立體幾何的解題技巧

1、立體幾何大題的解題技巧綜合提升【命題分析】高考中立體幾何命題特點：1. 線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系2. 空間“角”與“距離”的計算常在解答題中綜合出現(xiàn)3. 多面體及簡單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)4. 有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點.此類題目分值一般在 17-22分之間，題型一般為 1個選擇題，1個填空題，1個解答題.【考點分析】掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離 的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平

2、面間的距離的概念【高考考查的重難點*狀元總結(jié)】空間距離和角：“六個距離”：1 兩點間距離 d = _ （% -x2）2 （% - y2）2（乙 - z2）2PQ*u2點P到線I的距離d = （Q是直線l上任意一點，u為過點P的直線I法向量）uPQ*u3兩異面直線的距離 d = （ P、Q分別是兩直線上任意兩點 u為兩直線公共法向量）uPQ*u4點P到平面的距離 d= （Q是平面上任意一點，u為平面法向量）u5直線與平面的距離【同上】6平行平面間的距離【同上】“三個角度”1異面直線角【0,】cos二=2|vv【辨】直線傾斜角范圍【0,二）2線面角【0,或者解三角形3二面角【0，兀】cose-士丄

3、轉(zhuǎn) 或者找垂直線，解三角形n1 n2不論是求空間距離還是空間角，都要按照 寓證明于運算之中，正是本專題的一大特色“一作，二證，三算”的步驟來完成，即求解空間距離和角的方法有 兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。其中，利用 空間向量求空間距離和角的 套路與格式固定，是解決立體幾何問題這套 強(qiáng)有力的工具時，使得高考題具有很強(qiáng)的套路性?！纠}解析】考點1點到平面的距離求點到平面的距離就是求點到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點在平面內(nèi)的垂 足，當(dāng)然別忘了 轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用典型例題 例1 （福建卷）如圖，正三棱柱 ABC ABQ的所有棱長都為2， D為cc1中點.（I）求證：ABi

4、丄平面AiBD ；（n）求二面角 a_a,d_b的大??；（川）求點C到平面ABD的距離.考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運算能力.解：解法一：（I）取BC中點0,連結(jié)AO .ABC為正三角形，.A0丄BC .T正三棱柱 ABC -AiBiCi中，平面 ABC丄平面BCCR，.A0 丄平面 BCC1B1 .連結(jié)B0，在正方形BBCiC中，0, D分別為BC，CG 的中點，.B0 丄 BD， . AB1 丄 BD .在正方形 ABB1A1中，AB ± A B，/. AB1丄平面A BD .（n）設(shè) AB

5、1與AB交于點G，在平面ABD中，作GF丄AD于F，連結(jié)AF，由（I）得ABi丄平面A BD .AF丄AD，. /AFG為二面角 A-AD-B的平面角.在厶AAD中，由等面積法可求得 AF二415，5又丁 AG =!aB1 »2 ,AG2. 10 2si n/AFGAF 4應(yīng)4-所以二面角A _AD _B的大小為arcsin0 -4（川） ABD 中，BD =AD = 5, AB =2.2, S Abd 二 6， S bcd在正三棱柱中，A到平面BCG B,的距離為.3 設(shè)點C到平面A BD 的距離為d 由 VA BCD=VC Al BD，得 A BD _d 3Sa bcdSa a

6、bd點C到平面A BD的距離為2 2解法二：（I）取BC中點O ,連結(jié)AO ABC為正三角形，.AO丄BC T在正三棱柱 ABC _ABG中，平面ABC丄平面BCGB ,.ad 丄平面 BCCiBi 取B, G中點O,，以O(shè)為原點，Ob , OQ , OA的方向為X, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 B( 1,0,0) , D(-1 ,1,0) , A(0,2. 3)， A(0,0, 3) , B, 1,2,0),BD =(20),BA =(-1 ,2 , . 3) .AB =( 1 ,2, -abUba 二-143 =0 ,.AB1 丄 BD ,AB1 丄 BA .AB平面ABD

