數(shù)學(xué)原理與模型分析

1、.v數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展v數(shù)學(xué)：數(shù)（量）與（圖）形由自然現(xiàn)象及生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生數(shù)字與圖形v自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)的定義v阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)：河谷文明；埃及數(shù)學(xué)；v亞洲數(shù)學(xué)：中國數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)v中國數(shù)學(xué)：、九章算術(shù)、算經(jīng)十書.v九章算術(shù)：分?jǐn)?shù)運算、比例、代數(shù)的解多元一次方程組、正負(fù)數(shù)、面積體積的計算、劉徽的割圓術(shù)（極限的思想）祖沖之的圓周率、楊輝三角（宋朝詳解九章算術(shù)）.v希臘：演繹數(shù)學(xué)從實驗轉(zhuǎn)向推理v數(shù)學(xué)研究轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的內(nèi)部：抽象代數(shù)；拓?fù)鋷缀危环汉治鰒1900年Hilbert提出23個數(shù)學(xué)難題：哥德巴赫猜想偶數(shù)表示成兩個奇素數(shù)之和v龐加萊猜想v2006年6月初，中科院外籍院士、

2、哈佛大學(xué)教授丘成桐透露了一條爆炸性新聞：百年數(shù)學(xué)難題龐加萊猜想被徹底破解，中山大學(xué) 教授朱熹平、清華大學(xué)兼職教授曹懷東完成“封頂”之作。.v龐加萊猜想是一個困惑數(shù)學(xué)界百年之久的難題。1904年，法國數(shù)學(xué)家亨利龐加萊提出一個拓?fù)鋵W(xué)上的猜想：在一個封閉三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間一定是一個圓球。v我們不妨想象：假如我們將一根橡皮帶伸展在蘋果表面，然后就可以在既不扯斷橡皮帶，也不脫離蘋果表面的情況下，使它慢慢移動并收縮為一個點；假如將同樣的橡皮帶伸展在油炸圈餅表面，只要不扯斷橡皮帶或者不脫離油炸圈餅表面，根本沒有辦法將它縮成一點。因此，我們說蘋果表面是“單連通的”，而油炸圈餅

3、表面不是。 .v龐加萊猜想是數(shù)學(xué)史上最偉大的問題之一，是拓?fù)浜蛶缀蔚闹髁?。v龐加萊猜想的研究對廣義相對論和宇宙、黑洞的研究以及實際的工程學(xué)應(yīng)用等都可能有著深遠的影響，其證明方法跨越拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)和微分方程等數(shù)學(xué)學(xué)科，它的重要性和難度都是相當(dāng)高的。v100多年來，龐加萊猜想這個數(shù)學(xué)游戲吸引了許多杰出的數(shù)學(xué)家。這一猜想無疑是數(shù)學(xué)研究中的王冠之一，先后有三位美國數(shù)學(xué)家僅僅因為部分解決龐加萊猜想即獲得菲爾茲獎。2000年，位于美國麻省的克萊數(shù)學(xué)研究所列出7項“千禧年數(shù)學(xué)難題”，并為每個難題的破解設(shè)立百萬美元巨獎，龐加萊猜想即是7大難題之一。龐加萊猜想在數(shù)學(xué)上的地位，由此可見一斑。 .數(shù)學(xué)的三次危機數(shù)學(xué)

4、的三次危機.希臘：畢達哥拉斯學(xué)派v信條：萬物皆數(shù)v其成員費洛羅斯曾宣稱：人們所知道的一切事物都包含數(shù)；因此，沒有數(shù)就既不可能表達，也不可能理解任何事物.v畢氏學(xué)派所說的數(shù)指的是整數(shù)v每個數(shù)都賦予了特定的屬性，最神圣的數(shù)是10v利用數(shù)的理論解釋天體運動v發(fā)現(xiàn)了音樂定律：如果振動弦的長度可表示成簡單的整數(shù)比，這時發(fā)出的將是和音. 第二次危機：無限性雅典時期希臘伊利亞學(xué)派的之諾提出了四個著名的悖論：1.兩分法：運動不存在2.阿基里斯永遠追不上一只烏龜3.飛箭：飛著的箭是靜止的4.運動場：空間和時間不能由不可分割的單元組成. 第二次危機.兔子追上烏龜所走過的路程為 1111121910)101(101

