華南理工大學(xué)高數(shù)答案第9章

1、第九章 曲線積分與曲面積分作業(yè)作業(yè) 13 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1計(jì)算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界dLxs Lyx2yx解：可以分解為及L1:,1,0,1Lyx yx22:,2 ,0,1Lyxyx x12112200ddd1 1 d12dLLLxsxsxsxxxxx11113222220000121 225 512d14d 1414828 321212xxxxxx2，其中為星形線在第一象限內(nèi)的弧4433dLxysL33cos,sinxat yat 02t 解：為L(zhǎng)33cos,sin,0,2xat yat t 223 cossin ,3 sincos ,3 sin cos

2、dxdyattatt dsattdtdtdt 原式47224422330031cossin3 sin cos1sin 2sin222attattdtattdt7772223333003311 cos 2cos2cos2cos 2883at dtatta 3計(jì)算，其中折線 ABC，這里 A，B，C 依次為點(diǎn)dxyz s)3 , 4 , 1 (),3 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0(解：:,2 ,3 ,0,1 ,14123xyzABxt yt zt tdsdt:1,3,2,4 ,BC xzyt tdsdt:,4 ,3 ,0,1 ,26143xyzCAxt yt zt tdsdt14023

3、ddd2 3141314182ABBCxyz sxyz sxyz stttdttdt 4，其中為螺線上相應(yīng)于 從變到22dxyz scos ,sin ,xtt ytt zt t0的一段弧1解：為2cos ,sin ,0,1 ,2xtt ytt zt tdst dt 112222222001d2(22) 222xyz sttt dttt d t 153222201 229 34 26 34 28 232222 5353155tt 5計(jì)算，其中 L：22dLxys A0,22aaxyx解：將 L 參數(shù)化，22cos ,sincos ,cos ,cos,xrt yrtrart rat xatcos

4、sin ,sin2,cos2,2 2yatt tdxatdt dyatdt dsadt 2222222222002dcos2cos2sin2LxysatadtatdtataA6計(jì)算，其中 L 為圓周，直線及軸在第一象限22edxyLs A222ayxxy x內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界解：邊界曲線需要分段表達(dá)，從而需要分段積分12:0,0,;:sin ,cos ,0,;4Lyxadsdx Lxat yat tdsadt21232:,0,2;2aLyx xdsdt LLLL從而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLase dxeadtedxeeeA112244aaaaaaae

5、eeee 作業(yè)作業(yè) 14 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1計(jì)算下列第二型曲線積分： (1)，其中為按逆時(shí)針方向繞橢圓一周；ddLxyxxyy AL22221xyab解：為L(zhǎng)cos ,sin , :02xat ybt t原式20sincossincoscossinat atbtbt atbtdt22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababtt dtt(2) ，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線；dd1 dx xy yxyz1,1,12,3,4解：是111,1,12 ,1 3 , :012 13 14 1xyzxt yt zt t 原式1012 123 1121ttttdt

6、112006 146713t dttt(3)，其中是圓柱螺線從到 dddy xx yz2cos ,2sin ,3 xt yt zt0t 的一段?。?t 解：是2cos ,2sin ,3 , :02xt yt zt t原式202sin2sin2cos2cos3ttttdt 2200432dtt (4) 計(jì)算曲線積分,其中為由點(diǎn) A (-1, 1)沿拋物線(12e )d(cose )dyyLxyxyxyL到點(diǎn) O (0, 0), 再沿 x 軸到點(diǎn) B (2, 0)的弧段2yx解：由于積分曲線是分段表達(dá)的，需要分段積分；2:, : 10AO yxx :0, :02OB yx原式220222010(1

7、2e )d(cose )2 dx(e )dxxxxxxxxx220232210(12e2 cos2e )ddxxxxxxxx22200004211113sine dde21 sin1sin11xxxxxxxxee 2 設(shè)力的大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為Fy 的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，力所作的功m21xy1,00,1F解：2220, 10,:1,:01Fxxdsdx dyL xyy 113522400281 23515LLyyWFdsxdyyydyy 3把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中 ,d,dLP x yxQ x yyL為：(1) 在平面內(nèi)沿直線從