7、(n)設(shè)平面A1AD的法向量為n = (x , y , z) IT_1AD=(1,1 , -V3) , AA =(0 , 2,0) ；n 丄 AD , n 丄 aan_AD =0 ,-x y -；3z =0,y = ° ,n_AA =0,2y =0,x = - 3z.令z =得n =(-73,01)為平面A AD的一個法向量.-可編輯修改-由（I）知AB平面ABD ,p AB1為平面ABD的法向量.cos : n ,AB =nQAB.“ 3 一、3n|jAB 2 . 2.二面角 A_AD_B的大小為arccos-6 -4（川）由（n） , ab.為平面Ai BD法向量,：花=(20,

8、0),晶=(1,2,- 3)-.點C到平面A,BD的距離二.-2小結(jié)：本例中（川）采用了兩種方法求點到平面的距離解法二采用了平面向量的計算方法,把不易直接求的B點到平面AMB,的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點 K到平面AMB,的距離的計算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法； 解法一采用了等體積法， 這種方法可以避免復(fù)雜的幾何 作圖，顯得更簡單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法考點2異面直線的距離考查異目主面直線的距離的概念及其求法考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離 例2已知三棱錐S-ABC，底面是邊長為4邁的正三角形，棱 SC的長為2，且垂直于底面 E、D分別為BC、AB的中點，求CD與 SE間的距

9、離.CA思路啟迪：由于異面直線 CD與 SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法 將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步 轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離解：如圖所示，取 BD的中點F,連結(jié)EF, SF, CF,EF 為 BCD 的中位線，.EF / CD, CD /面 SEF,-CD到平面SEF的距離即為兩異面直線間的距離又；線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線 CD上一點C到平面SEF的距離，設(shè)其為h,由題意知，BC =4. 2,D E、F分別是AB BC BD的中點，CD =2 .6, EFf ；6,DF = $2, SC =22VS -CEF3 2 EF DF SC6 寫i 99-在 Rt. SCE

10、中,SE= .SC CE =2 3在 Rt. ：SCF 中，SF 二 SC2 CF2 = 4 24 2 二 302、33H.GBi11i2 ：3由于 Vc»vsf =3 S sef h，即 3 3 h 廠，解得 h故CD與 SE間的距離為3小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程 考點3直線到平面的距離偶爾會再加上平行平面間的距離，主要考查點面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化 例3.如圖，在棱長為 2的正方體 AC3中，G是AA的中點，求 BD到平面GB3D3的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離 的方法求解.解： 解法一 ' BD /

11、平面 GB3D3，.BD上任意一點到平面 GBQ!的距離皆為所求，以下求點O平面GBiDi的距離，B1D1 _ A,C1， B1D1 _ A,A，. B1D1 _ 平面 A1ACC1,又 B1D1 - 平面 GB1 D1平面AACG GBQ1，兩個平面的交線是 02,作0H _ O1G于H,則有0H _平面GB1D1，即0H是0點到平面GB1D1的距離. 在 i-010G 中，S OOG = 1 010 A0 =丄 22= - 2 .1 2 21 1 廠廠2/6又 S O1OGOH O1G3 OH = 2, OH.2 232V6即BD到平面GB1D1的距離等于 解法二 BD /平面GB1D1，

12、.BD上任意一點到平面 GBiDi的距離皆為所求，以下求點 B平面GBiDi的距離.設(shè)點B到平面GBiDi的距離為h,將它視為三棱錐 B-GBiDi的高，則-VDi _GBBi，由于 S GBiDiV Di _GBBiii224,.h323.63即BD到平面GBiDi的距離等于小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c， 轉(zhuǎn)化為點面距離本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離； 解析二是等體積法求出點面距離 考點4異面直線所成的角【重難點】此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角 典型例題AD例4如圖，在RtAA

13、OB中，OAB =匸，斜邊AB =4 . Rt AOC可以通過6RtA AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角 B - AO - C的直二面 角.D是AB的中點.(I )求證：平面COD _平面AOB ;(II )求異面直線 AO與CD所成角的大小.思路啟迪：(II )的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi).解：解法 i: (I )由題意，CO _ AO，BO _ AO，乙BOC是二面角B - AO - C是直二面角，CO _BO，又 tAO"BO =O，CO _ 平面 AOB，又CO 平面COD .平面COD _平面AOB .(II )作DE _ OB，垂足為E，連結(jié)CE (

