華南理工大學高數答案第9章

1、第九章 曲線積分與曲面積分作業(yè)作業(yè) 13 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分1計算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界dLxs Lyx2yx解：可以分解為及L1:,1,0,1Lyx yx22:,2 ,0,1Lyxyx x12112200ddd1 1 d12dLLLxsxsxsxxxxx11113222220000121 225 512d14d 1414828 321212xxxxxx2，其中為星形線在第一象限內的弧4433dLxysL33cos,sinxat yat 02t 解：為L33cos,sin,0,2xat yat t 223 cossin ,3 sincos ,3 sin cos

2、dxdyattatt dsattdtdtdt 原式47224422330031cossin3 sin cos1sin 2sin222attattdtattdt7772223333003311 cos 2cos2cos2cos 2883at dtatta 3計算，其中折線 ABC，這里 A，B，C 依次為點dxyz s)3 , 4 , 1 (),3 , 2 , 1 (),0 , 0 , 0(解：:,2 ,3 ,0,1 ,14123xyzABxt yt zt tdsdt:1,3,2,4 ,BC xzyt tdsdt:,4 ,3 ,0,1 ,26143xyzCAxt yt zt tdsdt14023

3、ddd2 3141314182ABBCxyz sxyz sxyz stttdttdt 4，其中為螺線上相應于 從變到22dxyz scos ,sin ,xtt ytt zt t0的一段弧1解：為2cos ,sin ,0,1 ,2xtt ytt zt tdst dt 112222222001d2(22) 222xyz sttt dttt d t 153222201 229 34 26 34 28 232222 5353155tt 5計算，其中 L：22dLxys A0,22aaxyx解：將 L 參數化，22cos ,sincos ,cos ,cos,xrt yrtrart rat xatcos

4、sin ,sin2,cos2,2 2yatt tdxatdt dyatdt dsadt 2222222222002dcos2cos2sin2LxysatadtatdtataA6計算，其中 L 為圓周，直線及軸在第一象限22edxyLs A222ayxxy x內所圍成的扇形的整個邊界解：邊界曲線需要分段表達，從而需要分段積分12:0,0,;:sin ,cos ,0,;4Lyxadsdx Lxat yat tdsadt21232:,0,2;2aLyx xdsdt LLLL從而22242222200000ed24aaaaxyxaxxaxLase dxeadtedxeeeA112244aaaaaaae

5、eeee 作業(yè)作業(yè) 14 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分1計算下列第二型曲線積分： (1)，其中為按逆時針方向繞橢圓一周；ddLxyxxyy AL22221xyab解：為Lcos ,sin , :02xat ybt t原式20sincossincoscossinat atbtbt atbtdt22222200sin2cos2sin2cos20224ababtababtt dtt(2) ，其中是從點到點的一段直線；dd1 dx xy yxyz1,1,12,3,4解：是111,1,12 ,1 3 , :012 13 14 1xyzxt yt zt t 原式1012 123 1121ttttdt

6、112006 146713t dttt(3)，其中是圓柱螺線從到 dddy xx yz2cos ,2sin ,3 xt yt zt0t 的一段?。?t 解：是2cos ,2sin ,3 , :02xt yt zt t原式202sin2sin2cos2cos3ttttdt 2200432dtt (4) 計算曲線積分,其中為由點 A (-1, 1)沿拋物線(12e )d(cose )dyyLxyxyxyL到點 O (0, 0), 再沿 x 軸到點 B (2, 0)的弧段2yx解：由于積分曲線是分段表達的，需要分段積分；2:, : 10AO yxx :0, :02OB yx原式220222010(1

7、2e )d(cose )2 dx(e )dxxxxxxxxx220232210(12e2 cos2e )ddxxxxxxxx22200004211113sine dde21 sin1sin11xxxxxxxxee 2 設力的大小等于作用點的橫坐標的平方，而方向依軸的負方向，求質量為Fy 的質點沿拋物線從點移動到點時，力所作的功m21xy1,00,1F解：2220, 10,:1,:01Fxxdsdx dyL xyy 113522400281 23515LLyyWFdsxdyyydyy 3把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中 ,d,dLP x yxQ x yyL為：(1) 在平面內沿直線從

