向心加速度公式的幾種推導(dǎo)

1、向心加速度公式的幾種推導(dǎo)一、運(yùn)用速度增量法推導(dǎo)如圖，表示速度（率） v 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在時(shí)間t內(nèi)由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)。在這運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于t 非常小，可以看成是過(guò) A點(diǎn)切線方向速度為 v 的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在 AO方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。物體過(guò) A 點(diǎn)沿切線方向的速度為v，在 AO方向上的初速度v0=0，當(dāng)經(jīng)過(guò)很短時(shí)間t 內(nèi)，物體由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，線速度大小仍是 v，但方向改變了，由于方向的改變，使物體在AO方向獲得了分速度vt=vsin。這時(shí)物體在AO方向速度的增量應(yīng)是：V=Vt-v0=vsin。在這段時(shí)間內(nèi)，物體沿切線方向勻速運(yùn)動(dòng)走過(guò)的距離可看成是由E 到

2、 B，即 EB=V· t由此得到：tEBRsinvv又根據(jù)加速度的定義式可得：avvsinv 2tRsin / vR二、運(yùn)用位移合成法推導(dǎo)1、如圖（ 1）表示以速率v 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)很短時(shí)間t ，由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，于是有 錯(cuò)誤 ! 未指定書簽。 AB=Vt當(dāng)t 小到某種程度，即AB弦與 AB弧幾乎重合，則有： AB弦=AB弧=vt如果物體位于A 點(diǎn)時(shí)，力的作用消失， 則物體將沿切線方向作勻速運(yùn)動(dòng)，在t 時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)位移vt 。但實(shí)際上物體在t 時(shí)間內(nèi)沿圓周運(yùn)動(dòng)到了 B 點(diǎn)，這是由于物體還受到向心力的作用， 加速離開了切線，其位移為 AF，它和過(guò) A 點(diǎn)切線方向的位移

3、v t 合成起來(lái)，使物體由 A 移動(dòng)到 B。由于時(shí)間 t 很短，向心力可近似看成在過(guò) A 點(diǎn)的半徑方向，從圖中可以看出：由于：ABC ABFAFAB所以ABAC于是所以AFAFAB2將式代入此式并注意 AC=2RACV 2t22 R上式中 v、R都是常量，此時(shí)表明位移 AF與時(shí)間t 的平方成正比，符合勻加速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。與初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式S21 at2相比較，可得出勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度公式v2a為：R2、圖（ 2）表示物體以速率 v 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情形，在很短時(shí)間 t 內(nèi)由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，與上題思考方法不同的是，現(xiàn)在把該運(yùn)動(dòng)過(guò)程看成是同時(shí)參與兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)

4、動(dòng)。一個(gè)是沿切線方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度就是v，在時(shí)間t 內(nèi)物體由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 C點(diǎn)，則ACv·t另一個(gè)是在向心力作用下沿直徑BD方向做初速度為零，加速度為a 的勻加速運(yùn)動(dòng)，在相同的時(shí)間t 內(nèi)，物體由 C運(yùn)動(dòng)到 B，則CB1 a t 22由幾何學(xué)中圓外同一點(diǎn)所做切割線與切線的關(guān)系得：AC 22R2(R CB)2R2OCR 22RCBR22RCB將兩式代入式得：v2t 22R 21 a t 2化簡(jiǎn)后得： av2R 這就是向心加速度。三、運(yùn)用速度位移公式法推導(dǎo)如圖表示以速率v 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在極短時(shí)間 t 內(nèi)由 A 點(diǎn)移動(dòng)到 B 點(diǎn)。在這段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，仍看成是過(guò) A點(diǎn)沿切線

5、方向速度為 v 的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在 AO方向初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，與上述方法二、 1 不同的是在 AO方向的加速運(yùn)動(dòng)，可應(yīng)用速度與位移的關(guān)系式：v2t2aAE則 avt22 AE從右示圖中可看出：AEAB sin 2而 AB 2Rsin 2所以AE 2Rsin2 sin2而 由 上 述 “ 速 度 增 量 推 法 一 ” 知 ： vt v sin所 以avt2V 2 sin 22 AE2 2 Rsin 2 ( 2 )當(dāng) t 0 時(shí)， 0，就有 sin 0， sin 2 2 所以，av2 2V 24R( 2 )2R四、運(yùn)用矢端軌跡法推導(dǎo)如圖所示速度的矢端軌跡曲線，圖（1）表示一個(gè)圖

6、形路徑，在它上面畫出相等時(shí)間間隔里的一系列速度矢量，它們大小相等，方向不同；圖（2）表示從共同原點(diǎn)o 畫出這些速度矢量，因?yàn)樗俣仁噶看笮〔蛔儯墒顾俣仁噶慷它c(diǎn)在半徑為 v，周長(zhǎng)為 2 派 v 的圓上繞行一周，我們看到，速度的相繼變化v 都有相同長(zhǎng)度，而方向彼此不同。以半徑為 R 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在一個(gè)周期內(nèi)，繞圓運(yùn)動(dòng)一周的距離是vT=2 派 R根據(jù)同樣的思路， 可求得速度矢端以v 為半徑，繞圓一周，則有： aT=2 派 V因?yàn)?T2R所以 a2 v2vv2VT2R/ vR這種方法比較新穎，這是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密根于1835 年提出的，他把求某一曲線運(yùn)動(dòng)的加速度問(wèn)題化為求另一曲線運(yùn)動(dòng)的速度，而這速度的求得卻方便得多。但筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐或感覺(jué)到，由于學(xué)生缺乏速度矢端軌跡的相關(guān)知識(shí)，領(lǐng)會(huì)起來(lái)比較困難，因此不宜將此法介紹給學(xué)生，但可供老師教學(xué)時(shí)參考。利用速度矢端軌跡，還可以根據(jù)弧度制的定義推導(dǎo)出向心加速度的公式。如圖示，當(dāng)圓心角很小時(shí)所對(duì)弧長(zhǎng)近似等于弦長(zhǎng)，這樣，當(dāng)經(jīng)歷很短時(shí)間t 時(shí)，速度矢量的增量v 幾乎與弧弧長(zhǎng)v長(zhǎng)重合，根據(jù)弧度制定義：= 半徑 v兩邊除以t 得： t1vvt當(dāng) t 0時(shí)，則有： av