向量法求空間角

1、向量法求空間角廣東信宜中學(xué)李平大家知道,立體幾何是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn),以往數(shù)學(xué)教師在教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí),主要采取“形到形的綜合推理方法,即要求學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件,將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,再由線線,線面等關(guān)系確定結(jié)果,這種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循,對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn),技巧性較強(qiáng),致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策.高中新教材中,向量知識(shí)的引入,為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的工具.它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想.并且,引入向量,對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題能提供通法,防止了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題,因而降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度,減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān),表達(dá)了新課程的理念.為

2、適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要,需要研究用向量法解決立體幾何的各種問(wèn)題.本文舉例說(shuō)明如何用向量法解決立體幾何的空間角問(wèn)題,以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣,從而到達(dá)提升學(xué)生解題水平的目的.1預(yù)備知識(shí).空間向量夾角：設(shè)a=(x1,y1z1),b=(x2,y2,z2)為空間的兩個(gè)向量,a,b的夾角為a,b,那么由向量?jī)?nèi)積公式：ab=a|'bcos(a,b)得：cos(a,b)=ab其中0三a,b三二向量法求空間角的具體解題思路如下：向量法求空間角2求異面直線所成的角方法：兩條異面直線li,12,可分別在li,12上取向量a=x1,y1,z1b=x2,y2,4,設(shè)兩條異面直線所成的

3、角為e0<0<2,那么當(dāng)a,bw/,冗時(shí),日=冗_(dá)<a,b例1在正方體中ABCDABC1D1,M是AB的中點(diǎn),試求異面直線DM與BDi的夾角.分析：此題傳統(tǒng)的解法是先通過(guò)平移找出所求的異面直線所成的角,即作出與行且與BDi相交的直線,構(gòu)造三角形,利用余弦定理求解,步驟繁多,而引入向量能簡(jiǎn)化運(yùn)算,提升解題效率.角軍：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,如圖1所示,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,那么向量1=1,2,0,易得dM*Bd1=1x-1+1x-1+0x1=-|cosDM1*BdJ3一215阿的一532易知,一arccos155例2在直棱柱ABCAB1cl中,底面是以/ABC為直角的等腰三

4、角形,AC=2,BB1=3,求直線BC1與A1C所成的角.分析：此題中要求異面直線A1C與BC1所成的角,首先必須作出這個(gè)角,但用傳統(tǒng)的解法,很難作出,需要一定的技巧,而向量法能輕而易舉把問(wèn)題解決.角軍：如圖2所示,以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,那么B0,0,0,.0,五,3,50,6,0,A也0,3BC1=0,中3鄧=中點(diǎn)6那么=6,能.髭=0-.22.23-3=-77143a=arccos1433求直線與平面所成的角.方法：設(shè)直線i與平面n的夾角為9日1,設(shè)向量aIIi,向量b_Ln,即a是l的方向向量,b是口的法向量,那么例3如圖3,在直三棱柱OBC-OiBiCi中,OB=1,OC=2

5、,OO1=3,NBOC=90,求直線CBi與平面OiCiB所成的角.分析：傳統(tǒng)方法是作出直線BiC在平面OiCiB上的射影,那么直線BiC與射影所成的角就是直線和平面所成的角；此題中,不易作出直線在平面上的射影,應(yīng)用向量法能避開(kāi)這一難點(diǎn),到達(dá)求解的目的.設(shè)平面OiCiB的法向量為n=(x,y,z),那么BOi=_x3z=0O"d=2y=0取n=(3,0,1),即|n6cosn冗10,2直線CB1與平面O1C1B所成的角為一23.35一、353.35-arccos:35例4如圖(4),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,/ACB=901側(cè)棱AA1=2,D,E分別是C

6、C1,AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1)求AB與平面ABD所成的角的大小.分析：此題中,要作出直線A1B在平面ABD上的射影比擬困難,一般學(xué)生不易作出,(2)求點(diǎn)A1到平面AED的距離.(2003高考題)而應(yīng)用向量能避開(kāi)這一難點(diǎn).解：(1)如圖(4),建立空間直角坐標(biāo)系C-XYZ,設(shè)CA=CB=a,那么B(0,a,0),D(0,0,1),A(a,0,0),A(a,0,2),易得aa1(一,一,一)333A(4)弟=(-a,0,1),GEiaBGiAd,、a八2,八(-a)-0-1二063所以a=2,AiB=(-2,2,-2)-cos3AB-二2AiB與平面ABD所成的

7、角為-arccos、2一3JT=arcsin2說(shuō)明：此題是先設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo),2略.然后利用向量垂直的充要條件,求出坐標(biāo)中的未知量,這在向量法解決立體幾何問(wèn)題中經(jīng)常用到.4二面角的求法.方法1：如圖5,二面角a-l-P的棱l上有兩點(diǎn)A,C,BWa,DWP,AB1l,AB=a,CD=b,那么二面角的平面角0=11a,bo方法2：如圖67,a_La,b1P,a,b分別為平面a,P的法向量,那么當(dāng)a或假設(shè)a,b方向一致或相反,那么二面角的平面角8=?a,b；1或(6)(5)例5在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ABD與平面CiBD所成的二面角.分析：此題中,我們易于作出兩平面所成的二面角,但

8、用傳統(tǒng)方法求解,計(jì)算量大,學(xué)生易于出錯(cuò),所以我們用方法1求解.解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連結(jié)A1O,C1OAADB與ACBD都是等腰三角形AO_LBD,C1O_LBD,那么向量AO與CO所成的角,即為面ABD與面C1BD所成的面角的平面角.,如圖8所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,那么以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系=(-2,2TC1(0,1,1)iiHBi1AOC1O=112例6正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,M為棱DD1,D©的中點(diǎn),求平面PAC與平面PAM所成的二面角的大小.分析：顯然這是一個(gè)典型的無(wú)棱二面角,傳統(tǒng)方法是先作出二面角的棱,再利用三垂線定理等解答,但這需要一定的技巧性,一般學(xué)生難以解決,引入向量能避開(kāi)這一難點(diǎn).角軍：如圖9所示,建立空間直角坐標(biāo)系Di-XYZ不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,那么A(2,0,2),C(0,2,2),Ai(2,0,P(0,0,1),M(0,1,0)PA=(2,0,1),PC=(0,2,1,)p?f=(2,0,-1),pM=(0,1,-1),設(shè)平面PAC的法向量m=(x,y,z),m*pa=0,m.pc=02x+z=022y+z=0令z=-2,那么c、m=(1,1,-2)I同理,可求得平面PAM的一個(gè)法向量ncos阮辦立幽Ml180),