8、點(diǎn)到點(diǎn)；xOy0,0 1,1(2) 沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)2yx0,0 1,1解：（1）2:, :01,0;1 12L yx xdxdsdxdx,d,d,dds2LLLP x xQ x xP x yxQ x yyP x xQ x xx（2）22:, :01,0;14L yxxdxdsx dx222,2,d,d,2,dds14LLLP x xxQ x xP x yxQ x yyP x xxQ x xxx作業(yè)作業(yè) 15 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用1填空題(1) 設(shè)是三頂點(diǎn)(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向邊界, L 12 (24)d(536)dLxyxyxy A(2) 設(shè)曲線

9、是以為頂點(diǎn)的正方形邊界，L) 1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1 (DCBA不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可導(dǎo)的點(diǎn)_ddLxyxy A（3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線( , , )d( , , )d( , , )dLP x y zxQ x y zyR x y zz積分是 其中為從點(diǎn)(1, 1 ,1)到點(diǎn)(1, 2, 3)的直線( , , )3 ( , , )ds5LP x y zR x y zL段2計(jì)算,其中 L 是沿半圓周33(e sin)d(e cos)dxxLIyyxyxy 從點(diǎn)到點(diǎn)的弧22xay ), 0(aA), 0(aB解：L 加上構(gòu)成區(qū)域邊界

10、的負(fù)向:0, :BA xx aa 3322(e sin)d(e cos)d3cosaxxLDaIyyxyxyxydydy v34230233cos2sin4aaaadr drydya 3計(jì)算,其中為橢圓e31 de33 dxyxyLyxyxxxyy AL正向一周22221xyab解：原式e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy44Ddxdyab4計(jì)算曲線積分 其中為連續(xù)( )sind( )cosd ,LIfxy xf xyxy)(xf 函數(shù)，是沿圓周按逆時(shí)針方向由點(diǎn)到點(diǎn)L222(1)()1xy (2,2)A 的一段弧)0 , 0(O解：令1:, :02Lyx x則，原式111( )sin

11、d( )cosdL LLLDIdxdyfxy xf xyxy22201( )sin( )cosd2fxxf xxxx 22242222031( )sin1222222xf xx 5計(jì)算,其中為22ddLx yy xxy AL （1）圓周（按反時(shí)針方向） ；22111xy解：，而且原點(diǎn)不在222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式0（2）閉曲線（按反時(shí)針方向） 1xy解：，但所圍區(qū)域內(nèi)222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 部的原點(diǎn)且僅有該點(diǎn)不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時(shí)針方向） ，在圓環(huán)域

12、上用格林公式得，220.01xy1L原式1122dddd1001 120.01LLDx yy xx yy xdxdyxyAA6證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān),并計(jì)算積分值：xOy（1）；,0,0ecos dsin da bxy xy y解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積e sine sine cosxxxyyyxy 分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，xOy0,00,ba b原式00sine cos dcos11 coscos1baxaay dyb xbebeb （2）；2,14231,023 d4dxyyxxxyy解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲233442423xxyxyxyyxy線積

13、分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿直線積分也xOy10,1, :122 11 0 xyyxx可，原式 24321211341dx xxxx xx 243213235141dxxxxx 2543213115xxxxx（3）,20,0e cosde sindyyxmxxmyy解：由于在全平面連續(xù)，從而該e sine cose cosyyyxmyxxmxy曲線積分在平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿折線積分即可，xOy0,0,0,2原式2000cose sindyexm dxmyy2200sin2myxmx 2mm 7設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算 f x, ， 2221d1 dLy f xyxxy f xyyyy其中 L 為從

14、點(diǎn)到點(diǎn)的直線段23,31,2解：由于在 2222111y f xyxy f xyf xyxyfxyxyyyy右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，沿曲線積分即可，12:2, :31Lxyyxx原式 2122232421122dd22xffxxxxxxx13xdx1232x1 942 8驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,并求,d,dP x yxQ x yyxOy出它的一個(gè)原函數(shù)：（1）；eede1 edxyxyxyxxy解：由于在全平面連續(xù)，從而e1 eeexyxyxyxeexyxy該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，xOy,u x y則,e1 e ,eexyx

15、yuuuududxdyxxyxyyx從而 e1 ee1 exyxyuxdyyxg x eeee= exyxyxuxyygxgxxx， =exxxxxg xxdxee dxxeec1 e1 exyuxyxc（2）；223238d812 edyx yxyxxx yyy解：由于在全平面連續(xù)，32222812 e31638yxx yyxxyx yxyxy從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，xOy,u x y則原式3223224d412 e dyydxyxx dyx dyyy3322224d412 deyydxx dyyxx dydy32241212e dyyd yxdx ydyey

