高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)定積分應(yīng)用例題、習(xí)題集和詳解

1、.wd定積分應(yīng)用1、直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算連續(xù)曲線及軸所圍成的平面圖形面積為設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y=f上(x)與y=f下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成, 那么面積元素為f上(x)- f下(x)dx, 于是平面圖形的面積為：.連續(xù)曲線及軸所圍成的平面圖形面積為由方程與以及所圍成的平面圖形面積為例計(jì)算兩條拋物線與所圍成的面積解求解面積問(wèn)題，一般需要先畫(huà)一草圖圖3，我們要求的是陰影局部的面積需要先找出交點(diǎn)坐標(biāo)以便確定積分限，為此解方程組：得交點(diǎn)(0,0)和(1,1)選取為積分變量，那么積分區(qū)間為，根據(jù)公式(1) ，所求的面積為圖3一般地，求解面積問(wèn)題的步驟為：(1) 作草圖，求

2、曲線的交點(diǎn)，確定積分變量和積分限 (2) 寫(xiě)出積分公式(3) 計(jì)算定積分例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積.解 (1)畫(huà)圖. (2)確定在y軸上的投影區(qū)間: -2, 4.(3)確定左右曲線: .(4)計(jì)算積分.例3 求在區(qū)間,2 上連續(xù)曲線 y=ln x,x軸及二直線 x =,與x = 2所圍成平面區(qū)域如圖2的面積 。解：在,2 上，ln x0 ; 在區(qū)間 1 , 2 上，ln x0 ,那么此區(qū)域的面積為：A = = + = += .例4 求拋物線 y2=x 與x-2y-3=0所圍成的平面圖形圖 3的面積 A 。解： 該平面圖形如下圖.先求出拋物線與直線的交點(diǎn)P(1 ,

3、-1)與Q9,3.用x=1把圖形分為左、右兩局部，應(yīng)用公式1分別求的它們的面積為：= .= .所以 .此題也可把拋物線方程和直線方程改寫(xiě)成:x=y2=1(y), x=2y+3=2(y), y-1 ,3.并改取積分變量為y，便得：A= .例5 求由兩條曲線y=x2,y= 和直線y=1圍成的平面區(qū)域如圖5的面積.解法一：此區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其面積是第一象限那局部面積的二倍。在第一象限中，直線y=1與曲線y=x2 與y= 的交點(diǎn)分別是1,1與2,1.此區(qū)域的面積為： .解法二：將y軸看作是自變數(shù)。在第一象限的那局部區(qū)域是由曲線 , 和直線y=1所圍成y作自變數(shù)。此區(qū)域的面積為：例6 求以下曲線所圍成

4、的圖形的面積(1)拋物線 與直線，(2)圓 .解(1)先畫(huà)圖，如下圖，并由方程， 求出交點(diǎn)為2，8，2.解一 取為積分變量,的變化區(qū)間為，2，在區(qū)間，2上任取一子區(qū)間，+ ，那么面積微元 =, 那么所求面積為 = = =9.解二取為積分變量，的變化區(qū)間為0，8，由圖知，假設(shè)在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成0，2，2，8兩局部完成.在區(qū)間0，2上任取一子區(qū)間， +，那么面積微元 1=,在區(qū)間2，8上任取一子區(qū)間， +， 那么面積微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 圖4例7求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積解作圖(圖4)，解方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)，(8,4)選取為積分變

5、量，積分區(qū)間為-2,4根據(jù)公式(2) ，所求的面積為=18練習(xí)題解答1求由曲線與直線所圍圖形的面積。 思路：由于所圍圖形無(wú)論表達(dá)為X-型還是Y-型，解法都較簡(jiǎn)單，所以選其一做即可解： 見(jiàn)圖6-2-101圖6-2-1所圍區(qū)域D表達(dá)為X-型：， 或D表達(dá)為Y-型： 2求在區(qū)間0，/2上，曲線與直線、所圍圖形的面積解：見(jiàn)圖6-2-20圖6-2-21所圍區(qū)域D表達(dá)為X-型：， 或D表達(dá)為Y-型： 3求由曲線與所圍圖形的面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為Y-型時(shí)解法較簡(jiǎn)單，所以用Y-型做解：見(jiàn)圖6-2-304圖6-2-3兩條曲線的交點(diǎn)：，所圍區(qū)域D表達(dá)為Y-型：，由于圖形關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，所以也可以解為：4求由曲

6、線與直線及所圍圖形的面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為X-型,解法較簡(jiǎn)單，所以用X-型做解：見(jiàn)圖6-2-501圖6-2-521兩條曲線和的交點(diǎn)為1，1、-1，-1，又這兩條線和分別交于、所圍區(qū)域表達(dá)為X-型：，5拋物線分圓的面積為兩局部，求這兩局部的面積思路：所圍圖形關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，而且在第一象限內(nèi)的圖形表達(dá)為Y-型時(shí)，解法較簡(jiǎn)單解：見(jiàn)圖6-2-6，設(shè)陰影局部的面積為，剩余面積為0圖6-2-602兩條曲線、的交于舍去的解，所圍區(qū)域表達(dá)為Y-型：；又圖形關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 其中7求由曲線、與直線所圍圖形的面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為X-型時(shí)，解法較簡(jiǎn)單，所以用X-型做解：見(jiàn)圖6-2-701圖6-2-71兩條

7、曲線和的交點(diǎn)為0，1，又這兩條線和分別交于和所圍區(qū)域表達(dá)為X-型：，8求由曲線與直線及所圍圖形的面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為Y-型時(shí)，解法較簡(jiǎn)單，所以用Y-型做解：見(jiàn)圖6-2-801圖6-2-8在的定義域范圍內(nèi)所圍區(qū)域：，9求通過(guò)0，0，1，2的拋物線，要求它具有以下性質(zhì)：1它的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸，且向下彎；2它與x軸所圍圖形面積最小解：由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸，又過(guò)0，0，所以可設(shè)拋物線方程為，由于下彎，所以，將1，2代入，得到，因此 該拋物線和X軸的交點(diǎn)為和，所圍區(qū)域：得到唯一極值點(diǎn)：，所求拋物線為： 10求位于曲線下方，該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積思路：先求切線方程，再作出所求區(qū)域圖形，然后根據(jù)圖形特點(diǎn)，選擇積分區(qū)域表達(dá)類(lèi)型解：，在任一點(diǎn)處的切線方程為而過(guò)0，0的切線方程就為：，即所求圖形區(qū)域?yàn)? X-型下的：，：11設(shè)直線y=ax與拋物線所圍成的面積為，它們與直線x=1所圍成的圖形面積為，并且a<1.確定a的值，使到達(dá)最小，并求出最小值。解：(1) 當(dāng)0< a<1時(shí)，當(dāng)時(shí)，2求變力做功的方法1、有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時(shí)需用力1N牛頓,現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解 根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸或壓