空間幾何體基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1、一、幾何圖形的識(shí)讀與描繪1 現(xiàn)實(shí)生活中接觸到的各種物體，大多是由柱、錐、臺(tái)、球形狀的物體組成，我們研究空間幾何體，不僅要了解其結(jié)構(gòu)，從復(fù)雜的幾何體中分解出我們熟悉的簡(jiǎn)單幾何體，而且要畫(huà)出三視圖和直觀圖， 定量研究需要計(jì)算的面積和體積.通過(guò)側(cè)面展開(kāi)，計(jì)算空間幾何體表面積，體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想.由空間幾何體畫(huà)出其三視圖和直觀圖，或由三視圖和直觀圖想象出空間幾何體，兩者之間相互轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)我們幾何直觀能力、空間想象能力.2. 圖形的畫(huà)法幾何圖形主要有三種畫(huà)法：一是斜二測(cè)畫(huà)法，二是三視圖畫(huà)法，三是中心投影法.斜二測(cè)畫(huà)法主要用于水平放置的平面圖畫(huà)法或立體圖形的畫(huà)法.(2) 三視圖畫(huà)法它包括正視圖、側(cè)視圖，

2、俯視圖三種.畫(huà)圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原 則，同時(shí)還要注意被擋住的輪廓線畫(huà)成虛線.(3) 中心投影法一個(gè)點(diǎn)光源把一個(gè)圖形照射到一個(gè)平面上，這個(gè)圖形的影子就是它在平面上的中心投影.立體幾何中的圖形很少用中心投影畫(huà)法.畫(huà)效果圖時(shí)，主要用中心投影畫(huà)法.識(shí)畫(huà)圖形是立體幾何的一項(xiàng)重要基本功.通過(guò)本章的學(xué)習(xí)， 要能夠熟練進(jìn)行三視圖、直觀圖和實(shí)物的相互轉(zhuǎn)化，熟練識(shí)讀圖形和畫(huà)出圖形.例1 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，畫(huà)出它的直觀圖(不寫畫(huà)法)，并求其表面積./下11 H4 hV i> i !i-*3»正視圖側(cè)視圖例2 一個(gè)不透明的正四面體物體被一束垂直于桌面的平行光線照射，則此正

3、四面體 在桌面上的正投影可能是下列的 （要求把可能圖形的序號(hào)都填上） 正三角形正方形等腰梯形對(duì)角線不相等的菱形二、柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積1. 棱柱的所有側(cè)面面積的和為棱柱的側(cè)面積，側(cè)面積與兩底面積的和為棱柱的表面 積，特別地S直棱柱側(cè)=ch（其中c、h分別為直棱柱的底面周長(zhǎng)和高）S正n棱柱側(cè)=nah（a、h分別為正n棱柱的底面邊長(zhǎng)和高） 圓柱的側(cè)面積 S圓柱側(cè)=2 n rl ,表面積S表=2n r（r + 1）（其中r、I分別為圓柱底面半 徑和母線長(zhǎng)） 柱體的體積V= sh（其中s、h分別為柱體的底面積和高）V圓柱=n r2h（r、h分別為圓柱底面半徑和高）2. 棱錐的所有側(cè)面面積的和為

4、棱錐的側(cè)面積，棱錐的側(cè)面積與底面積的和為棱錐的 表面積.1S正n棱錐側(cè)=2門ah'（其中a、h'分別為棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)面等腰三角形的高（即斜高） S圓錐側(cè)=nl ,S圓錐表=n（r + 1）（其中r、丨分別為圓錐底面半徑和母線長(zhǎng)）1 v錐=§Sh（其中S、h分別為錐體底面面積和高）1 2V圓錐=3nh （其中r、h分別為圓錐底面半徑和高）3. 棱臺(tái)可視作棱錐用平行于底面的截面截得的.棱臺(tái)的表面積等于兩底面積與側(cè)面積的和.1 1 S正n棱臺(tái)側(cè)=$n（ a'+ a）h' = 2（c+ c' ）h'（其中a'、a、h'、c&

5、#39;、c分別為正棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng).斜高和兩底面的周長(zhǎng)） S圓臺(tái)側(cè)=nR+ r）l,S圓臺(tái)表=n（+ RI + rl + r2）（其中R、r、丨分別為圓臺(tái)兩底面半徑和母線長(zhǎng)） v臺(tái)=§h（S+ SS + S'）（其中S、S'、h分別為臺(tái)體的上、下底面積和高 ）1 2 2 V圓臺(tái)=3 n（r + rR + R ）（其中r、R、h分別為圓臺(tái)兩底面半徑和高）94. 球的表面積 S球=4tR球的體積 V球=44 tR3（其中R為球半徑）35. 計(jì)算空間幾何體的側(cè)面積（或表面積）一般采用側(cè)（或表）面展開(kāi)的方法.空間幾何體的體積計(jì)算的基本原理即理論基礎(chǔ)是祖暅原理，要特別注意.等底

6、等高的三角形（平行四邊形）的面積相等；等底面積、等高的兩個(gè)柱體 （錐體）的體積相等.一切幾何體的面積、體積計(jì)算都以熟記常見(jiàn)簡(jiǎn)單幾何體（即柱、錐、臺(tái)、球）的面積、體積公式為基礎(chǔ)，記熟公式是解題的前提.例3如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm,在其中有一個(gè)高為 xcm的內(nèi)接圓柱.（1）試用x表示圓柱的側(cè)面積;（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大?、害吟卜、等積變換是立體幾何解決問(wèn)題的特有技巧、方法和題型.應(yīng)細(xì)細(xì)揣摩體會(huì)、把握.例4 （1）把邊長(zhǎng)為6n和4 n的矩形卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱的體積為 .（2）把半徑為2的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的體積為 .例5圓柱形鋼錠的軸截面是邊長(zhǎng)為5m的正

7、方形ABCD，從A到C拉一條繩子，則最短繩長(zhǎng)為（）A . 10mB.；” n+ 4m C. 5 2m D. 5 d+ 1m例6如圖，一扇形半徑為 4，中心角為240°，沿實(shí)線 AB、BC、CD、DA'將陰影 部分剪去，再沿虛線折成一個(gè)四棱錐O ABCD，則四棱錐的體積為 .例7 一個(gè)倒立的圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在這容器內(nèi)注入水并且放入 一個(gè)半徑為r的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切，問(wèn)將球從圓錐容器內(nèi)取出后，圓錐容器內(nèi) 水面的高是多少？例8把直徑分別為6cm,8cm,10cm的三個(gè)銅球熔制成一個(gè)較大的銅球，再把球削成 一個(gè)棱長(zhǎng)最大的正方體，求此正方體的體積.解析設(shè)熔制后的大銅球半徑為r,4 n (3+ 43+ 53) =