16、32241212eyyd yxx yye可取32241212eyyuyxx yye（3）222 coscosd2 sinsindxyyxxyxxyy解：可取折線作曲線積分0,0,0,xx y222002d2 sinsindsincosyxuxxyxxyyyxxy9設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個(gè)力2,28Xxy Yxy場(chǎng),證明質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí),場(chǎng)力所作的功與路徑無關(guān)證：，2,28Fxyxy質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)任意曲線移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功為L(zhǎng)228Lwxydxxydy由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí)，2282xyyxyxy場(chǎng)力所作的功與路徑無關(guān)作業(yè)作業(yè) 16 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面

17、積的曲面積分1計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：(1) ,其中為錐面被柱面所截得()dxyyzzxS22zxy222xyax的有限部分；解：為222222,xyxyzxyzzxyxy，2212xydSzz dxdydxdy:02 cos ,22Dra原式2 cos222302d2d d = 2cosaDzx Sx xyx ydrdr4422424022 cos64 2= 2cos=8 21 2sinsinsin415aadad（2）,其中為球面222dxyzS2222xyzax解：為兩塊222222222,yyyzxaayzxxayzayz，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02

18、Dra原式12222222222d2dDaaayzax Sax Sdxdyayz22222222Daaayzdxdyayz233222220024=42aDdxdyrdraadayzar22332242200=8882aad araaaraar 2計(jì)算，是平面被圓柱面截出的有限部分dy S4zyx122 yx解：為兩塊，4,1,1xyzxy zz 1 1 13dSdxdydxdy :01,02Dr原式3Dydxdy1232200003sin3cos03ardr dr （或由，而積分微元反號(hào)推出）, ,x y zxy z 3求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積2222azyxaxyx22解：為兩塊2

19、22222222,xyxyzaxyzzaxyaxy ，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02Dra原式12222d2DadxdySdSaxycos222022=22ardradarcos2222220022=2=4sin412422ardradaaadaaar4設(shè)圓錐面 ,其質(zhì)量均勻分布,22hzxyaah為圓錐面的底面半徑，為高求它的重心位置解：設(shè)密度為單位 1，由對(duì)稱性可設(shè)重點(diǎn)坐標(biāo)為00,0,z2222222221DDhhh ahzdSxydxdyxy dxdyaaa22222220023ah ahah ahdr dra22221DDhahdSdxdydxdyaa22

20、22200aahdrdra aha，故重點(diǎn)坐標(biāo)為220222233ah ahhza ah20,0,3h5求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變2212zxy01zz更解：2222112DmdSxyxydxdy223200112drrdr22532200224 32(1 1)11122 53515ttdttt 作業(yè)作業(yè) 17 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1，其中是柱面被平面及所d dd dd dz x yx y zy z x221xy0z 3z 截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè)解：221,:01,03,cos0,01yzyzyxyDyzxxy原式=22d dd dd d01d d1d dyzzx

21、DDz x yx y zy z xyy zxz x131222000321d d21612yzDyy zdyy dzy dz 2計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下2()d dd dzxy zz x y221()2zxy側(cè)介于平面及之間的部分0z 2z 解：22221(),:4;2xyxyzxyzx zy Dxy22,:02,22 .yzxzyDzzyz 原式=1122()d d()d dd dzxy zzxy zz x y22222212d d2d d()d d2yzyzzxDDDzzyy zzzyy zxyz x22222222300021122d d()d d2222yzzxzDDzzyy

22、zxyz xdzzy dydr dr224232000222824zdzr drz3計(jì)算d dd dd dxy y zyz z xxz x y A其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面1, 0, 0, 0zyxzyx的外側(cè)解：分片積分。123:0,cos0;:cos0,0;:0,cos0;xyz41:1,coscoscos03zxy 原式=（由輪換對(duì)稱性）1234400031d dyzDyz y y z 123411100001113131322348yyyydyyyz dzydy 4把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y

23、 zz xR x y zx y化為對(duì)面積的曲面積分：（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；322 36xyz（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)228()zxy解：（1）3 2 2 3cos0,3,2,2 3 ,5 55nn原式=3 ( , , )2 ( , , )2 3 ( , , )dS5P x y zQ x y zR x y z（2）222 ,2 ,1cos0,2 ,2 ,1 ,144xynxynxy原式=222( , , )2( , , )( , , )dS144xP x y zyQ x y zR x y zxy5計(jì)算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面2()d dd dIzxy zz x y下側(cè)介

