圓錐曲線解題技巧和方法綜合全

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為（內，以），（x2,y2）,代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式（當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數。22如：（1）二十二=1（。0）與直線相交于A、B,設弦AB中點為M（xo,yo）,則有CTZ?"3+2=0。/-22（2）二一二=1（。0力0）與直線|相交于A、B,設弦AB中點為M（xo,y。）則有crb一與一卻1=0/b2（3）y2=2px（p0）與直線I相交于A、B設弦AB中點為M（xo,汨廁有2y°k=2p,即yok=

2、p.典型例題給定雙曲線/一-=10過A（2,1）的直線與雙曲線交于兩點R及丹，2求線段pE的中點P的軌跡方程。（2）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點p,與兩個焦點與、后構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。22典型例題設P（x,y）為橢圓二十二=1上任一點，（一C。），居（c,0）為焦點，aZPFR=a,/PF、F、=0求證離心率-sing+0；sina+sinp（2）求IP/J+p巴|3的最值.(3)直線與圓錐曲線位置關系問直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解

3、決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程產=p(x+1)(p>0),直線x+y=t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(2)設直線與拋物線的交點為A、B,且OA1.OB,求p關于t的函數f(t)的表達式。(4)圓錐曲線的相關最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關最值(范闈問題，常用代數法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數(通常利用二次函數，三角函數，均值不等式)求最值。(1),可以設法得到關于a

4、的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式二或者將a表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍：對于(2)首先要把4NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值，即：“最值問題，函數思最值問題的處理思路：1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關鍵是由方程求x、y的范圍；2、數形結合，用化曲為直的轉化思想：3、利用判別式，對于二次函數求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值:4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0),過M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|W2

5、P(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求4NAB面積的最大值。(5)求曲線的方程問題1 .曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A(-1,0)和點B(0,8)關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2 .曲線的形狀未知一求軌跡方程典型例題已知直角坐標平而上點Q（2,0）和圓C：x2+y2=l,動M點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數（4>0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6）存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決

6、：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點,使這交點在圓錐曲線形內。（當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決）典型例題已知橢圓C的方程二+t=1,試確定m的取值范圍，使得對于直線43）,=4x+?，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用占k、=2_=_來處理或用向量的坐標一回工2運算來處理。典型例題已知直線/的斜率為k,且過點P（-2,0）,拋物線C:/=4（x+1）,直線/與拋物線C有兩個不同的交點（如圖（1）求攵的取值范圍：（2）直線/的傾斜角夕為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計

7、算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設直線3x+4y+?=0與圓x2+y2+x-2），=0相交于P、Q兩點，o為坐標原點，若OP上OQ,求?的值。（2）充分利用韋達定理及“設而不求”的策略我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O,焦點在y軸上的橢圓

8、與直線），=x+l相交于P、Q兩點，且OP_LO。，IP（2I=,求此橢圓方程。2（3）充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經過兩己知圓&：X2+）,2-4工+2），=0和C?：x2+y2-2y-4=0的交點，且圓心在直線/：2x+4y1=0上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數方程橢圓的參數方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。22典型例題P為橢圓二十二=1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四ab邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。（5）線段長的幾種簡便計算

9、方法充分利用現成結果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程），=丘+代入圓錐曲線方程中，得到型如ad+/”+c=0的方程，方程的兩根設為以，Xr,判別式為,則1481=Jl+k-lx、-J1+%2.E,若直接用結論，能減少配方、開方等運算IaI過程。例求直線x-y+=0被橢圓x2+4y2=16所截得的線段AB的長。結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。例可、乃是橢圓3+1=1的兩個焦點，AB是經過£的弦，若148=8,求值f.a+f2b利用圓錐曲線的定義，

10、把到焦點的距離轉化為到準線的距離例點A（3,2）為定點，點F是拋物線=4%的焦點，點P在拋物線）,=4x上移動，若IPAI+IPFI取得最小值，求點P的坐標,錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一式。(2)與直線相關的重要內容傾斜角與斜率=tana,ae0,乃)點到直線的距離d=筆+8為+。夾角公式：y/A2+B2kk.tana=|1+城(3)弦長公式直線)，=依+上兩點4(芭,力),8(孫/)間的距離:AB=y/+k2|x,-x2=«+心(石+了)2-鈾電或|從回=J1+51x-乃|(4)兩條直線的位置