8、點到點；xOy0,0 1,1(2) 沿拋物線從點到點2yx0,0 1,1解：（1）2:, :01,0;1 12L yx xdxdsdxdx,d,d,dds2LLLP x xQ x xP x yxQ x yyP x xQ x xx（2）22:, :01,0;14L yxxdxdsx dx222,2,d,d,2,dds14LLLP x xxQ x xP x yxQ x yyP x xxQ x xxx作業(yè)作業(yè) 15 格林公式及其應用格林公式及其應用1填空題(1) 設是三頂點(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向邊界, L 12 (24)d(536)dLxyxyxy A(2) 設曲線

9、是以為頂點的正方形邊界，L) 1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1 (DCBA不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內部有不可導的點_ddLxyxy A（3）相應于曲線積分的第一型的曲線( , , )d( , , )d( , , )dLP x y zxQ x y zyR x y zz積分是 其中為從點(1, 1 ,1)到點(1, 2, 3)的直線( , , )3 ( , , )ds5LP x y zR x y zL段2計算,其中 L 是沿半圓周33(e sin)d(e cos)dxxLIyyxyxy 從點到點的弧22xay ), 0(aA), 0(aB解：L 加上構成區(qū)域邊界

10、的負向:0, :BA xx aa 3322(e sin)d(e cos)d3cosaxxLDaIyyxyxyxydydy v34230233cos2sin4aaaadr drydya 3計算,其中為橢圓e31 de33 dxyxyLyxyxxxyy AL正向一周22221xyab解：原式e33e31xyxyDxxyyxydxdyxy44Ddxdyab4計算曲線積分 其中為連續(xù)( )sind( )cosd ,LIfxy xf xyxy)(xf 函數，是沿圓周按逆時針方向由點到點L222(1)()1xy (2,2)A 的一段弧)0 , 0(O解：令1:, :02Lyx x則，原式111( )sin

11、d( )cosdL LLLDIdxdyfxy xf xyxy22201( )sin( )cosd2fxxf xxxx 22242222031( )sin1222222xf xx 5計算,其中為22ddLx yy xxy AL （1）圓周（按反時針方向） ；22111xy解：，而且原點不在222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 該圓域內部，從而由格林公式，原式0（2）閉曲線（按反時針方向） 1xy解：，但所圍區(qū)域內222222222222222xxyxxyxyxxyyxyxyxy 部的原點且僅有該點不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時針方向） ，在圓環(huán)域

12、上用格林公式得，220.01xy1L原式1122dddd1001 120.01LLDx yy xx yy xdxdyxyAA6證明下列曲線積分在平面內與路徑無關,并計算積分值：xOy（1）；,0,0ecos dsin da bxy xy y解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積e sine sine cosxxxyyyxy 分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，xOy0,00,ba b原式00sine cos dcos11 coscos1baxaay dyb xbebeb （2）；2,14231,023 d4dxyyxxxyy解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲233442423xxyxyxyyxy線積

13、分在平面內與路徑無關，沿直線積分也xOy10,1, :122 11 0 xyyxx可，原式 24321211341dx xxxx xx 243213235141dxxxxx 2543213115xxxxx（3）,20,0e cosde sindyyxmxxmyy解：由于在全平面連續(xù)，從而該e sine cose cosyyyxmyxxmxy曲線積分在平面內與路徑無關，沿折線積分即可，xOy0,0,0,2原式2000cose sindyexm dxmyy2200sin2myxmx 2mm 7設在上具有連續(xù)導數，計算 f x, ， 2221d1 dLy f xyxxy f xyyyy其中 L 為從

14、點到點的直線段23,31,2解：由于在 2222111y f xyxy f xyf xyxyfxyxyyyy右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內與路徑無關，沿曲線積分即可，12:2, :31Lxyyxx原式 2122232421122dd22xffxxxxxxx13xdx1232x1 942 8驗證下列在整個平面內是某一函數的全微分,并求,d,dP x yxQ x yyxOy出它的一個原函數：（1）；eede1 edxyxyxyxxy解：由于在全平面連續(xù)，從而e1 eeexyxyxyxeexyxy該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，xOy,u x y則,e1 e ,eexyx

15、yuuuududxdyxxyxyyx從而 e1 ee1 exyxyuxdyyxg x eeee= exyxyxuxyygxgxxx， =exxxxxg xxdxee dxxeec1 e1 exyuxyxc（2）；223238d812 edyx yxyxxx yyy解：由于在全平面連續(xù)，32222812 e31638yxx yyxxyx yxyxy從而該曲線積分在平面內是某一函數的全微分，設這個函數為，xOy,u x y則原式3223224d412 e dyydxyxx dyx dyyy3322224d412 deyydxx dyyxx dydy32241212e dyyd yxdx ydyey

