電磁學(xué)第四章恒定電流和電路

1、電磁學(xué)第四章恒定電流和電路前三章討論了靜電場，場源電荷相對于觀察者是靜止不動的。從 本章起討論電荷運動時引起的有關(guān)現(xiàn)象。若電荷作有規(guī)則的定向運動 就會形成電流，要維持電流的存在，必須要有相應(yīng)的電場，所以本章主要討論恒定電流和電場，并引入許多重要的物理概念。§ 4.1恒定電流一、電流、電流強度、電流密度導(dǎo)體放在靜電場中時，導(dǎo)體中的自由電子在外電場作用下發(fā)生定 向運動，當(dāng)導(dǎo)體內(nèi)部場強為零時，定向運動停止。若能使內(nèi)部場強不 為零，定向運動就會持續(xù)下去，這時，在導(dǎo)體中就有電流產(chǎn)生。1、電流（1）定義：帶電粒子（在外電場作用下）作宏觀的定向運動便形 成電流（叫做電流）本章只討論：導(dǎo)體內(nèi)部的電流

2、。（2） 載流子：導(dǎo)體中的能在電場力作用下發(fā)生定向運動的帶電粒 子叫做該導(dǎo)體的載流子，它們是形成電流的內(nèi)在因素。不同性質(zhì)的導(dǎo)體有不同的載流子：金屬導(dǎo)體的載流子是自由電子，酸、堿、鹽的水溶液中的載流子：是正負(fù)離子等。（3）電流的方向正電荷運動的方向為電流的方向。結(jié)論:A :導(dǎo)體中電流的方向總是沿著電場方向，從高電勢處指向低電勢處；B :導(dǎo)體中的載流子為負(fù)電荷（自由電子），此時可以把電流等效 為等量的正電荷沿負(fù)電荷的反方向運動形成。2、電流強度描述，電流的大?。?）定義：單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電荷量，叫做該截 面的電流強度。（這里的截面可以推廣到任意曲面）Aq表示為：I 二 lim t &

3、gt;0- t（2）電流強度I是反映導(dǎo)體中某一截面整體特征的標(biāo)量。I Aq就某S面：1 =三：平均地反映了 s面的電流特征。3、電流密度J（1）定義：導(dǎo)體中每一點的J的方向是該點正電荷運動方向（電 場方向），J的大小等于過該點并與電流方向（正電荷運動方向）垂直 的單位面積上的電流強度，寫為：(2)J與I有不同：I是一個標(biāo)量，描寫導(dǎo)體中的一個面;J是矢量點函數(shù)，描寫導(dǎo)體中的一個點。(3)J與I的普遍關(guān)系dS_只反映了 J與I的特殊關(guān)系（要求面元與 J垂直），下面推導(dǎo)J與I的一般關(guān)系nJ在導(dǎo)體中某點處取一任意面元 dS （ dS與J并非垂直），面元dS的 法線方向n?與該點的J夾角為二，則dS在與

4、J垂直的平面上的投影為：dS二 dScos而dl 二 JdS = JdScos（標(biāo)量）二J r?d = J dS（二矢量點乘仍為標(biāo)量）所以通過導(dǎo)體中任意曲面 S的電流強度I與J的關(guān)系為：I 二 J dSS此式說明：一曲面上的I是J對該曲面的通量（J通量）。（4）J是矢量，J在空間的分布形成J場電流場。由J的定義，導(dǎo)體中各點J有確定的數(shù)值和方向，即使在導(dǎo)體的 外部（真空），J =0，也有確定的值，可見J在整個空間具有確定的分 布，這樣就構(gòu)成一個矢量場，稱之為電流場（J場）為了研究J場的性質(zhì)，仿照前面討論電場E的方法，討論矢量J對 任一閉合曲面的通量。二、連續(xù)性方程dS2；在J場中（導(dǎo)體中）任選一