11、關系6_L/?=攵色=-1/工=勺=右且&wd2、圓錐曲線方程及性質、橢圓的方程的形式有幾種(三種形式)22標準方程：+=1(/?Z>>。且7W)mn距離式方程：,J(x+c)2+y2+y(x-c)2+y2=2ci參數方程：x=acosO.y=bsin0(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程：+=l(/H-77<0)mn距離式方程：Iyj(x+c)2+y2-yj(x-c)2+y21=2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎22如：已知片、人是橢圓二+二=1的兩個焦點，平面內一個動點M滿43足明用-附用=2則動點M的軌跡是()A、雙曲線

12、；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線a、焦點三角形面積公式：尸在橢圓上時，=b2tan-2(其中N月產鳥=acos<9=,Pf；*M=IPIl-Mlcos<9)、記住焦半徑公式：(1)橢圓焦點在x軸上時為4土雕);焦點在y軸上時為。土,可簡記為“左加右減，上加下減”。(2)雙曲線焦點在a軸上時為e1/1±。(3)拋物線焦點在a軸上時為1再l+f,焦點在y軸上時為ly1+當、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎第二、方法儲備1、點差法(中點弦問題)設A(X,yJ、W/，為)，為橢圓*+二=1的弦A8中點則有I工+工=1,±1+亡=1；兩式相減得卜一叮)+卜

13、匚'I)=o43,43433a(2-x2Xaj+x2)_(乃一乃Xyi+%)-口4=3A”4b2、朕立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎經典套路是什么如果有兩個參數怎么辦設直線的方程，并且與曲線的方程朕立，消去一個未知數，得到一個二次方程，使用判別式、()，以及根與系數的關系，代入弦長公式,設曲線上的兩點人(內,片),8(天,力)，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元,若有兩個字母未知數，則要找到它們的朕系，消去一個，比如直線過焦點,則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數的關系結合消元處理。一旦設直線為)，=丘+

14、，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓4/+5/=80上，且點A是橢圓短軸的一個端點(點A在y軸正半軸上).(1)若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程；(2)若角A為90。，AD垂直BC于D,試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為90?？傻贸鯝B_LAC,從而得內+必丁2-14(乃+乃)+16=0,然后利用朕立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程；解：(1)設B(x.,yi),C(x2,y2),BC中點為(=,y°),F(2,0)則有工+理=1,片+壯=1

15、20162016兩式作差有+。）區(qū)七）+日mi+*）=（）包+辿=o（1）201654-F（2,0）為三角形重心，所以由二a=2,得*=3,由上+=-4=0得兒=一2,代入（1）得直線BC的方程為6x-5y-28=02）由AB_LAC得1馬十力力-14（必+為）+16=0（2）設直線BC方程為，=人+仇代入4/+5），2=80,得5尸一8070kb（4+5A2）x2+0bkx+5從-80=0X|+X,=,=7-4+5公-4+5公加-80公4+5尸代入（2）式得8k尸乃=4+5k9b132b16到汨“冬、十/44+5/=°,解得=火舍)或)=-§44y+j直線過定點()，-)

16、,設D(x,y),則-x=-1,即9xX9y2+9x2-32y-16=0所以所求點D的軌跡方程是1十（），-臺=（苧2（二4）。4、設而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中|A3|=2|S,點E分有向線段急所7q成的比為4,雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當三w/iw五時,JI求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力。建立直角坐標系g,如圖，若設代入*一4=1,求得/?=.,12；alr進而求得加，再代入4-4=1>建立目標函數/(也C,=0,整理f(e,4)=0,此運算量可見是難

17、上加難.我們對萬可采取設而不求的解題策略，建立目標函數/(4,4c,2)=0,整理/®%)=0,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為)，軸，直線AB為X軸，建立直角坐標系入3,則CD_Ly軸因為雙曲線經過點C、D,且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于)，軸對稱依題意，記A(-c,0),Clp/，E(A0,y(),其中0=5以創(chuàng)為雙曲線的半焦距，力是梯形的高，由定比分點坐標公式得_-c+2/l_U-2>_勸")=1+/=2Q+1)'"=m設雙曲線的方程為二-匯=1,則離心率a1六a由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e=£

18、;代入雙曲線方a程得/Tb24由式得將式代入式，整理得-(4-42)=1+22,故2=1一一7+1由題設得，.-1-343e+24解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為解，、同分析：考慮卜目,|4。為焦半徑，可用焦半徑公式，卜£|,H。|用EC的橫坐標表示，回避。的計算，達到設而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,AE=-(a+exE),AC=a+exc,x=C+2A=(A2)C又生旦=/_代入整理3由題相1+%2(4+1)'乂|AC|+二代人督埋"/+，因趙設得，343/+24解得y!l<e<4u)所以雙曲線的離心率的取值范圍為距,&55、判別式