16、32241212eyyd yxx yye可取32241212eyyuyxx yye（3）222 coscosd2 sinsindxyyxxyxxyy解：可取折線作曲線積分0,0,0,xx y222002d2 sinsindsincosyxuxxyxxyyyxxy9設有一變力在坐標軸上的投影為,這變力確定了一個力2,28Xxy Yxy場,證明質點在此場內移動時,場力所作的功與路徑無關證：，2,28Fxyxy質點在此場內任意曲線移動時，場力所作的功為L228Lwxydxxydy由于在全平面連續(xù)，從而質點在此場內移動時，2282xyyxyxy場力所作的功與路徑無關作業(yè)作業(yè) 16 對面積的曲面積分對面

17、積的曲面積分1計算下列對面積的曲面積分：(1) ,其中為錐面被柱面所截得()dxyyzzxS22zxy222xyax的有限部分；解：為222222,xyxyzxyzzxyxy，2212xydSzz dxdydxdy:02 cos ,22Dra原式2 cos222302d2d d = 2cosaDzx Sx xyx ydrdr4422424022 cos64 2= 2cos=8 21 2sinsinsin415aadad（2）,其中為球面222dxyzS2222xyzax解：為兩塊222222222,yyyzxaayzxxayzayz，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02

18、Dra原式12222222222d2dDaaayzax Sax Sdxdyayz22222222Daaayzdxdyayz233222220024=42aDdxdyrdraadayzar22332242200=8882aad araaaraar 2計算，是平面被圓柱面截出的有限部分dy S4zyx122 yx解：為兩塊，4,1,1xyzxy zz 1 1 13dSdxdydxdy :01,02Dr原式3Dydxdy1232200003sin3cos03ardr dr （或由，而積分微元反號推出）, ,x y zxy z 3求球面含在圓柱面內部的那部分面積2222azyxaxyx22解：為兩塊2

19、22222222,xyxyzaxyzzaxyaxy ，222221xyadSzz dxdydxdyayz:0,02Dra原式12222d2DadxdySdSaxycos222022=22ardradarcos2222220022=2=4sin412422ardradaaadaaar4設圓錐面 ,其質量均勻分布,22hzxyaah為圓錐面的底面半徑，為高求它的重心位置解：設密度為單位 1，由對稱性可設重點坐標為00,0,z2222222221DDhhh ahzdSxydxdyxy dxdyaaa22222220023ah ahah ahdr dra22221DDhahdSdxdydxdyaa22

20、22200aahdrdra aha，故重點坐標為220222233ah ahhza ah20,0,3h5求拋物面殼的質量，此殼的密度按規(guī)律而變2212zxy01zz更解：2222112DmdSxyxydxdy223200112drrdr22532200224 32(1 1)11122 53515ttdttt 作業(yè)作業(yè) 17 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分1，其中是柱面被平面及所d dd dd dz x yx y zy z x221xy0z 3z 截得的在第一卦限內的部分前側解：221,:01,03,cos0,01yzyzyxyDyzxxy原式=22d dd dd d01d d1d dyzzx

21、DDz x yx y zy z xyy zxz x131222000321d d21612yzDyy zdyy dzy dz 2計算曲面積分，其中為旋轉拋物面下2()d dd dzxy zz x y221()2zxy側介于平面及之間的部分0z 2z 解：22221(),:4;2xyxyzxyzx zy Dxy22,:02,22 .yzxzyDzzyz 原式=1122()d d()d dd dzxy zzxy zz x y22222212d d2d d()d d2yzyzzxDDDzzyy zzzyy zxyz x22222222300021122d d()d d2222yzzxzDDzzyy

22、zxyz xdzzy dydr dr224232000222824zdzr drz3計算d dd dd dxy y zyz z xxz x y A其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面1, 0, 0, 0zyxzyx的外側解：分片積分。123:0,cos0;:cos0,0;:0,cos0;xyz41:1,coscoscos03zxy 原式=（由輪換對稱性）1234400031d dyzDyz y y z 123411100001113131322348yyyydyyyz dzydy 4把對坐標的曲面積分( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y

