第四章彎曲應(yīng)力(下)

1、第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力( (下下) ) 主講教師：張磊主講教師：張磊聯(lián)系電話(huà)：聯(lián)系電話(huà)mail：51 引言引言 52 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力53 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力54 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面55 非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲 開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心56 考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 5 5 引言引言1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)

2、力剪力Q 剪應(yīng)力t t彎矩M 正應(yīng)力s s平面彎曲時(shí)橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t 剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面P1P2例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱(chēng)為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx純彎曲純彎曲(Pure Bending):5 52 2 平面平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn) 橫向線(xiàn)(a b、c d）變形后仍為直線(xiàn)，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線(xiàn)變?yōu)榍€(xiàn)，且上縮下伸；橫向線(xiàn)與縱向線(xiàn)變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：一、一、 純彎曲時(shí)梁

3、橫截面純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力中性層中性層縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面中性軸中性軸bdacabcdMM橫截面上只有正應(yīng)力。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。（可由對(duì)稱(chēng)性及無(wú)限分割法證明）3.推論2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱(chēng)中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線(xiàn)。4. 4. 幾何方程：幾何方程：(1) . yx) )11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1 BabcdAxyA1B1O1Odq q qqqyyddd)( （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是

4、，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng) 力狀態(tài)。力狀態(tài)。(2) . sEyExxs sxs sx（三）靜力學(xué)關(guān)系（三）靜力學(xué)關(guān)系：0dddszAAAxESAyEAEyAN軸過(guò)形心中性)( 0zSz0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（對(duì)稱(chēng)面）（對(duì)稱(chēng)面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。(4) . zxIM y s s（四）最大正應(yīng)力：（四）最大正應(yīng)力：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIW

5、zz回字框maxyI Wzz 抗彎截面模量。抗彎截面模量。例例1 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：畫(huà)M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIWMP

6、a7 .6110832. 56060 5121zIyMss求應(yīng)力18030MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWMs求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180305 53 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b； 在微段上取一塊如圖c，平衡0)(112d

7、xbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖cdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sxyzs s1 1t t1 1t tb圖圖a圖圖b圖圖czzAzAIMSAyIMANdd1szzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪應(yīng)力互等由剪應(yīng)力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScztt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h

8、分布為拋物線(xiàn)。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：zzbIQS1t其中Q為截面剪力；Sz 為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；2、幾種常見(jiàn)截面的最大彎曲剪應(yīng)力 Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩；b 為y點(diǎn)處截面寬度。工字鋼截面：工字鋼截面：maxtmint; maxA Qt tf結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應(yīng)力Af 腹板的面積。; maxA Qt tf 圓截面：tt3434max

9、AQ 薄壁圓環(huán)：tt22maxAQ槽鋼：exyzPQRRzzbIQS，合力為腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe QeQeh5-4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件2 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)

10、力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講） t tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：s sMQt tt ts s4 4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：校核強(qiáng)度：設(shè)計(jì)截面尺寸：設(shè)計(jì)載荷： ;m

11、axmaxttssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9M

12、Pa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQy1y2GA1A2A3A4解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM4畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核強(qiáng)度MPa2 .2810763885 . 2822zCL

13、AIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營(yíng)造法式 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比 為剛度最大。時(shí)強(qiáng)度最大時(shí), 3 ;, 2bhbhbhAQ3433. 1mma

14、xtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD時(shí)當(dāng)強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 sszWM ttzzbIQS* 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaamtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時(shí)當(dāng)1121212,24 DaaD時(shí)當(dāng)1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面

15、與框形截面類(lèi)似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時(shí)當(dāng)0.8a2a21.6a22a2z 對(duì)于鑄鐵類(lèi)抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類(lèi)的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2 2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀、根據(jù)材料特性選擇截面形狀s sGz（二）采用變截面梁（二）采用變截面梁 ，如下圖：，如下圖：最好是等強(qiáng)度梁，即)()()(maxssxWxMx若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為)(6)(sbxMxh同時(shí))(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx5-5

16、 非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲非對(duì)稱(chēng)截面梁的平面彎曲 開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心軸過(guò)形心中性 )( z 0 zS0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外力要與主軸共線(xiàn)。軸必須為截面主慣性軸、, 0zyIyz幾何方程與物理方程不變。PxyzOMEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx軸到桿軸的距離依此確定力臂, 0)d(t依此確定正應(yīng)力計(jì)算公式。剪應(yīng)力研究方法與公式形式不變。彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)生扭轉(zhuǎn)的橫向力作用點(diǎn)。 （如前述坐標(biāo)原點(diǎn)O）PxyzO槽鋼：非對(duì)稱(chēng)截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用

17、在主慣性面非對(duì)稱(chēng)截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內(nèi)，中性軸為形心主軸，內(nèi)，中性軸為形心主軸，, ,若是橫向力，還必須過(guò)彎曲中心。若是橫向力，還必須過(guò)彎曲中心。exyzPPs sMQRRzzbIQS，合力為腹板上; t。合力為翼緣上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe Qe zzbIQS : :求求任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)剪剪應(yīng)應(yīng)力力彎曲中心的確定彎曲中心的確定: :ACdAM力臂向形心簡(jiǎn)化)d(:t(1)雙對(duì)稱(chēng)軸截面，彎心與形心重合。(2)反對(duì)稱(chēng)截面，彎心與反對(duì)稱(chēng)中心重合。(3)若截面由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形組成，彎心與兩矩形長(zhǎng)中線(xiàn)交點(diǎn)重合。(4)求彎心的普遍方法：yCeQMe :求彎心到形心距離CCCQyeCs sss ss5-6 考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩考慮材料塑性時(shí)的極限彎矩（一）物理關(guān)系為：（一）物理關(guān)系為：sxss全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍做縱向纖維互不擠壓假設(shè)。s s s sss ss理想彈塑性材料的理想彈塑性材料的s s 圖圖s sss ss彈性極限彈性極限分布圖分布圖塑性極限塑性極限分布圖分布圖（二）靜力學(xué)關(guān)系：（二）靜力學(xué)關(guān)系：)( 依此確定中性軸的位置CSAA 0)(dd)(dCSsAsA