微積分考試及答案

1、0202 微積分（下） 2015 年 12 月期末考試指導(dǎo)一、 考 試說(shuō)明考試題型包扭：選擇題 （10道題，每題 3分）填空題 （ 5道題，每題 3分）計(jì)算題 （ 6道題，平均每題 8-9分） 證明題（一般 1道題，每題 7 分）?？荚嚂r(shí)間： 90 分鐘。二、 課程章節(jié)要點(diǎn)第一章、廣義積分和定積分的應(yīng)用（一）廣義積分1. 知識(shí)范圍（ 1） 廣義積分的概念（2）無(wú)窮積分的收斂性與判別法（3）瑕積分的收斂性與判別法2. 考核要求（1）理解無(wú)窮積分和瑕積分的概念及兒何意義（2）掌握非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分收斂性和比較判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法（3）知道瑕積分收斂性和比較判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判

2、別法（二）定積分的應(yīng)用1. 知識(shí)范圍（1）掌握定積分在幾何計(jì)算平面圖形的面積（2）掌握定積分在幾何計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積、 1111 線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲而的而積 （ 3） 掌握定積分在物理上計(jì)算壓力、功、重心等簡(jiǎn)單應(yīng)用2. 考核要求（ 1） 掌握定積分在幾何計(jì)算平面圖形的面積（2）掌握旋轉(zhuǎn)體的體積、曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算（ 3） 掌握定積分在物理上計(jì)算壓力、功、重心等簡(jiǎn)單應(yīng)用 第二章、級(jí)數(shù)（）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍（ 1） 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的基本知識(shí)級(jí)數(shù)收斂的必要條件（ 2） 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法比較判別法比值判別法（3）一燉項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂條件收斂萊布尼茲判別法積分

3、判別法阿貝爾判別法 里克萊判別法2. 考核要求（ 1） 掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的基木知識(shí)級(jí)數(shù)收斂的必要條件（2）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法和比值判別法（ 3） 掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂的概念（4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的萊布尼茲判別法、了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的阿貝爾判別法和狄里克 萊 判別法（ - ）函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍（1）函數(shù)列及其一致收斂性（2）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一 ?致收斂性（3）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法（4）一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)2. 考核要求（1）掌握函數(shù)列及其一致收斂性概念（2）掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其 - ?致收斂性概念（3）掌

4、握一致收斂性 M- 判別法，了解阿貝爾判別法和狄里克萊判別法（4）掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（三）幕級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍（1）幕級(jí)數(shù)的概念幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑幕級(jí)數(shù)的展開(kāi)（ 2） 幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)，幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算（3）幕級(jí)數(shù)的展開(kāi)2. 考核要求（1）理解幕級(jí)數(shù)的概念 熟練掌握幕級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑（ 2） 掌握幕級(jí)數(shù)的性質(zhì) 會(huì)幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算（3）掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)的展開(kāi) 第三章、多元函數(shù)（一）多元函數(shù)的極限與連續(xù)1. 知識(shí)范圍（1）多元函數(shù)與平血點(diǎn)集（2）完備性定理（3）二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的幾何意義（4）二元函數(shù)極限累次極限（ 5） 二元函數(shù)的連續(xù)性概念有界閉區(qū)域上連續(xù)函

5、數(shù)的性質(zhì)2. 考核要求（1）理解多元函數(shù)與平面點(diǎn)集（ 2） 知道上的完備性定理（3） 掌握二元函數(shù)的定義域理解二元函數(shù)的兒何意義4) 掌握二元函數(shù)極限的概念掌握累次極限的概念5) 理解二元函數(shù)的連續(xù)性概念理解冇界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（二）多元函數(shù)微分學(xué)1. 知識(shí)范圍（ 1） 多元函數(shù)可微性與全微分的概念多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可微性的幾何意義少應(yīng)用（ 2） 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的全微分（ 3） 方向?qū)?shù)與梯度（ 4） 高階偏導(dǎo)數(shù)中值定理和泰勒公式極值問(wèn)題2. 考核要求（1）理解多元函數(shù)可微性與全微分的概念理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念了解可微性的幾何意 義與應(yīng)用（2）掌握復(fù)合函數(shù)微