23、 zz xR x y zx y化為對面積的曲面積分：（1）是平面在第一卦限的部分的上側；322 36xyz（2）是拋物面在面上方的部分的上側228()zxy解：（1）3 2 2 3cos0,3,2,2 3 ,5 55nn原式=3 ( , , )2 ( , , )2 3 ( , , )dS5P x y zQ x y zR x y z（2）222 ,2 ,1cos0,2 ,2 ,1 ,144xynxynxy原式=222( , , )2( , , )( , , )dS144xP x y zyQ x y zR x y zxy5計算曲面積分,其中為旋轉拋物面2()d dd dIzxy zz x y下側介

24、于平面 z=0 及 z=2 之間的部分221()2zxy解：2222, , 1cos0, , 1 ,:41x ynx ynD xyxy原式=（兩類曲面積分的互化） 22222()()dS()1 d d1x zxzxzxzx yxy （第二類曲面積分投影法計算） 22222211()()1 d d42xyDxxyxxyx y （用了重積分的對稱性）22()d dxyDxyx y2243002284dr dr6 已知速度場，求流體在單位時間內通過上半錐面( , , ), ,v x y zx y z與平面所圍成錐體表面向外流出的流量22zxy1z 解：222212222:,cos0, 1 ,:4xy

25、zxynD xyxyxy同樣。22221, 1 ;2xynxyxy2:1,cos0,0,0,1 ,znD1212d dd dd dd dd dd dd dx y zy z xz x yx y zy z xz x yx y 1122222222dSdS2222xyxyxyzxy作業(yè)作業(yè) 18 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式1利用高斯公式計算曲面積分：(1) ，其中是平面，及222d dd dd dxy zyz xzx y A0 x 0y 0z 所圍成的立體的表面外側；1xyz解：原式2110012226662zDzxyz dvzdvzdzdxdyzdz112334001111131

26zdzzz（2），其中為柱面及平面，()d d()d dx yzy zxyx y A221xy0z 所圍成的立體的表面外側；3z 解：原式3320001zDyzdvzdvzdzdxdyzdz 3201922z (3) 計算 ,2(81) d d2(1)d d4d dyx y zyz xyz x y其中，是由曲面繞 y 軸旋轉一周所成的曲面,它的法向1(13)0zyyx量與 y 軸正向的夾角恒大于2解：加上右側，構成封閉區(qū)域的外側。221:3,2yxz原式111131( 16)16yDDdvdzdxdydzdxdzdx 3211132342y2設函數有一階連續(xù)導數，利用高

27、斯公式計算曲面積分( )f，式中是22223211()d d()d d()d d3If xyy zf xyz xx zy zzx yyx下半球面的上側2221(0)xyzz解：加上下側，構成封閉區(qū)域的內側。221:0,1zxy原式112122240000sinxyzdvddd 1500142cos55 3利用斯托克斯公式計算曲面積分：（1） 式中是圓周，從軸正向看去, 23 ddd ,y xxz yyzz A2222xyzzOz 取逆時針方向解：原式1112235520zDzdxdyzx dydzdxdydxdy （2），其中為圓周,從d3 d2 dy xz yx z A2224xyz0 xy

28、z軸的正向看去， 取逆時針方向 Oy解：原式121 3260 1030228 333dxdydydzdzdxdxdy 作業(yè)作業(yè) 19 場論初步場論初步1求下列向量場通過曲面指定一側的通量：A（1），為由平面與，所zyxAijk632zyx0 x0y0z圍成立體的表面，流向外側；解：1d dd dd d0 1 03 2 666z y zy z xx x ydv （2），為以點(3,-1,2)為球心，半徑223y2xyxzyzAijk的球面，流向外側3R解：223d dd d2d d2 12xyy zxzyz xyzx ydv 34331083 2 求向量場沿閉曲線的環(huán)流量(從 z 軸正向看32(

29、)()3Axz ixyz jxy k 依逆時針的方向),其中為圓周222,2zxyz 解：32dd3dzAdlxzxxyzyxyAA22226d d1 3d d30 d d3d dzxyyy zyz xxx yxx y 24223400331d d34192224xyx ydr dr3求向量場在點 M (1, -1, 2)處的散度和旋度224,Axyzxyx yz解：242,82 17MdivAyzxyx y divA 22,42,4,2,0, 9MrotAx zxyxyzyxyCrotA4證明向量場為平面調和場，并求勢函數2 , 2Ayx 解：由于220,0,0,220,divAyxrotA