24、于平面 z=0 及 z=2 之間的部分221()2zxy解：2222, , 1cos0, , 1 ,:41x ynx ynD xyxy原式=（兩類曲面積分的互化） 22222()()dS()1 d d1x zxzxzxzx yxy （第二類曲面積分投影法計(jì)算） 22222211()()1 d d42xyDxxyxxyx y （用了重積分的對(duì)稱性）22()d dxyDxyx y2243002284dr dr6 已知速度場(chǎng)，求流體在單位時(shí)間內(nèi)通過上半錐面( , , ), ,v x y zx y z與平面所圍成錐體表面向外流出的流量22zxy1z 解：222212222:,cos0, 1 ,:4xy

25、zxynD xyxyxy同樣。22221, 1 ;2xynxyxy2:1,cos0,0,0,1 ,znD1212d dd dd dd dd dd dd dx y zy z xz x yx y zy z xz x yx y 1122222222dSdS2222xyxyxyzxy作業(yè)作業(yè) 18 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式1利用高斯公式計(jì)算曲面積分：(1) ，其中是平面，及222d dd dd dxy zyz xzx y A0 x 0y 0z 所圍成的立體的表面外側(cè)；1xyz解：原式2110012226662zDzxyz dvzdvzdzdxdyzdz112334001111131

26zdzzz（2），其中為柱面及平面，()d d()d dx yzy zxyx y A221xy0z 所圍成的立體的表面外側(cè)；3z 解：原式3320001zDyzdvzdvzdzdxdyzdz 3201922z (3) 計(jì)算 ,2(81) d d2(1)d d4d dyx y zyz xyz x y其中，是由曲面繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向1(13)0zyyx量與 y 軸正向的夾角恒大于2解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。221:3,2yxz原式111131( 16)16yDDdvdzdxdydzdxdzdx 3211132342y2設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用高

27、斯公式計(jì)算曲面積分( )f，式中是22223211()d d()d d()d d3If xyy zf xyz xx zy zzx yyx下半球面的上側(cè)2221(0)xyzz解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。221:0,1zxy原式112122240000sinxyzdvddd 1500142cos55 3利用斯托克斯公式計(jì)算曲面積分：（1） 式中是圓周，從軸正向看去, 23 ddd ,y xxz yyzz A2222xyzzOz 取逆時(shí)針方向解：原式1112235520zDzdxdyzx dydzdxdydxdy （2），其中為圓周,從d3 d2 dy xz yx z A2224xyz0 xy

28、z軸的正向看去， 取逆時(shí)針方向 Oy解：原式121 3260 1030228 333dxdydydzdzdxdxdy 作業(yè)作業(yè) 19 場(chǎng)論初步場(chǎng)論初步1求下列向量場(chǎng)通過曲面指定一側(cè)的通量：A（1），為由平面與，所zyxAijk632zyx0 x0y0z圍成立體的表面，流向外側(cè)；解：1d dd dd d0 1 03 2 666z y zy z xx x ydv （2），為以點(diǎn)(3,-1,2)為球心，半徑223y2xyxzyzAijk的球面，流向外側(cè)3R解：223d dd d2d d2 12xyy zxzyz xyzx ydv 34331083 2 求向量場(chǎng)沿閉曲線的環(huán)流量(從 z 軸正向看32(

29、)()3Axz ixyz jxy k 依逆時(shí)針的方向),其中為圓周222,2zxyz 解：32dd3dzAdlxzxxyzyxyAA22226d d1 3d d30 d d3d dzxyyy zyz xxx yxx y 24223400331d d34192224xyx ydr dr3求向量場(chǎng)在點(diǎn) M (1, -1, 2)處的散度和旋度224,Axyzxyx yz解：242,82 17MdivAyzxyx y divA 22,42,4,2,0, 9MrotAx zxyxyzyxyCrotA4證明向量場(chǎng)為平面調(diào)和場(chǎng)，并求勢(shì)函數(shù)2 , 2Ayx 解：由于220,0,0,220,divAyxrotA

30、xyxyxy因此是無源場(chǎng)且為無旋場(chǎng)從而為調(diào)和場(chǎng)A由為勢(shì)函數(shù) 2 ,22,0,2xyuy uxuxyg ygyuxyc 5驗(yàn)證下列向量場(chǎng)為保守場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)：A（1）；yzzxxyAijk解：由于 ,0,rotAxyzxyzxyzxyzyzzxxy因此為無旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng)A由 ,0,0 xyzyuyz uzx uxyuxyzg y zguxyzh zh為勢(shì)函數(shù)uxyzc（2） 2226xyxzyzAijk解：由于26222622,0,yzxzxyyzxzxyrotAyzzxxy因此為無旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng)A由22,2 ,26,2 ,xyzyuxy uxz uyzuxxyg y zgz為勢(shì)函數(shù) 22