14、如圖)，則DE / AO，ZCDE是異面直線AO與CD所成的角.在 RtA COE 中，CO=BO=2，OEBOT，2.CE 二.CO2 OE2.又 DE nAO =：、；3 .2在 RtA CDE 中，tanCDE 二些=5.DE V33-異面直線AO與CD所成角的大小為3解法2: (I )同解法1.(II )建立空間直角坐標(biāo)系 O_xyz，如圖，則 0(0,0,0) , A(0,0,2.3) , C(2,0,0) , D(01,3),.OA=(0,0,23)，CD =(/,1,3)，"<0ACD片魯昇島oaJcd 2座726"4.異面直線A0與CD所成角的大小為a

15、rccos6 4小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直 線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如 解析二；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三 一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法 同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：In2考點5直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計算 線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容典型例題例5 (全國卷I理)四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面AB = 2 ,

16、BC -2 2 , SA = SB = 3 .(I)證明 SA_BC ；(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.考查目的：本小題主要考查直線與直線 ，直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.解：解法一：(I)作SO丄BC，垂足為0 ,連結(jié) A0，由側(cè)面SBC丄底面ABCD ,得SO丄底面 ABCD .因為SA二SB，所以A0二B0 ,又/ ABC =45、,故 AOB為等腰直角三角形， A0丄B0 ,由三垂線定理，得(n)由(I)知SA丄 BC .SA丄BC，依題設(shè)故SA丄AD，由S0 = 1, SDh 不. SAB的面積S冷ABL

17、嚴(yán)2一應(yīng)2BAD 二 BC =2.2 ,連結(jié) DB , 得 DAB 的面積 S2 =-AADsin135： =22設(shè)D到平面SAB的距離為h，由于VD fAB=Vs _abd，得-h_S-SOS2，解得 h = 2 .33-h 貶 sinSD 4所以，直線SD與平面SBC所成的我為arcsin_2? 11設(shè)SD與平面SAB所成角為，則si22解法二：（I）作SO丄BC，垂足為O，連結(jié)AO，由側(cè)面SBC丄底面ABCD，得SO丄平面ABCD .因為SA二SB，所以AO = BO .又/ ABC =45：， AOB為等腰直角三角形， AO丄OB .如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系

18、 Oxyz，a（'一2,0，），b（0,2,，c（0,-、2,，s（0，,i），SA=（ ,2,0, i）CB =（0,2、,2,）,=0，所以SA丄BC .（n）取AB中點E，廠蚯逅cx連結(jié)SE,取SE中點G，連結(jié)OG , G Q2 H - 'I4 4 2 丿OG 二心2 42 1、I4,4 2丿,忑=（-血,，2,）.sEog =0,ABLOG = 0，OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線ESE, AB垂直.所以O(shè)G _平面SAB, OG與DS的夾角記為:-,SD與平面SAB所成的角記為，則與-互余.D（ .2,、2,）, DS =（2,.2,.ogLds 22cos "

19、;og聲=sin 22，11所以，直線SD與平面SAB所成的角為arcsin丄2 .11小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時，常用以下步驟：構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角，證明一一論證作出的角為所求的角， 計算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點明直線和平面所成的角的值考點6二面角【重點】此類題主要是如何確定二面角的 平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為 線線角放到一個 合適的三角形中進(jìn)行求解二面角是高考的熱點_ 典型例題例6.（湖南卷） 如圖，已知直角， A PQ , B : , C：=卩，CA = CB , . BAP =45，直線C

20、A和平面:-所成二面的角為30 .（I ）證明BC丄PQ ;（II ）求二面角B-AC-P的大小.命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識， 考查空間想象能力、 邏輯思維能力和運算能力 過程指引：（I）在平面一：內(nèi)過點C作CO丄PQ于點0，連結(jié)0B .Q因為：丄1一： = PQ，所以CO丄，又因為CA =CB，所以O(shè)A = OB.而.BAO 二 45，所以.ABO = 45： , AOB = 90 ,從而BO丄PQ，又CO丄PQ ,所以PQ丄平面OBC .因為BC 平面OBC，故PQ丄BC .（II ）解法一：由（I）知，BO 丄 PQ，又丄 1= PQ ,BO 二：J 所以 B

21、O 丄'.過點O作OH丄AC于點H，連結(jié)BH，由三垂線定理知，BH丄AC .故.BHO是二面角B - AC -P的平面角.由（I）知，CO丄所以 CAO是CA和平面所成的角，貝U CAO二30 ,不妨設(shè) AC =2，貝U AO = . 3 , OH 二 AO sin 30；在 RtOAB 中，.ABO =/BAO =45：，所以 BO 二 AO 二、3 ,于是在RtA BOH中,tan BHO 二昱OH故二面角BACP的大小為arctan2 .解法二：由（I ）知，OC丄OA , OC丄OB , OA丄OB，故可以O(shè)為原點，分別以直線OB, OA, OC為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐

