向量與三角形內(nèi)心外心重心垂心知識(shí)的交匯

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識(shí)的交匯一、四心的概念介紹(1)重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2:1;(2)垂心一一高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心一一角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;(4)外心一一中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合(1)OA+OB+OC=0yO是AABC的重心.證法1:設(shè)O(x,y),A(xi,yi),B(x2,y2),C(X3,y3)-f(X1_X)+(X2_X)+(X3X)=0OA+OB+OC=0uJU(y1V)+(y2y)*(y3y)=0X1X2X3X二3y1-y2-y3

2、y二3=O是MBC的重心.證法2:如圖OAOBOC=OA2OD=0.AO=2OD二A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD為2:1，O是MBC的重心(2)OAOB=OBOC=OCOAuO為MBC的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC,AD垂直BC,D、E是垂足.OAOB=OBOCMOB(OA-OC)=OBCA=0仁OB_AC同理OA_LBC,OC_LABUO為MBC的垂心(3)設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，O是ABC的內(nèi)心aOA+bOB+cOC=0uO為&ABC的內(nèi)心.證明:ABACAB、土分別為AB、AC方向上的單位向量,cbABAC+平分NBAC,bABAC一十一)，令

3、九二bbcbcABAC二AO=(十)a-b-ccb化簡(jiǎn)得(abc)OAbABcAC=0.aOAbOBcOC=0(4)OA=OB=OC二O為&ABC的夕卜心。典型例題：例1:O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+£(AB+AC),W0,收），則點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的（A.外心分析：如圖所示.：ABC中占.B.內(nèi)心C.重心D、E分別為邊BC、ACABAC=2AD=OA2ADOP=OAAPD.垂心=2AD.AP/AD二點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，即選例2:（03全國(guó)理4）O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)PABAC

4、、,滿足OP=OA十九(=+=),兒乏0,+1c),則點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的（B）ABACA.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂心ABAC分析：:旨、旨三分別為ab、ac方向上的單位向量,ABACABABAC+尸f平分/BAC,AC二點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的內(nèi)心，即選B.例3:O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA(ABAC）,九W0,收），則點(diǎn)P的軌跡一定通過MBC的ABcosBACcosCB.內(nèi)心C.重心分析：如圖所示AD垂直BC,BE垂直AC,D、ABAC+ABcosBABBC=)BCACcosCACBCAB|cosBAC|cosCABBCcosBA

5、CBCcosCAB|cosBACcosC=-BC+|bC|=0二點(diǎn)P的軌跡一定通過MBC的垂心，即選D.練習(xí):1.已知AABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿足PA+PB+PC=0,若實(shí)數(shù)九滿足：AB十AC=Zap,則入的值為（D.C.32.若MBC的外接圓的圓心為O,半徑為1,OAOB+OC=0,則OAOB=()B.C.13.點(diǎn)O在.ABC內(nèi)部且滿足OA2OB2OCABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（)_3B.一25C.一4D.4.AABC的外接圓的圓心為O,若OH=OA+OB+OC,則H是AABC的（）5.O是平面上一定點(diǎn),B.A、內(nèi)心B、C.重心222C是平面上不共線白三個(gè)點(diǎn)，若OA+BC=OB.2CA=OC+AB，則O是&ABC的()C.重心A.夕卜心6. AaBC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m（OA+OB+OC）,則實(shí)數(shù)m=ABACABAC17. （06陜西）已知非零向量AB與AC滿足（=+）-BC=0且21=,則ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形.28,已知MBC三個(gè)頂點(diǎn)A