19、法例3已知雙曲線C：£_二=1,直線/過點4歷,0),斜率為k,當0<Avl22時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線/的距離為應，試求k的值及此時點B的坐標。分析1:解析幾何是用代數方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與/平行的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數表現形式是所構造方程的判別式A=0.由此出發(fā)，可設計如下解題思路：/:y=k(x-!2)(OcAvl)解題過程略.直線夕在1的上方且到直線/的距離為正,分析2:如果從代數推理的角度去思考，就應當把距離用代數式表達，即所謂

20、“有且住將3,酚砂到嵯繆的距圈為舊我式衡當于化歸'r的方程有唯一解.據此設計出如下解題思路：問題I一簡解將設露加國所+敢)為雙曲線C|h支上任一點,則點M到直笊:普)=及(0<k<l)有唯一線的*2離為？口轉化為一元二次方程根的問題于是，問題口耳化為如上關于工的方程.由于0VA<1,所以yjl+X1>>kx,從而有于是關于式的方程(*)由0<Zvl可知：方程(二一1*+242(公+1)-y2k卜+(J2伙2+1)_業(yè)了_2=0的二才艮同正，故，2(公+1)-、2+依>0恒成立,于是(*)等價于(k2-1卜2+2攵。2(-2+1)-瘋卜+口2也2

21、+1)一向一2=0.由如上關于尤的方程有唯一解，得其判別式=(),就可解得,25K=.5點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:+2)=8和點P(4,1),過P作直線交橢圓于ADAQA、B兩點，在線段AB上取點Q,使,=-£,求動點Q的軌跡所rDQb在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數法求解.因此，首先是選定參數，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點Q(ky)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇

22、直線AB的斜率k作為參數，如何將與攵朕系起來一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：£=來轉化.由A、B、rt5QBP、Q四點共線，不難得到Y_爾/+Xn)-，要建立X與&的關系，只需8-區(qū)+.%)將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中囿數.在得到x=/(口之j、上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到1j公同可小、.，=，一小;1解得,.將直線方程代入橢圓方程，消去y,利用韋達定理/<=,直接代入x=L得到軌跡萬模。從而同化消去參的過x-4程。利用點Q滿足直線

23、AB的方程：y=k(x4)+l,消去參數k簡解:設4(再辦)1.岑交方程J則由尊=可得:口=,PBQBx2-4x2-x解之得:4($+x2)-2xjX28-U.+x.)1-設直線AB的方程為：y=k(x-4)+,代入橢圓C的方程，消去)，得出關于x的一元二次方程:(2k2+1)x2+4攵(l-4Z)x+2(144)2-8=0再+必%上=我(4£-1)4k+3x=k+2=2卜+1'2(1一軟尸-82二+1代入（1）與），=%（14）+1聯(lián)立，消去k得：（2x+y-4X%-4）=0.在（2）中，由A=Y必2+64攵+24>0,解得三叵<a<上叵，結合（3）44可

24、求得16-2/16+2加99故知點Q的軌跡方程為：2x+y-4=0（16-2<1Q<a,<16+2V10）.99點評：由方程組實施消元，產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到.這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設直線/過點P（0,3）,和橢圓<+1=1順次交于A、B兩點，94AD試求無的取值范圍.分析：本題中，絕大多數同學不難得到：”二幺，但從此后卻一PB籌獎展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎

25、兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系.APY分析1：從第一條想法入手，右=一也已經是一個關系式，但由于PBxR有兩個變量4,4,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量直線AB的斜率問題就轉化為如何將4,人轉化為關于K的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于尤的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.形.山心、小加卜一27女+6J9小一5當Qo時，十一+4-所以AP$_一9女+219)2一5_=-1-27k-6d9/一59父+418攵PB9k+2J9/-59k+2的攵

26、2-5由=(-54A:)2-180(9JI2+4)>0,解得k1>|,18分析2:如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源.由判別式值的非負性可以很快確定攵的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與女朕系起來.一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于夢不是關于0%的對稱關系式.原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于和占的對稱關系式消去y得則在（*）中，由判別式之（）,可得k1>1,從而有4<4<2+1+2<,解得A5-<2<5.結合0<4<1得344

27、1.綜上，PB5點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等.本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓練：數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相