6、分法熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握復(fù)合兩數(shù)的全微分的求法（3）掌握方向?qū)?shù)與梯度及計(jì)算（4）掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的求法知道多元函數(shù)的微分中值定理和泰勒公式（5）理解多元函數(shù)極值問(wèn)題掌握二元函數(shù) H 由極值求法 第四章、隱函數(shù)1. 知識(shí)范圍（ 1） 隱函數(shù)概念 隱函數(shù)存在性條件的分析（ 2） 隱函數(shù)定理隱函數(shù)的求導(dǎo)（ 3） 隱函數(shù)組概念隱函數(shù)組定理反函數(shù)組與坐標(biāo)變換（ 4） 平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線（ 5） 條件極值2. 考核要求（ 1） 了解隱函數(shù)概念 了解隱函數(shù)存在性條件的分析（ 2） 了解隱函數(shù)定理掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算（ 3） 了解隱函數(shù)組概念了解隱函數(shù)組定理

7、了解反函數(shù)組與坐標(biāo)變換（4）掌握平面 Illi 線的切線與法線空間 Illi 線的切線與法平面曲面的切平面與法線的概念及 計(jì)算（ 5） 掌握多元函數(shù)條件極值的拉格朗 LI 乘數(shù)法 第五章、重積分1. 知識(shí)范圍（1） 二重積分的概念 二重積分的可積條件直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算格林公式曲線積 分與路線無(wú)關(guān)性二重積分的變量變換（2）三重積分的概念三重積分的可積條件直角處標(biāo)系下三重積分計(jì)算三重積分的變量變換（ 3） 重積分的應(yīng)用曲面的面積 重積分在物理學(xué)上的應(yīng)用2. 考核要求（1） 理解二重積分的概念 理解二重積分的可積條件熟練掌握直角坐標(biāo)系卜 ?的二重積分 計(jì) 算熟練掌握極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算理

8、解格林公式理解曲線積分與路線無(wú)關(guān)性的條件會(huì) 二重積分的變量變換（2）理解三重積分的概念理解三重積分的 nJ 積條件 掌握直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算 會(huì)三 重 積分的變量變換會(huì)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算（3）掌握重積分在幾何上的應(yīng)用掌握曲面的而積的計(jì)算掌握重積分在物理學(xué)上的簡(jiǎn)單應(yīng)用 第六章、微分方程初步1. 知識(shí)范圍（1）微分方程的概念，階數(shù)判斷（2）一階微分方程的解法（3）可降階的高階微分方程的解法（4）二階常系數(shù)線性微分方程的解法（5）二階常系數(shù)線性微分方程的解法及其應(yīng)用2. 考核要求（1）理解微分方程的概念，熟練掌握階數(shù)判斷的方法（2）理解一階微分方程的解法，會(huì)進(jìn)行計(jì)算（3）掌握可降

9、階的高階微分方程及其解法（4）了解二階常系數(shù)線性微分方程，它的解法，和在實(shí)際問(wèn)題屮的應(yīng)用三練習(xí)題1. n->x? 0是級(jí)數(shù)工仏收斂的（）A、充分條件B、必要條件C、充要條件D、無(wú)關(guān)條件2?卜？列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（A、工Ac、ZI3. 下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是DIA、若丁 2卅+ 1 00 1 工（-1）冷 心 7rr亠、單選題z(-ir 4/r=l，D、 D-iy 77-1W=1715. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)立”收斂的充要條件為（ n=lA limij =0M, > U2 > Un > ?C、1冊(cè)導(dǎo)存在，(Sn =U +U2+? + /)D、lim 乩=1TOOu6設(shè)z = z （xo