5、閉合曲面S,由通量的定義知：J對曲面s的通量就是由面內(nèi)向外流出的電流強度（由內(nèi)向外是n?方向），也等于單位時間內(nèi)由面內(nèi)向外流出的電荷量（正電荷）。而根據(jù)電荷守恒 定律：單位時間內(nèi)從面內(nèi)流出的電荷量應(yīng)等于面內(nèi)電荷量的減少。如 果S內(nèi)電量為q （正電荷），則單位時間內(nèi)的減少為-獸。因此:J dSdSndtJ dS 二 J dS J dSSdSdS,“1 T2 I Tn=流出的I=單位時間內(nèi)由面內(nèi)向外流出的電荷量=單位時間內(nèi)面內(nèi)電荷量的減少=一 z?（減小率）dt此式稱為連續(xù)性方程，它實際上是電荷守恒定律的一種數(shù)學(xué)表述。三、恒定電流和電場1、恒定電流：空間各點J都不隨時間而變化的電流叫做恒定電流。2

6、、維持恒定電流的條件：要維持電流，則導(dǎo)體內(nèi)的電場 E內(nèi)=0，而導(dǎo)體內(nèi)的電場是由導(dǎo)體 各處分布著的電荷激發(fā)的。若產(chǎn)生電場E內(nèi)的空間電荷分布（密度）隨時間發(fā)生變化二它們激 發(fā)的電場E內(nèi)也隨時間變化=導(dǎo)體內(nèi)的電流密度 J也隨時間變化=不 是恒定電流。電流的恒定條件：空間各點的電荷分布（密度）不隨時間而變。 故對任意閉合曲面S有.JdS二- 0f 恒定條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式sdt此式的物量意義：在恒定電流的情況下，從閉合面S某些部分流進去的電流強度（J通量）必然等于該閉合曲面其他部分流出去電流 強度。注意：乜=0并不是電荷不運動，只是對某一閉合面S而言，單位dt時間內(nèi)流進S的電荷量q與流出的q相等，結(jié)果好象

7、是q沒隨時間變 化一樣。3、電流線（J線）（1） 規(guī)定：電流線上每點的切線方向與該點的電流密度 J的方向 相同，通過場中任一曲面（非閉合面）的電流線條數(shù)等于該曲面的 J通 量（即該曲面的電流強度）。即:通過任一曲面 S的J線條數(shù)=.Jds=lS（2）J線的性質(zhì)：對恒定電流： J dS = 0S即: J對閉合曲面S的通量為零，說明穿進 S的J線條數(shù)必然等 于穿出的J線條數(shù)，即J線不中斷，無間斷點。故性質(zhì)：恒定電流場中的J線是既無起點又無終點的連續(xù)閉合曲線。這個性質(zhì)叫做 恒定電流的閉合性。所以恒定電流流通的路徑是一個閉 合路徑。4、恒定電場（1） 定義：分布不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場；或與恒定

8、電 流相伴的電場。（2）特點（恒定電場與靜電場的 共同點）：£ = °，空間各點Edt不隨時間變化，因此恒定電場也視為靜電場；但和前面講的靜電場有 所不同（不同點）：前面的靜電場，產(chǎn)生電場的電荷是靜止不動的，這 里產(chǎn)生恒定電場的電荷是運動的，只是電荷分布（密度）不隨時間而 變。既然恒定電場也視為靜電場，所以在恒定電場中，高斯定理和環(huán) 路定理也完全適用。例：P167 習(xí)題 4、1、1 J 二 J?解:J通量為:dI 二 J dS 二 Ji? dSl?- Ji? rR2si1d1d=J? sinTcos®i?+sin日 sin®?+cos日 k? R2si1

9、 丿=JR2 sin2 n cos dd（2）在x > 0的半球面上（用yoz面來分割球面成x > 0的半球面 和x < 0的半球面）312 兀2211 udl =JR sin 二小 2 cos d =JRSio2同理，在xw 0的半球面上：31Isdl 二 JR2。sind2cos d 二-J R22 2li I2 = dl dl = J dS J dSS$Sis2（恒定電流場）J dS = 0§ 4.2 直流電路一、電路1、電路：電流流通的路徑叫 電路。通常的電路往往由若干分支組 成，每個分支叫做一條 支路。若一電路只由一條支路組成，稱為無分 支電路，它是最簡單