31、,6uxxyyzh zhz 2223uxxyyzzc6設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算zyxuu,urot grad解：由于uuuu,xyzgrad從而urot grad,uuuuuuyzzyzxxzxyyx222222,uuuuuuy zz yz xx zx yy x 由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而zyxuu,0u rot grad第九章第九章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分測(cè)試題測(cè)試題1填空題（1）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成第一類曲線積分是dddP xQ yR z ，其中為有向曲線弧在點(diǎn)處coscoscosdsPQ , ( , , )x y z的 切向量 的方向角；（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分L

32、922 yx；2(22 )d(4 )dLxyyxxxy A18（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無關(guān)，其中( )esin d( )cos dxLf xy xf xy y 一階連續(xù)可導(dǎo)，且，則；)(xf0)0(f)(xf2xxee（4）=_0_，其中為單位球面222()d d()d d()d dyzy zxzz xyxx y的外側(cè)；1222zyx（5）設(shè)，則 0 ，22e sin(2)xAyxyzxzyijk(1,0,1)div |A(1,0,1)rot |A1,0, 12計(jì)算下列曲線積分：（1）計(jì)算，其中為球面與平面的相交部2dLzs AL2222xyza0 xyz分0a 解：由輪換對(duì)稱性22222

33、2211ddddd33LLLLLzsxsysxyzsasAAAAA2232d2333Laasaa A（2），其中是，222dLysxyz L22222242xyzaxyax0,0za解：用球坐標(biāo)表達(dá)是L22222242 ,cossin2xyzaaxyax22 cos,2 sincos ,2 sin ,0,xayaza 原式0222012d2sincos1 cos12 2143Lysdtdta （3）其中為橢圓由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)2(2)d ,LxxyyL, 12222byax)0 ,(aA), 0(bC的弧段；)0 ,( aB 解：參數(shù)表達(dá)是Lcos ,sin ,:0 xayb 原式220(cos2s

34、incos ) cosaabbd 22222200241 sinsin2coscos01 133a bdabdabab （4），其中是與222d()d()dLx y xxyyxyzz AL11222zyx的交線，其方向與軸正向成右手系；122yxzz解：參數(shù)表達(dá)是L2cos ,2sin ,3 :02xyz原式222200cos41( 4sincos2 2cos )(2 2cos )2dd （5），其中為上半圓周(e sin2 )d(e cos2)dxxLyyxyyL，沿逆時(shí)針方向；222(),0 xayay解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界1:0, :02Lyxa原式222(e sin2 )d(e

35、 cos2)d20 xxL LLDyyxyyda（6），其中是以點(diǎn)為定點(diǎn)，dd|Lxyxy AL(1,0)A(0,1)B( 1,0)C 的正方形的整個(gè)邊界（取正向） (0, 1)D解：正向:1Lxy原式dd00LDxyd3計(jì)算下列曲面積分：（1）,為錐面介于之間的部分22edzSxy22zxy12z解：原式222222201ee2d =22 2xyrDdrdreerxy（2）計(jì)算2222222d,xyzRShRxyzh其中解：為兩片222zRxy 222222,xxRdzdSRxyRxy 令2222222,rdrtRxyRrdtRr原式22222221122DRdRhhtRhhtRxy2222

36、22001122RRrdrdRhhtRhhtRr22220112222RRRdtRhRhhRhhtRhht（3）其中錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。是上半球面d d2d d ,yz z xx y的上側(cè)；224yxz解：為2222222, ,4,cos0;:4,x y zzxyD xynxyz原式2cos2 cos2cosyzdSydxdy22222300112881222Dydxdyxy dxdydr dr（4），其中為錐面 222()d d()d d()d dyzy zzxz xxyx y22zxy的外側(cè)；(0)zh解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。2221:,zh xyh原式111220000Ddvxy dxdyxy dxdy 22223400110224hDDxy dxdyxy dxdydr drh （5），其中是圓周，若正對(duì)著軸正22 d3 ddy xx yzz A22290 xyzzOz向看去，取逆時(shí)針方向