5、SSSSSSSSnn .第三次危機v例子：所有集合本身是一個集合，但是，所有人的集合不是一個人v事實：一個集合或者是它本身的成員，或者不是它本身的成員.羅素悖論v如果不是其成員，則N 是N的成員，而不是M的成員，于是N又是它本身的成員。v我們以M表示是它們本身的成員的所有集合的集合，而以N表示不是它們本身成員的所有集合的集合。現(xiàn)在問：集合N是否是它本身的成員。v如果是，則N是M 的成員而不是N的成員；.羅素 悖論的通俗例子v某村的一個理發(fā)師宣稱：他只給所有不給自己刮臉的人刮臉。v問題：理發(fā)師是否給自己刮臉？v若刮，則違背了自己的原則；v若不刮，那按照其原則，他就應(yīng)該為自己刮臉。.解決辦法：提出

6、公理系統(tǒng)v目前公認(rèn)的ZF公理系統(tǒng)，不會自相矛盾。但是，第三次數(shù)學(xué)危機從整體看來還沒有解決到令人滿意的程度。.v數(shù)學(xué)的回歸v數(shù)學(xué)建模滲透到一些非傳統(tǒng)領(lǐng)域：社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生態(tài)學(xué)、體育學(xué)、戰(zhàn)爭v數(shù)學(xué)的分析穩(wěn)定性分析等v數(shù)學(xué)引發(fā)的其他學(xué)科計算機學(xué)科、自動控制. . . 現(xiàn)實世界的信息 翻譯、 歸納 數(shù)學(xué)模型 數(shù) 學(xué) 的 分析、預(yù)報、決策或控制 現(xiàn)實世界的分析、預(yù)報、決策或控制 演繹、推斷 解釋 檢驗 . 汽車的最終位置 剎車痕跡 X0369121516.6182124273033.3 Y01.192.152.823.283.533.553.543.312.892.221.290.rvmmg2=.22

7、2)2()(chrrgrv. . . .)()()(1)(1)(00+=+=pbabababbapbapnnnn.建模有時需要有跳出問題的思維v圍棋模型棋盤19道的確立v圍棋的棋盤由古時的每邊11道增至現(xiàn)在的每邊19道，其間歷經(jīng)數(shù)千年。這種進化的過程也顯示著人們的認(rèn)識逐漸接近真理?，F(xiàn)在的棋盤經(jīng)受了二千多年的考驗，其邊數(shù)設(shè)置必有其合理性，這里的關(guān)鍵就在于要保證先手和后手的無差異。 .v古人在不貼子的情形下仍可“公平”對弈，說明先下的一方占的便宜不會太大?？梢酝茰y，圍棋內(nèi)部一定存在著兩種抗衡的力量，使先手即使先落子也無法取得多少優(yōu)勢。 v這也是形成圍棋那樣富于變化的原因。這兩種力量既可以對抗，又可

8、以隨時轉(zhuǎn)換。 .v邊部和中腹是圍棋中的兩種對抗的勢力。應(yīng)保證兩種勢力所具有的價值相同，從而使二者能夠真正地進行抗衡。這是必要的，否則，無論偏重哪一方，圍棋都會成為單一爭奪邊部或中腹的乏味游戲，而且使先手棋獲益頗大。 .v問題最終化為：怎樣設(shè)計方形棋盤（即每邊選取多少道）使三線圍成的邊部與四線圍成的中腹具有相同的地位或最小的差異？.目效率v定義定義 對于一塊成活型棋塊，用它的棋子數(shù)去除這些棋子所包含的目數(shù)，得到的商值稱為此棋塊的目效率，記為E。Figure 4.Figure 4.Figure 4.宏觀的問題可能需要微觀解決v 地中海鯊魚問題 v 20世紀(jì)20年代中期，意大利生物學(xué)家Umberto

9、 DAncona偶然注意到第一次世界大戰(zhàn)期間在原南斯拉夫的里耶卡港，人們捕獲的魚類中，鯊魚等軟骨魚的百分比大量增加，而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降,見下表。顯然，戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚應(yīng)該增加，鯊魚等軟骨魚也隨之增加，但為何其比例大幅度增加呢？.跑步時如何節(jié)省能量跑步時如何節(jié)省能量 v問題的提出問題的提出：怎樣跑步能使我們消耗的能量最少？How to save your energy in runningHow to save your energy in running vThe problem： how can we save our energy in running ? .v模

10、型假設(shè)模型假設(shè)： v(1 )跑步所花費的時間分成兩部分：第一部分為兩條腿同時離地的時間；在第二部分時間內(nèi)一條腿或兩條腿同時落地。The Assumption：To solve the above problem,we suppose (1 )The runing time consists of two parts：One is for two legs both left the land; and the other is for two or one leg on the land . .The conclusions can be applied to animals.走路情形的數(shù)學(xué)建模 Walking Model .Let 0dsdW，then (2-21) we can obtain the positive solution *s from above equation as the perfect value of step. 064342233svmlmgslmg.00012100211M.00012100211M0000210001D1