10、的電路，也稱全電路。2、節(jié)點：支路與支路之間有聯(lián)結(jié)點， 三條或三條以上支路的聯(lián)結(jié) 點叫做節(jié)點（或結(jié)點）。二、直流電路1、直流電路一一載有恒定電流的電路，也稱為恒定電流電路。恒定電流時，各點的電流密度 J不隨時間而變，而l =J 9S，S所以直流電路中任一截面的電流強度也不隨時間變化。2、直流電路的性質(zhì)（實際是恒定電流條件的推論）（1）直流電路中同一支路的各個截面有相同的電流強度ISS2證明：如圖，選一閉合曲面S包含同一支路的任兩個截面S2。（閉合曲面S與支路相截的部分為 S1> S2， S1> S2為支路中任意選取 的兩個截面）應(yīng)用恒定條件于 S有：J dS = J dS J dS

11、 J dS = 0SSiS2其它而導(dǎo)體（導(dǎo)線）置于真空中（空氣中），J = 0= . J dS = 0，其它J方向：從左 > 右n方向：從里 > 外二 +I1 I 2=0I 1 = I 2若支路形狀為：I l J dS -SiIi3面的電流強度 I2S2面的電流強度*h * J11 J dS = -1 仍有：Il =I25111 J dS 二 1252(2)流進直流電路任一節(jié)點的電流強度等于從該節(jié)點流出的電流強度。如圖：節(jié)點A由5條支路組成，由恒定條件:j dSJ2 dS 111J5 dS J dS = 0S1S285其它而! J dS 二 0其它二 +I 1 + I 2+ ( I

12、 3) +I 4+ ( I 5) =011 +I 2+I 4 = I 3+I 5即流出=流進(3) 這個結(jié)論稱為基爾霍夫第一方程組，它是恒定條件的必然推 論，也是電荷守恒定律的必然結(jié)果。§ 4.3歐姆定律和焦耳定律、歐姆定律電阻電阻 I二R , R值反映導(dǎo)體對電流的阻礙程度，稱為導(dǎo)體的電 阻。二、電阻率ld lR或 R=（與材料、形狀、長短、粗細(xì)、溫度有關(guān)）SS'與導(dǎo)體的材料及溫度有關(guān)，稱為導(dǎo)體的電阻率。1對純金屬：?01 : t.稱電導(dǎo)率三、歐姆定律的微分形式（經(jīng)典金屬電子論）P127（金屬導(dǎo)電、歐姆定律和焦耳定律的經(jīng)典微觀解釋）金屬中有很多自由電子：結(jié)構(gòu)組成為自由電子+原

13、子實1、當(dāng)金屬內(nèi)E內(nèi)二0時，自由電子作無規(guī)則熱運動一一形成電子 氣，熱運動平均速度V = 105 （米/秒）（由統(tǒng)計力學(xué)）。自由電子熱運動過程中不斷與金屬骨架（原子實）碰撞，故自由 電子的運動軌跡為折線。2、當(dāng)E內(nèi)=0時，電子氣除熱運動V夕卜，還有定向運動u形成電流， 但 u v。（1）考慮電子在兩次碰撞之間的運動時E內(nèi)二0時，勻速運動；E內(nèi)=0時，初速為0的勻加速直線運動加速度:a"初速：uo = 0 （定向速率）末速：Uf- f為兩次碰撞之間的平均 時間 eE - I=af 4，為平均自由程V平均速度:0 uf-eEl系。2mvf 定向運動平均速度與場強E的關(guān)（2）考慮與J垂直的