22、標(biāo)系（如圖）因為CO丄a，所以 CAO是CA和平面所成的角，貝U . CAO =30：.不妨設(shè) AC = 2，則 AO, CO = 1.在 RtOAB 中， ABO = BAO 二 45 , 所以 BO 二 AO = 3 .則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是O(O,O,O) , B(、3,0,0),所以 AB =(.3,-3,0),A(0,. 3,0), 0(0,0,).AC =(0,-、31).設(shè)m = X, y, z是平面ABC的一個法向量，由取 x =1，得 m =（1,1廠、3）.易知n2 =（100）是平面-的一個法向量.設(shè)二面角B-AC-P的平面角為二，由圖可知,所以COST二1 =込/5 1

23、 5故二面角B - AC - P的大小為arccos .5小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱， 補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用 平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法， 即當(dāng)二面角的平面角不易作 出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小【課后練習(xí)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_底面ABCD DAB為直角，AB| CDAD=Ct=2AB E、F分別為PC CD的中點.（I）試證：CD_平面BEF;（n）設(shè)P

24、A k AE,且二面角EBDC的平面角大于30 ,求k的取值范圍 過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法【高考熱點】空間幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2圓柱的表面積 S = 2二rl 2二r 223圓錐的表面積：S -二rl 二r4圓臺的表面積S =衣rl 二r2 二RI 二R2 5球的表面積s二4 R2c w R21,6扇形的面積 S扇形lr （其中I表示弧長，r表示半徑）3602注：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于地面圓的周長（二）空間幾何體的體積11柱體的體積 V二S底

25、h2錐體的體積V=1S底h3底1433臺體的體積V二-（S上S上S下 S下）h 4 球體的體積VR3 v3【例題解析】考點8簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇 題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷典型例題例12 .如圖（1），將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為 時容積最大.思路啟迪設(shè)四邊形一邊 AD然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時 AD長度即可.解答過程：如圖（2）設(shè) ADa,易知/ ABC= 60°，且/ AB4 30

26、6; = AB= 3 a .BD 2a=正六棱柱體積為 V.V= 6 1 （1 2a）2 sin60 _ 3a = （1 2a）2 a2 2=9(1 _2a)(1 _2a)4a < - ( - )3 .883 1當(dāng)且僅當(dāng)1 2a= 4a = a=時，體積最大,61 2 此時底面邊長為1 2a= 1 2X=_ .631答案為1 6考點9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積 直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.1棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的咼.3例 15.如圖，在三棱柱 ABC-ABC 中，AB=J2a, B

27、C= CA= AA= a,C1A在底面 ABC±的射影O在AC上 求AB與側(cè)面AC所成角； 若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積 .思路啟迪找出AB與側(cè)面AC所成角即是/ CAB三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和，側(cè)面BCCB是正方形，側(cè)面 ACC1和側(cè)面ABBA1是平行四邊形，分別求其面 積即可.解答過程：點 A在底面ABC的射影在AC上, 平面 ACCA丄平面 ABC在厶 ABC中，由 BC= AC= a, AB=2 a. / ACB= 90°,. BCL AC BCL平面 ACCA1.即/ CAB為AB與側(cè)面AC所成的角在 RtA ABC中，/ CAB= 45 A

28、B與側(cè)面AC所成角是45° .1 O是 AC中點，在 Rt AAO中，AA= a, AO=丄 a.2f AO=三 a.2<3 2 側(cè)面 ACCA1 面積 S= AC AO-|=a .1 2又 BC丄平面 ACCA1 , BCL CC.又BB= BC= a ,側(cè)面BCCi是正方形，面積 S = a2. 過O作ODL AB于D , AiO丄平面 ABCAD丄AB1在 Rt AOD, AO-丄 a，/ CAD= 45°2 ODa4在 Rt AOD中，AiD= . OD2+AO2= C2 a)2+( 3 a)2 = . ；a.側(cè)面 ABBA1 面積 S3= ABAD = .

