosx、,a2b2sinx.2. 其中cos,a,sin,b（可以通過JOb2來判斷最大最小值）.a2b2.a2b2如：1.若方程sinxV3cosxc有實數(shù)解，貝Uc的取值范圍是y2cosx3sinx2的最大值與最

5、小值之和為.r舟，、27.右tan（）一，則tan.453. （二）三角函數(shù)式的化簡與求值例11.sin150;2.sin50（1V3tan10）；cos150sin150求tan70otan50o右tan70otan50o值；AABC不是直角三角形，求證：tanAtanBtanCtanA?tanB?tanC（三）三角函數(shù)給值求值問題1.已知cos(a6)+sina=*/3,貝Usin(a+的值是4，小2.已知cos(),cos13sin的值。4,均為銳角,514.已知tan,tan-，并且3（五）綜合問題（求周期，最值,均為銳角,的值.對稱軸，增減區(qū)間等）03.43,cos443.3,sin

6、545求sin（四）三角函數(shù)給值求角問題1.若sinA=一55-,sinB=寸2,且a,B均為鈍角，求A+B的值.102.已知，(,萬)，且tan,tan一、2是萬程x3.3x40的兩個根，求3.已知,均為銳角，且tan1+-,tan21+-,tan51小_，則+8兀。A,B.6兀八C4.圣.四的值.的值（）1.(2010北京)已知函數(shù)f(x)2cos2xsin2x.求f（）的值；（2）求f（x）的最大值和最小值.3（3）求函數(shù)在（，）2.已知函數(shù)f(x)2sin(x)cosx.求f（x）的最小正周期；求f（x）在區(qū)間,上的最大值和最小值;2的單調(diào)區(qū)間。三、解題方法分析1.熟悉三角函數(shù)公式，從

7、公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點【方法點撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理解、記熟、用活。解決問題時究竟使用哪個公式，要抓住問題的實質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運用。3.次，2tan13osin50-cos6sin6,b2,c，則有(21tan2132cos25【點評】：本題屆丁“理解”層次，要能善丁正用、逆用、變用公式例如:sincos,坐：tan2,1-tan2=1sin2,cos=sin2,cos2sin2cos222sin22212sincos(sincos),1cos22cos,1cos22sin21cos2cos,2等。另外，三角函數(shù)式.21cos

8、2sin,tana+tan6=tan(a+6)(1-tanasinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進輔助角，將它化為atan6)Va2b2sin(x)即asinx+bcosx=Va2b2sin(x)(其中tan)是常用轉(zhuǎn)化手段。a特別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx,土sinx土Vcosx,要熟練掌握其變形結(jié)論。2.明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學思想方法上尋找突破口(1)運用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實現(xiàn)三角包等變換【方法點撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例2.已知Pa登cos

9、(a6)=12,sin(a+6)=-，求sin2a的值.(一241355665(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點，2a=(a一+(a+。)例2解答：例3.化簡：2sin50+sin100(1+73tan10)Jsin280【解析】：原式=【點評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵在于靈活運用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡.化簡時要求使三角函數(shù)式成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求出值來。(2) 運用函數(shù)方程思想，實現(xiàn)三角包等變換【方法點撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實質(zhì)仍

10、是函數(shù)的變換。因此，有時在三角恒等變換中，可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，利用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。例4：已知sin(a+6)=,sin(a6)=3,求(2)的值.。1 4tantan()【解析】tan()tantan_tan()tan()(1tantan)_tan_2；zx；2；zx一-；17tantan()tantan()tan【點評】：本題屬于“理解”層次，考查學生對所學過的內(nèi)容能進行理性分析，善于利用題中的條件運用方程思想達到求值的目的。(3) 運用換元思想，實現(xiàn)三角包等變換【方法點撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個式子用新元表

11、示，實行變量替換，從而順利求解，解題時要特別注意新元的范圍。2例5:右sinsin，求coscos的取值氾圍。21【解析】：令coscost,則(sinsin)(coscos)t-,【點評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子coscos看作一個整體，通過代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3.關(guān)注三角函數(shù)在學科內(nèi)的綜合，從知識聯(lián)系上尋找結(jié)合點【方法點撥】三角函數(shù)在學科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識的聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當注意知識間的聯(lián)系與整合。例6:已知：向量a(扼，1),b(sin2x,cos2x)，函數(shù)f(x)；b,求x的值；x

12、一或乙1212r,r(2)求函數(shù)f(x)取得最大值時，向量a與b的火角.(1)若f(x)0且0x【解析】：rf(x)ab=V3sin2xcos2x(2)2sin(2xErrrrrr二f(x)max2,當f(x)2時，由ab|a|b|cosa,brr付cosrra,bab-rr-rr1,Q0a,b.rra,b02|a|b|【點評】：本題屆丁“理解”中綜合應用層次,的分析和計算能力.主要考查應用平面向量、三角函數(shù)知識四、課堂練習1sin165o=()A.2-624D.2.sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是()A.3BB.2】C.23.已知4.化簡x(,0),cosx22sin

13、(；-x)45，-sin(-+x),其結(jié)果是4則tan2xB.247_24247A.sin2xB.cos2xC.cos2xsin2x5.sin云J3cos的值是(A.0B2sin512tan752,3B.2C.cos3,sin2、3D.2.33的終邊一定落在直線()上。()A.7.若.x2_10. 6.1tan75的值為A.7x24y0B.7x24y0C.24x7y0D.24x7y08.coscossinsin9.1tan151tan15-C0tan200tan400龍tan20tan400的值是.11. 求證：cos1sin2.12.已知tan2】，求tan的值.cottan432213.已矢口0x,sin(x),求一c0s2X的