14、面元 S上的J的表示“ U *在金屬內(nèi)部與J垂直的方向上取一面元 S。以厶s為底，U為高取一柱體。單位時間內(nèi)要通過 S面而形成電流的電子數(shù)應(yīng)為柱體體積（U S ）內(nèi)的電子數(shù)：心qS上的電流強度：dlnuS en為單位體積內(nèi)的電子數(shù),dl-S上一點的電流密度：J _ S - nue（大?。懗墒噶?速度方向相反）-2.-.j Be2mv是電導(dǎo)率J =neu（方向：電流密度方向與電子定向運動的二 E金屬中同一點是一個正常數(shù)，不同金屬不同，同一E下有不同的J3、討論（1）J = E （ J與E方向相同，大小成正比）稱為歐姆定律的微 分形式：反映了導(dǎo)體中的 J與引起J的外因E和內(nèi)因 之間的關(guān)系；1對比

15、I = rU （稱為歐姆定律的積分形式）：反映了導(dǎo)體中的I與1引起I的外因U和內(nèi)因R的關(guān)系。1（2）J二E與I二一U等價，并可互相推導(dǎo)：P129R選一圓柱形導(dǎo)體 AB，其中各點的J都與軸線平行，在軸線上選 線元dl :J二E兩邊點乘上dl得:J dl = E 卄亠 E dl沿AB作線積分（沿軸線）得:BJ dlJ dlVApIdl S左邊:BJ dlAB ：?I d l同一支路上各截面有相同的iASB "1 A§dl "RAB右邊:BAE dl 二 UabU AB故U IR I故ABABRAB（3）用經(jīng)典金屬電子論解釋了歐姆定律四、焦耳定律1、焦耳定律的內(nèi)容導(dǎo)體通

16、過電流時要放出熱量，且有Q=l2Rt（焦耳定律）2、電功率：電路的作用之一是（借助電流）把電源的能量傳輸給U2用電器。用電器在單位時間內(nèi)吸收的電能叫做它所吸收的電功率3、額定功率：般用電器上都標(biāo)有額定電壓和額定功率或標(biāo)有電P = IU = I2R =R阻和額定功率：“220V ,40W”燈炮：說明在220V下正常工作吸收電功率為 40W“ 3k"，5W”說明此3k的電阻最大允許的電功率為5W。4、用經(jīng)典的金屬電子論可解釋電流的熱效應(yīng)（焦耳定律）P130金屬中：自由電子在電場力的作用下定向運動形成電流，此過程 中電場力作功，使電子的定向運動動能增大。同時自由電子又不斷地 與金屬骨架（原

17、子實）碰撞，碰撞時把定向運動的動能傳遞給了晶格， 使晶格的熱振動（繞平衡位置的振動）加劇，因而金屬的溫度升高（宏 觀表現(xiàn)）。§ 4.4 電源和電動勢、非靜電力1、 恒定電流的條件：SJ VS二0說明了恒定電流的閉合性。2、僅靠靜電力不能維持恒定電流如圖，一閉合回路上的 A、B兩點，因電流線是閉合的，所以電流由A -； B，再由B - AB*低電勢端只有靜電力作用時'AtB時：V VBA時：VB VA（因I由咼f低J二E）上面出現(xiàn)了矛盾的結(jié)果。即僅靠靜電力不能維持恒定電流。3、非靜電力使電流（正電荷）從低電勢處流向高電勢處， 從而使電流線閉合。 這種力稱為非靜電力。4、電源（1

18、）定義：提供非靜電力的裝置稱為電源?；虬哑渌问降哪芰?轉(zhuǎn)化為電勢能的一種裝置，其它形式的能量包括化學(xué)能（化學(xué)電池） 機械能（發(fā)動機），熱能（熱電偶），太陽能（硅（硒）太陽電池）等。（2）電源的作用：與水泵類似，水泵使水由低處流向高處；電源 使正電荷由低電勢處運動到高電勢處。（3）電源的正負(fù)極：電勢高的叫正極，低的叫負(fù)極。B低電勢端A高電勢端電源外，靜電力推動正電荷由正極（高電勢處）至頂極（低電勢處） 電源內(nèi)，非靜電力使正電荷（電流）從低電勢（負(fù)極）處流向高電勢 處（正極）。注意：電源內(nèi)部的電荷除了受非靜電力的作用外，還受靜電力的 作用外，還受靜電力的作用。BA- +-F 靜'+* F