30、xyxyxy因此是無源場且為無旋場從而為調和場A由為勢函數 2 ,22,0,2xyuy uxuxyg ygyuxyc 5驗證下列向量場為保守場，并求其勢函數：A（1）；yzzxxyAijk解：由于 ,0,rotAxyzxyzxyzxyzyzzxxy因此為無旋場從而為有勢場A由 ,0,0 xyzyuyz uzx uxyuxyzg y zguxyzh zh為勢函數uxyzc（2） 2226xyxzyzAijk解：由于26222622,0,yzxzxyyzxzxyrotAyzzxxy因此為無旋場從而為有勢場A由22,2 ,26,2 ,xyzyuxy uxz uyzuxxyg y zgz為勢函數 22

31、,6uxxyyzh zhz 2223uxxyyzzc6設具有二階連續(xù)偏導數，計算zyxuu,urot grad解：由于uuuu,xyzgrad從而urot grad,uuuuuuyzzyzxxzxyyx222222,uuuuuuy zz yz xx zx yy x 由于具有二階連續(xù)偏導數，從而zyxuu,0u rot grad第九章第九章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分測試題測試題1填空題（1）對坐標的曲線積分化成第一類曲線積分是dddP xQ yR z ，其中為有向曲線弧在點處coscoscosdsPQ , ( , , )x y z的 切向量 的方向角；（2）設為取正向的圓周則曲線積分L

32、922 yx；2(22 )d(4 )dLxyyxxxy A18（3）設曲線積分.與積分路徑無關，其中( )esin d( )cos dxLf xy xf xy y 一階連續(xù)可導，且，則；)(xf0)0(f)(xf2xxee（4）=_0_，其中為單位球面222()d d()d d()d dyzy zxzz xyxx y的外側；1222zyx（5）設，則 0 ，22e sin(2)xAyxyzxzyijk(1,0,1)div |A(1,0,1)rot |A1,0, 12計算下列曲線積分：（1）計算，其中為球面與平面的相交部2dLzs AL2222xyza0 xyz分0a 解：由輪換對稱性22222

33、2211ddddd33LLLLLzsxsysxyzsasAAAAA2232d2333Laasaa A（2），其中是，222dLysxyz L22222242xyzaxyax0,0za解：用球坐標表達是L22222242 ,cossin2xyzaaxyax22 cos,2 sincos ,2 sin ,0,xayaza 原式0222012d2sincos1 cos12 2143Lysdtdta （3）其中為橢圓由點經點到點2(2)d ,LxxyyL, 12222byax)0 ,(aA), 0(bC的弧段；)0 ,( aB 解：參數表達是Lcos ,sin ,:0 xayb 原式220(cos2s

34、incos ) cosaabbd 22222200241 sinsin2coscos01 133a bdabdabab （4），其中是與222d()d()dLx y xxyyxyzz AL11222zyx的交線，其方向與軸正向成右手系；122yxzz解：參數表達是L2cos ,2sin ,3 :02xyz原式222200cos41( 4sincos2 2cos )(2 2cos )2dd （5），其中為上半圓周(e sin2 )d(e cos2)dxxLyyxyyL，沿逆時針方向；222(),0 xayay解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界1:0, :02Lyxa原式222(e sin2 )d(e

35、 cos2)d20 xxL LLDyyxyyda（6），其中是以點為定點，dd|Lxyxy AL(1,0)A(0,1)B( 1,0)C 的正方形的整個邊界（取正向） (0, 1)D解：正向:1Lxy原式dd00LDxyd3計算下列曲面積分：（1）,為錐面介于之間的部分22edzSxy22zxy12z解：原式222222201ee2d =22 2xyrDdrdreerxy（2）計算2222222d,xyzRShRxyzh其中解：為兩片222zRxy 222222,xxRdzdSRxyRxy 令2222222,rdrtRxyRrdtRr原式22222221122DRdRhhtRhhtRxy2222

36、22001122RRrdrdRhhtRhhtRr22220112222RRRdtRhRhhRhhtRhht（3）其中錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。是上半球面d d2d d ,yz z xx y的上側；224yxz解：為2222222, ,4,cos0;:4,x y zzxyD xynxyz原式2cos2 cos2cosyzdSydxdy22222300112881222Dydxdyxy dxdydr dr（4），其中為錐面 222()d d()d d()d dyzy zzxz xxyx y22zxy的外側；(0)zh解：加上上側，構成封閉區(qū)域的外側。2221:,zh xyh原式111220000Ddvxy dxdyxy dxdy 22223400110224hDDxy dxdyxy dxdydr drh （5），其中是圓周，若正對著軸正22 d3 ddy xx yzz A22290 xyzzOz向看去，取逆時針方向