29、2a 7a = -a2.8 2棱柱側(cè)面積 S = S + S2 + s =1 - - 2(2+ 3+、7) a2.2例16.等邊三角形 ABC的邊長為4, MN分別為AB AC的中點，沿AMF折起，使得面 AMNf面MNCB所成的二面角為 30°,則四棱錐()A MNCB的體積為Bi2C、3D、3思路啟迪先找出二面角平面角,即/ AKL,再在AKL中求出棱錐的高h(yuǎn),再利用V= 1 Sh即可3解答過程：在平面圖中，過A作ALL BC交MNT K, 交 BC于 L.則 AKL MN KL丄 MN/ AKL= 30 ° .CCf則四棱錐A MNC的高h(yuǎn)= AK sin30 = 3

30、22+4jSmncb = T KL =3 "._ 1VA- MNCB =3答案A【專題綜合訓(xùn)練】-、選擇題1.如圖，在正三棱柱 ABGABC中，已知 AB=1, D在BB上， 且BD=1,若AD與側(cè)面AACC所成的角為，則的值為 （）A.B.JI34、 6C.arcta nD.arcs in 44直線a與平面：成二角,a是平面:-的斜線，b是平面:-內(nèi)與a異面的任意直線，則 a與b所成的角( )A. 最小值v，最大值K -0B.最小值v2.最大值 一BiDBC.最小值二，無最大值D.兀無最小值，最大值一445角，則此直線與二面角3. 在一個45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱

31、成的另一平面所成的角為（）A. 30 B. 45 C.60 D.904如圖，直平行六面體 ABCDAiBiCD的棱長均為2,NBAD=60”，則對角線 AC與側(cè)面DC©所成的角的正弦值為（）-可編輯修改-BAB.32C.2D.5. 已知在6ABC中，AB=9, AO15, BAC=120，它所在平面外一點點的距離都是14,那么點P到平面 ABC的距離為（）A. 13 B. 11 C. 9D. 76. 如圖，在棱長為 3的正方體 ABCDABCD中，M N分別是棱 AB、AD的中點，A. 92則點 B到平面AMN勺距離是（）B.P到ABC三頂D. 27.將/QMN =60。，邊長MN=

32、a的菱形MNP沿對角線NC折成60的二面角，貝U MP與 NQ間的距離等于（）A. a B.2-a C.4.6a4D.&二面角.-l -的平面角為120 ,在：內(nèi)，AB _ I于B, AB=2,在內(nèi)，CD _ I 于 D,C=3, BD=1, M是棱I上的一個動點，則AMCM的最小值為（A. 2 5 B.C.D.2一69空間四點 A B、C D中，每兩點所連線段的長都等于 a, 線段CD上，則P與Q的最短距離為（）動點P在線段AB上，動點Q在B.D.10.在一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為 ?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊）a，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包，那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為（

33、A. ( 2.6)a B.空 6a C.2(1、3)aD.13a211.已知長方體 ABCDABCD中，AA=A&2,若棱AB上存在點P,使 Df PC，則棱 AD的長的取值范圍是（）A. 0,1 1 B.0,2>D.1, 212將正方形 ABCD&對角線AC折起，使點D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的角 定不等于（）A. 30B. 45C.60 D.90二、填空題1.如圖，正方體 ABCDABGD的棱長為1, E是AiBi的中 點，則下列四個命題：1 E到平面ABCD的距離是丄；2 直線BC與平面ABCD所成角等于45 ； 空間四邊形ABC1在正方體六個面內(nèi)的射

34、影圍成1面積最小值為一；2 BE與CD所成的角為arcsin 10102.如圖，在四棱柱 ABCD- ABCD中，P是AC上的動點，E為CD上的動點，四邊形 ABC瞞足時，體積VpEB恒為定值（寫上你認(rèn)為正確的一個答案即可）3邊長為1的等邊三角形ABC中 ,沿BC邊高線AD 折起,使得折后二面角 B-ADC為60° ,則點A到BC的距離為 ，點D到平面ABC的距離C1為.4.在水平橫梁上 A B兩點處各掛長為 50cm的細(xì)繩，AM BN AB的長度為60cm在MN處掛長為60cm 的木條，MN平行于橫梁，木條的中點為 Q若木條 繞過Q的鉛垂線旋轉(zhuǎn)60°,則木條比原來升高了5