19、 非 +負(fù)極正極如圖：非靜電力將 B端（負(fù)極的）正電荷運向 A端，從而使A 端帶正電而B端帶負(fù)電，A、B兩端的正、負(fù)電荷激發(fā)一個從 A - B 的靜電場，從而電源內(nèi)的正電荷還要受到由A B的靜電力F。當(dāng)F = F非時，A、B兩端的電荷不再增加，A、B之間的電勢達(dá)到一穩(wěn)定 值。二、電動勢，一段含源電路的歐姆定律1、J與E的關(guān)系僅存在靜電力時，J二E，靜電力使正電荷運動，導(dǎo)體內(nèi)的電流由靜電場E引起；如果存在非靜電力時（如電源內(nèi)部）,J = （E E非），電流由E、E非共同引起。J 將上式變換為：E E非注意：E非僅在電源內(nèi)部，而E卻在整個電路存在，且不隨時間變化。將上式從BfA沿電源內(nèi)部進行線積分

20、:A JAAB dbE dl bE非 dlAJB r diBA1 IA "u sdfBsIdl同一支路上各截面有相同的1 >IRABIr >r為電源的內(nèi)阻AB E dl 二 UbaBdl Ir - UbaIr U ab2、電動勢（1）定義：A=BE非dl為電源的電動勢它等于把單位正電荷從電源負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部移到正極時非靜電力所做的功（2）說明A、電動勢是表征電源本身特性的物理量，它的大小只決定于電源本身的性質(zhì)，而與外電路無關(guān)。；的大小反映了單位正電荷通過電源時，電源能夠?qū)⒍嗌倨渌问降哪芰哭D(zhuǎn)化為電能。B、電動勢是標(biāo)量，；的方向從電源負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部指向正極。C、單位：伏特（與

21、電壓、電勢單位相同）D、電動勢和電壓的區(qū)別電動勢：反映非靜電力對單位正電荷作功的本領(lǐng)；電壓：反映靜電力對單位正電荷作功的本領(lǐng)。3、合源電路的歐姆定律:a順序方向br I由前知：；二 Uab Ir 或 Uab 二 一 Ir此式即為一段合源電路的歐姆定律，U aB稱為電源的端電壓。 計算端電壓uab就是沿Af B計算電勢降落：選Af B為計算的順序方向， 沿此順序方向；的電勢降低，故取“ + ”號，而內(nèi)阻r上的電勢Ir升 高，所以前取“”號。討論：（1）若外電路為電阻元件，且總電阻為R，則Uab = IR ,則上式寫為：=IR IrI R r此式稱為全電路歐姆定律。(2)若外電路有分支，且外電路中

22、還有多個電源， 則含源電路的 歐姆定律寫為：Uab 二 Ua Ub 八-'JR符號法則：選Af B的順序方向：電阻中電流方向與順序方向相同，電勢降 落為+IR，相反為一IR ;電動勢指向(從電源負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)電路到電 源正極)與順序方向相同，電勢降落為 -；,相反時為+；。如下圖結(jié) 果為：UabA3R38 ri C&2冷3=I1R1I1r1-1 2 r _ 1 2 R2"3一丨23例1 書上P135136例題1只內(nèi)2DC注意一種特殊情況：Uab =4V在例1中，求得,c （伏），若I再增加，則Ucd等于UcD =幻-心=0負(fù)值。這說明：當(dāng)電路中不止一個電源時，流過其中某

23、一電源的電流 可能與非靜電力方向相反（從正極經(jīng)電源內(nèi)部到負(fù)極），稱此狀態(tài)（I與；方向相反）為電源的充電狀態(tài)，反之為放電狀態(tài)。此時非靜電力 作負(fù)功，電源的非靜電能不減少反而增力，所以叫充電。例2:書上P136例題2 :八個全同電源順接，每個電源端電壓為零，但回路中仍有電流（因為是含源電路）。例3 （補充）：書上P170習(xí)題4、4、5A I ，R1, .a B8 Rl cAI l| 1 1 |uR求 Uab , Uac , Ucb解：由全電路歐姆定律得：" 六訂=2 （安）方向如圖由含源電路歐姆定律：u AB 八 1 IRi 八623=0（伏）二 TR- IR22 = -2 4- 2 1

