數(shù)學(xué)北師大版選修21練習(xí)4243 圓錐曲線的共同特征 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 2

1、,學(xué)生用書(shū)單獨(dú)成冊(cè))A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1過(guò)點(diǎn)(2，4)作直線與拋物線y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()A1條B2條C3條 D4條解析：選B.易知點(diǎn)(2，4)在拋物線上，從而這樣的直線有兩條，一條為切線，一條與x軸平行2方程|xy2|表示的曲線是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D線段解析：選B.因?yàn)閨xy2|，所以>1.所以由圓錐曲線的共同特征知該方程表示雙曲線3已知橢圓C：x21，直線l：9xy50與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.C(1，4) D(1，14)解析：選A.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，把y59x代入x21整理得4

2、5x245x80，x1x21，y1y259x159x21，故x，y，因此P的坐標(biāo)為.4若橢圓上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離最小，則點(diǎn)P是()A橢圓短軸的端點(diǎn) B橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)C不是橢圓的頂點(diǎn) D以上都不對(duì)解析：選B.由圓錐曲線的共同特征知，點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離|PF2|de(x0)eaex0.當(dāng)x0a時(shí)，|PF2|最小5直線l：yx3與曲線1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選D.當(dāng)x0時(shí)，曲線方程可化為1，即橢圓y軸左側(cè)部分；當(dāng)x0時(shí)，曲線方程可化為1，即雙曲線y軸右側(cè)部分，如圖可知直線yx3與曲線有三個(gè)交點(diǎn)6曲線y和yx有_個(gè)公共點(diǎn)解析：y可化為x2y21(y0)，其圖形為半圓，在同一

3、坐標(biāo)系中畫(huà)出兩曲線的圖形，直線與半圓相切答案：17已知斜率為1的直線過(guò)橢圓y21的右焦點(diǎn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)是_解析：由得5x28x80.所以設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，e，|AB|2×2e(x1x2)4×.答案：8直線ykx1與曲線mx25y25m(m>0)恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_解析：將ykx1代入mx25y25m，得(m5k2)x210kx5(1m)0，對(duì)kR，總有實(shí)數(shù)解所以20m(m15k2)0，對(duì)kR恒成立因?yàn)閙>0，所以m15k2恒成立，所以m1.即m的取值范圍為1，)答案：1，)9已知雙曲線1(a>0

4、，b>0)的離心率e1，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使得PF1是P到l的距離d與PF2的等比中項(xiàng)？解：設(shè)在左半支上存在P點(diǎn)，使|PF1|2|PF2|·d，由雙曲線的第二定義知e，即|PF2|e|PF1|.再由雙曲線的第一定義，得|PF2|PF1|2a，由在PF1F2中有|PF1|PF2|2c，所以2c.利用e，由式得e22e10，解得1e1.因?yàn)閑1，所以1e1，與已知e1矛盾所以不存在符合條件的點(diǎn)P.10拋物線y22px(p>0)與直線yx1相切，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦

5、點(diǎn)(1)求p的值；(2)若直線AB與x軸交于點(diǎn)Q(1，0)，且|QA|2|QB|，求直線AB的斜率；(3)若AB的垂直平分線l與x軸交于點(diǎn)C，且|AF|BF|8，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)由得y22py2p0(p>0)有兩個(gè)相等實(shí)根，即4p28p4p(p2)0，得p2為所求(2)設(shè)直線AB的方程為xmy1，由得y24my40，由|QA|2|QB|得y12y2，又聯(lián)立解出m±，故直線AB的斜率k±.(3)拋物線y24x的準(zhǔn)線x1，且|AF|BF|8，由定義得x1x228，則x1x26.設(shè)C(m，0)，由C在AB的垂直平分線上，從而|AC|BC|，則(x1m)2y(x2m)2

6、y，(x1m)2(x2m)2yy，(x1x22m)(x1x2)4(x1x2)，因?yàn)閤1x2，所以x1x22m4，又因?yàn)閤1x26，所以m5，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，0)B.能力提升1若曲線C1：x2y22x0與曲線C2：y(ymxm)0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.解析：選B.C1：(x1)2y21，C2：y0或ymxmm(x1)當(dāng)m0時(shí)，C2：y0，此時(shí)C1與C2顯然只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，要滿(mǎn)足題意，需要圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓與直線相切時(shí)，m±，即直線處于兩切線之間時(shí)滿(mǎn)足題意，則<m<0或0<m<.綜上

7、知<m<0或0<m<.2若橢圓1(a>b>0)和圓x2y2(c為橢圓的半焦距)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.要保證橢圓與圓有4個(gè)交點(diǎn)，只要保證b<c<a即可由得4c2>b2a2c2，5c2>a2，>，即e2>，故e>.由得4(a2c22ac)>b2a2c2，即3a28ac5c2>0.兩邊同除以a2，得5e28e3>0，即(e1)(5e3)>0，解得e>1(舍去)或e<，則<e<.3已知A為一定點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線1的右焦點(diǎn)，

8、M在雙曲線右支上移動(dòng)，當(dāng)|AM|MF|取最小值時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)解析：因?yàn)閍3，b3，所以c6，e2，如圖所示，過(guò)M作MP垂直于準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，則2，所以|MF|MP|.所以|AM|MF|AM|MP|AP|.所以當(dāng)且僅當(dāng)A，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，|AM|MF|最小所以yMyA3.代入雙曲線方程，得xM2，故M(2，3)答案：(2，3)4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F, 右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2, 若d2d1，則橢圓C的離心率為_(kāi)解析：依題意，d2c.又|BF|a，所以d1.由已知可得

9、83;，所以c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以離心率e.答案：5已知橢圓M的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且兩準(zhǔn)線間距離為.(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓M的上頂點(diǎn)A作兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)B，C(異于點(diǎn)A)，且它們的斜率分別為k1，k2，若k1k2，求證：直線BC恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)由題意得，2c4，所以a4，c2.又a2b2c2，所以b2，又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓M的方程為1.(2)由題意得，橢圓M的上頂點(diǎn)為A(0，2)，不妨設(shè)直線AB的斜率為k1，則直線AB的方程為yk1x2，與橢圓M的方程聯(lián)立，得方程組整理得(14k)x216k1x0，又xB0，所以xB，所以yB.同理可得xC，yC，又k1k2，所以把k2代入xC，yC，得xC，yC，因?yàn)閤BxC0，yByC0，所以點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即無(wú)論直線AB的斜率k1取何值時(shí)，直線BC恒過(guò)一個(gè)原點(diǎn)所以直線BC恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)6(選做題)求過(guò)點(diǎn)P(0，1)且與拋物線y22x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程解：若直線斜率不存在，則過(guò)P(0，1)的直線方程為x0.直線x0