35、.多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的如圖正方體的一個頂點 A在平面內(nèi).其余頂點在:-的同側(cè)，正方體上與頂點 A相鄰的三個頂點到:的距離分別是1、2和4. P是正方體其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是:3;4;5;6;7.以上結(jié)論正確的為.（寫出所有正確結(jié)論的編號.）6.如圖，棱長為1m的正方體密封容器的三個面上有三個銹蝕 的小孔（不計小孔直徑） Q、Q、Q它們分別是所在面的中心 如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是 m3.三、解答題1. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面邊長為 a,D為BC為中點,1M在 BB上，且 BMa BM 又 CMLAC;3(1)求證：CML

36、 C1D;B(2) 求AA的長.2. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且 AD=2 AB=PA= 2 ,PA!底面 ABCD E是AD的中點，F(xiàn)在PC上.(1) 求F在何處時，EF丄平面PBC(2) 在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求 出公垂線段的長度；若不是，說明理由；(3) 在(1)的條件下，求直線 BD與平面BEF所成的角.3. 如圖，四棱錐 S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面 ABCD SB=、. 3 .BC_ SC;ASD與面BSC所成二面角的大?。籗A的中點為M求異面直線DM與 SB所成角的(1) 求證2) 求面3) 設(shè)棱大小.4.

37、 在直角梯形 ABCD中，/D=/BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如圖一)將厶ADC沿 AC折起，使 D2至U D I記面ACD 為:-,面ABC為二面BCD 為.1) 若二面角 AC 為直二面角(如圖二)，求二面角-BC 的大??；2) 若二面角:hac'-為60 (如圖三)，求三棱錐 D -ABC的體積.AB圖一D1圖三圖二5.如圖，已知正方形 ABCD矩形ACEf所在的平面互相垂直， AB=、2 , AF=1, M是線段EF的中點.(1) 求證AM/平面BDE(2) 求二面角AQF-B的大??；(3) 試在線段 AC上確定一點P,使得PF與BC所成的角是60 .【參考答案】一

38、選擇題E,則/ EAD為1.D 提示：AD在面ACCA上的射影應(yīng)在 AC與 AC中點的連線上，令射影為DE.3所求的角在 Rt EAD中, DE,AD =2. sin/EAD -2AD/T6EAD = arcs in42.B 提示:由最小角定理知，最小角為，又異面直線所成角的范圍為0 、，二最大角'2為丄.23. A 排除 故選4. D提示:C D,A.提示:此直線與另一面所成的角應(yīng)小于等于它與交線所成的角，故由最小角定理知，又此二面角為45°,則此直線與另一平面所成的角只能小于它與交線所成的角,由題意， A在面DCC1上的射影應(yīng)在 CD延長線E上，且DE=1,則/ AQE為

39、所A1EA1C求角，在 Rt AAC中，AQ = Jaa2 +AC2 =4, AE =V3,. si門乂人。£=出=乜A1C45. D 提示：由P到厶ABC三個頂點的距離都是 14,知P在底面ABC的射影是 ABC的外心,BC21f所以PO為所求.由余弦定理得：BO21.由2R14 3得外接圓半徑為si n120* 魚7、3，即 OB =7 3，在 Rt POB中 PO 二、PB2 - BO2 = 7.3S amb2S amn3 4 322 S amn=2.Samb16.D提示：由題圖得Vb公MN二Vn/mb3 h S-amn37.B 提示：連結(jié) MR NQ交于O由四邊形 MNP（是

40、菱形得 MPL NQ于Q將MNQf起后易得 MO_ QN QPh QN 所以/ MQP60°,且 QNL面 MOP 過 Q作 QHL MR 所以 QHL QN 從而 QH3為異面直線MP QN的公垂線，經(jīng)計算得 QH48. C 提示：把:-半平面展到半平面 1內(nèi)，此時，連結(jié)AC與棱的交點為 M這時AM+CM取最小值等于 AC （AMCMmin= . 1一（2一3）2 二 26.9. B 提示：P、Q的最短距離即為異面直線 AB與CD間的距離，當(dāng) P為AB的中點，Q為CD 的中點時符合題意.10. B 提示：將正棱錐展開，設(shè)正方形邊長為m則J2m = a+#3a,二m= 211. A