24、 10= 0 （伏）UacIR24八8（伏）=IR - 2 IR2 = 23 1 - 6-10 八8 （伏）Ucb = 2一 収2 =10一2 1 = 8（伏）=IR 1尺 -43 - 6 = 8 （伏）三、電動勢的測量一一單勢差計書上 P136-137。（利用I =0時，；二Uab來進行測量）四、導(dǎo)線表面的電荷分布（自學(xué)）書上 P137-138。五、直流電路的能量轉(zhuǎn)換（自學(xué)）書上 P138-139。§ 4.5 基爾霍夫方程組一、基爾霍夫第一方程組（第一定律）（節(jié)點方程）1、內(nèi)容：在任一節(jié)點處，流向節(jié)點的電流之和等于流出節(jié)點的電 流之和。對于一個有多個節(jié)點的復(fù)雜電路，利用基爾霍夫第一

25、方程組可以 寫出一組方程，故稱為基爾霍夫第一方程組，記作n-I i =0i勻2、注意：（1）符號規(guī)定：當(dāng)某支路電流的正方向指向節(jié)點時用 “一”，背離節(jié)點時用“ +”（或相反）；而每一個Ii本身則仍為一可正可負(fù)的代 數(shù)量。求出電流后，I為正，說明其真實方向與選定正方向相同，I為負(fù)則相反。（2）對于有n個節(jié)點的復(fù)雜電路，只能列出 （n 1）個獨立的節(jié)點方程二、基爾霍夫第二方程組（第二定律）（回路方程）（環(huán)路定理的結(jié)果）1、內(nèi)容：任一閉合回路中，電勢降落的代數(shù)和為0。（實際上就是：從一閉合回路的任一點A出發(fā)，繞回路一周又回到出發(fā)點A，Uaa當(dāng)然為0,即電勢沒有變化）書141頁圖4-23中電流I?、I

26、3方向有誤！就復(fù)雜電路中的任一回路（包含電源、電阻），基爾霍夫第二方程組寫為：（升）a -；八-IR （降）2、說明：探（1）符號規(guī)則：任意選定一個回路繞行方向。對電源：當(dāng)繞行方向從負(fù)極進入電源時，其電動勢前寫“ + ”號，否則寫“一”號；對 電阻：當(dāng)繞行方向與流過電阻的電流的正方向相同時，該電阻的IR項前寫“ + ”號，否則字“”號。（2） 取閉合回路時，應(yīng)注意回路的獨立性。具體規(guī)則是：新選定 的回路中，至少應(yīng)有一段電路是在已選過的回路中所未曾出現(xiàn)過的。（3） 對有n個節(jié)點b條支路的復(fù)雜電路，其獨立回路個數(shù)m=b-（n-1）。三、用基爾霍夫方程組解題舉例解題步驟：1、 任意規(guī)定各支路電流的正

27、方向并選定各回路繞行方向（若電路 中電流方向已標(biāo)出，就不再另標(biāo)了）；2、選定支路數(shù)b,節(jié)點數(shù)n,獨立回路數(shù) m=b-（n- 1）;3、 根據(jù)符號法則列出（n1）個節(jié)點方程，m個回路方程（檢 查節(jié)點、回路方程之和是否等于支路數(shù)）；4、解方程組，根據(jù)解出結(jié)果Ii （或i）的正負(fù)，判斷其實際方 向。例1書上P142143例題1|iARi|3回路I丿回路II8T解：假設(shè)各支路電流正方向如圖。 一個獨立節(jié)點，兩個獨立回路:2 二 I2R2I3R3解得：I1=1 （安），I2= 0.5 （安）13=0.5 （安） 說明：丨1、13的實際方向與假設(shè)的正方向相同，12的實際方向與假設(shè)的 正方向相反。例2:書上P143例題2 自學(xué)例3:書上