10、）是由方程爐=0所確定的隱兩數(shù)，貝恃（D、x(1-z)7.設(shè)函數(shù)f （x,y）的駐點(diǎn)為（心兒），且左（心兒）二人允（心兒）二乩冗（兀兒）二匚A、A>0M>0B. A>0,A<0CA A<0,A>0A = B* 2 3 4-AC,則（心兒）為極大值點(diǎn)充分條件是（）Ds A<0,A<08.A、9/r設(shè) D = |(x, y)|l2 x2 + y2 321，則 j :dxdy -()B、 2;r巧C、4/rD、8/rCA y*+ 2x = 09. y =小是哪個(gè)微分方程的解()C、C cos2x + C2 sin2x D、ex10. 方程y,-2yt+

11、5y = 0的通解是()AA k(C cos2x + C 2Sin2x) B、ex( Cx + C2)、填空題 幕級(jí)數(shù)£（-i） ” 的和函數(shù)是0-A-= dxdy5、二元函數(shù)/(x,y)=(八-1) 2+(y-2)2的極小值點(diǎn)是 ?6、微分方程y ”-7y '+12y = 0的通解為 7、二元函數(shù)/(x,y) = (x-l)2+b-2 ) 2的極小值點(diǎn)是 ?& 微分方程 xdx + ydy = 0的通解為 .二、計(jì)算題1設(shè) x + b+z = InJx+b+z ,求竺.dx2. 計(jì)算二重積分Jlj4?V'其中D是由圓周x2 +)4 2x圍成的閉區(qū)域3. 計(jì)算

12、積分/的值.(提示：先改變積分次序)4、判斷級(jí)數(shù)為治的收斂性.n = l =兀？5、將函數(shù)/心丄展成皿幕級(jí)數(shù)06、求幕級(jí)數(shù)工處心的和.n=l7、求函數(shù) z = xy(a-x-y)的極值(a >0).8>設(shè)z = -v3 + y3-3xy ,求它的極值.9、求微分方程xA+y = cosx的通解.dx10八求yjx2 4- y2dxdy,其中 D = y) x2 + y2 W 2x.四、證明題1、設(shè) z = xv (x > 0,x 1),證明=2z. y dx In x dy四、習(xí)題答案、單選題BBCCC BDDDA、填空題1. 嚴(yán)2. |(X,>)|A-2+.V2 &g

13、t;13. 計(jì)4. -4 切5 (1,2) .6、y = Qe3x AC2e4x.7、(1,2).8、%2 + y2 = C.三、計(jì)算題1.提示：隱含數(shù)求導(dǎo)法 - = -1， dx2提示洋產(chǎn)験JT石心理2_2c。幽2龍一4?3. 提示： I = 1 sin 1 ?4、提示 :應(yīng)用比值法 lim 也= lim 丄(1 + =< 1 > 收斂 " >8 a >30 31nJ5、提示 ：/W=7A= (X-3)(A-2)=X3 1-l 3丿丿1 8 (八"1 oc /vLy- -ly - 2 幺(2=丿 3 幺(3 丿6、提示：利川幕級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積法&

14、; 提示：f; =3x2-3y = 0J ; . =3/-3x = 0=>=0)1 = 0%2 = 172 =1a>令S(x)二卅X"T ,逐項(xiàng)積分卜(少 =£兀二x + x2+?=八zr=l0心1 一兀/、所以S (z) | =丿X "),xe (-1,1). nxnn=l7、提示：利用判定極值點(diǎn)的方法:忙嚴(yán)0,解出駐點(diǎn)(0,0),(a a、Z), = x(a-x-y)-xy = 05*3>z? = -2y,珞=a-2x-2y, z"y = -2x.27(0,0)卄?極值點(diǎn)，靂)極大值點(diǎn)其極大值為気,其極小值為-1.化=6xf-3傀=6 “ (0,0)非極值點(diǎn),(1,1)是極小值點(diǎn)9、提示：y = (C + sinx).? l10'提示：利用變量代換(極坐標(biāo)變換):,r2eos& 32 do rrdr da2 + y2dxdy =jt=-四. 證明題z = X>,. ?.學(xué)=yxv_1