41、提示：Df _ PC, DP _ PC,在長方形 ABCD中 AB邊存在 P,作 DP _ PC，又因為AB=2,由對稱性可知，P為AB的中點時，AD最大為1，AD三0,1】故選A.12. D 提示：若BD與平面ABC所成的角為90，則平面ABD _平面ABC，取AC的中點Q則BD丄AC, DO丄AC且BODQ二BD與BQ不垂直，故 BD與平面ABC所成的角一定不等于90 .二.填空題1 1得1h *皿BE，1 . 提示：對于，由Vejbc =VCbeQ為C在面ABCD上的射影,對于連AB，則乙ABE為所SbeJ 2hA，錯.對于連CB交BC于Q則S bc12 CBO=45為所成的線面角，正確

42、.作圖易知正確,成的角，解ABE得sin ABE 衛(wèi)，正確.1012. AB/ CD提示：VpebhP S -abe，要使體積為定值，則 S-abe為定值，與 E點3位置無關(guān)，則AB/ CD、153. ,415提示：作DE _ BC與E易知AD _平面 BCD，從而AE _ BC , 101：3： 3 BD60 又由 BDDCr，得 DE，又 AD 盲，.AE = DE 2 AD二5，由可解的點到平面的距離為415To4.10cm 提示：MONO30cm過O作m'n'與旋轉(zhuǎn)前的 MN行且相等，所以旋轉(zhuǎn)后 AB與平面M ON 的距離為 502 一302 =40,故升高了 50-4

43、0=10cm.5 .6.三、解答題1. (1)證明：在正三棱柱ABC- AB1C1中，D為BC中點，貝U AD丄面BCCB，從而 AD丄MC又 CM丄AC,貝U MC和平面ADC內(nèi)兩相交直線 AD, AC均垂直 MCL面 ADC,于是 MCI DC.解：在矩形BBCC中，由CML DC1知厶 DCaA BMC 設(shè) BB=h,貝U BM h4 1 h:a= a: h,求得 h = 2a42從而所求AA=J2a2.解：(I )以A為坐標(biāo)原點，以射線 AD AB AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則p(0, 0, ,2 ) ,A(0, 0, 0) ,B(0,.2 , 0) ,C(2,、.

44、 2 , 0) , Q2 , 0 , 0) ,E(1,0 , 0) F在 PC上，可令= PC,設(shè) F(x , y , z)BC 二 2,0,0 ,PC =2, 2一.2，帀二 x -1,y,z EF丄平面 PBC - EF =0且 EF=0,又 PF = PC ,J1J 2可得，二？ ,x =1, y =z二-2故F為PC的中點.(n )由(I )可知：EFL PC,且 EFI BC即 EFI AD EF是PC與AD的公垂線段，其長為| EF |=1(川)由(I )可知PC =2,-、2 -.、2即為平面BEF的一個法向量而BD=12,r2,0設(shè)BD與平面BEF所成角B ,則:sin 0 =

45、co BD .PC) =| BD :% =也-|bd*|pC 6- 0 =arcsin-.故BD與平面6BEF所成角為arcsi心3. ( 1)證法一：如圖，底面 ABCD是正方形， BC丄DC/ SD丄底面ABCD DC是SC在平面 ABCD上的射影，由三垂線定理得 BCL SC.證法二：如圖1底面 ABCD是正方形， BCL DC / SD丄底面 ABCD SD丄 BC,又 DCn SD=D BCL平面 SDC BCL SC.(2)解：如圖2，過點S作直線丨/ AD, . I在面ASD上,底面 ABCD為正方形，.I/AD/BC, I 在面 BSC上, .I為面ASD與面BSC的交線.I

46、SD _ AD,BC _ SC, I_SD, I_SC,/ CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角./ BD=/2 , SB=/3 , SAD=1 NCSD =45°圖 2(3) 解 1:如圖 2SD=AD=1 / SDA=90 , SDA是等腰直角三角形.又 M是斜邊SA的中點， DML SA / BAL AD BAL SD, ADn SD=D BAL面 ASD SA是 SB在面 ASD上的射影.由 三垂線定理得DML SB.異面直線DM與 SB所成的角為90°.3,取AB中點P,連結(jié)MP DP在厶ABS中，由中位線定理得DM與 SB所成的角.，又 dm=2DP = 2 2 _ 2， _ DM沖，有 dP=mP+dM,二 NDMP =90®異面直線DM與