28、互關系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點為AI,0為橢圓中心，尸為橢圓的右焦點，且赤瓦=1,|of|=1.(I)求橢圓的標準方程；(II)記橢圓的上頂點為“，直線/交橢圓于尸,。兩點，問：是否存在直線/,使點/恰為APQ"的垂心若存在，求出直線/的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：(I)由九百方=1,|赤卜1(a+c)(a-c)=l,C=由f為"QM的重心得出關于m的方程解出m解J兩根之和,f兩根之積(I)如圖建系，設橢圓方程為一；今=1(。>>0),則c=l又7AFF

29、B=m+c)mc)=l=a-L故橢圓方才呈為+y2=1(II)假設存在直線/交橢圓于RQ兩點，且尸恰為APQM的垂心,設玖內，)。(，為)，.M(O,1),尸(1,0),故=1,于是設直線/為y=x+tn,由)：得，r+2y=23x2+4/nx+2m1-2=0-：MP.FQ=0=xx2-n+曠2(必一D又H=1,2)得X(x2-1)+(x2+7)(玉4-77?-1)=0即2內+(%+/)(，一1)+/-m=0由韋達定理得4,4解得7=-或7=1(舍)經檢臉7=符合條件.點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為兩向量乘積為零.例7、已知橢圓石的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且

30、經過(q4-2,0)、8(2,0)、C1,一三點.2)(I)求橢圓E的方程：(U)若點。為橢圓石上不同于A、B的任意一點，F(-l,0),H(l,0),當。尸內切圓的面積最大時，求。尸內心的坐標；思維流程：由橢圓經過A、B、W一設方程為/+)一一|得到的嬴(11)由/內切圓而枳最大一轉化為£)"/面積最大轉化為點D的縱坐標的絕對值最大最大。為橢圓短軸端點解黃傳出點空稱為|U,士一3A(2。DM面枳最大值為行x為itix2+/Iy2=1(in>Oji47H=1,2,29解得?=-5=-.二橢圓E的方程L+工=1m+-n=43434(U)IFH1=2,設八DFH邊上的高為

31、Sam=Lx2xh=h2當點。在橢圓的上頂點時，h最大為6,所以又加的最大值為G.設。尸的內切圓的半徑為R,因為。尸的局長為定值6.所以,SwFu=Rx6所以R的最大值為4.所以內切圓圓心的坐標為(0.正)點石成金：S、的內切明=x的周氏x4的內切例例8、已知定點C(-1,0)及橢圓Y+3y2=5,過點。的動直線與橢圓相交于A8兩點.(I)若線段A8中點的橫坐標是-；，求直線A8的方程；(H)在x軸上是否存在點"，使蘇而為常數若存在，求出點"的坐標；若不存在，請說明理由.思維流程：(I)解：依題意，直線A8的斜率存在，設直線A8的方程為產小+1),將y=A(%+l)代入Y+

32、3y2=5,消去y整理得(3k2+l)x2+6k2x+3k2-5=0.設AM;,y),B(x2,y2),=36k4,4(3/十)(3攵25)>0,(1)則，6k:卜盧/二一詔？(2)由線段A8中點的橫坐標是-；，得紜&=_音=_)解得k=土坐,符合題意。所以直線A8的方程為x-V3y+l=0,或x+3y+l=0.(II)解：假設在x軸上存在點M(w,O),使蘇砒為常數. 當直線A8與x軸不垂直時，由(I)知6k23k2+XlX2*2一5"3k2+1所以MA-MB=(N_"DC%_。+y(y2=(x1-m)(x2-7)+爐區(qū)+1)(+1)=(k2+l)xrv2+

33、(/_?)(+x2)+k2+nr.將代入，整理得而哈叫+/=嗎一匕,3k2+13k2+6/Z+14=+2"?).33(3公+1),i-7注意到是與攵無關的常數，從而有67+14=0,z=>此時-49 當直線A3與x軸垂直時，此時點A,8的坐標分別為一卷卜卜,當?=一2時，亦有肱=±綜上，在工軸上存在定點儀-(,0卜使蘇麗為常數.zx2<(2?一一)(3K+1)2"?點石成金：疝“=)£+'+/=一七旬-+例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M(2,1),平行于OM的直線/在y軸上的截距為m(mW0),

34、/交橢圓于A、B兩個不同點。(I)求橢圓的方程；（U）求m的取值范圍；（m）求證直線MA、MB與X軸始終圍成一個等腰三角形.思維流程：解：設橢圓方程為）a=2b+-1a2b2解得a2=8b2=2橢圓方程為+白（U）;直線/平行于（）M,且在y軸上的截距為m又K（）nk-二./的方程為：y=-x+m21y=x+mz2、x2+2mx+2m2-4=0廠+1182直線1與橢圓交于A、B兩個不同點，.=(27)24(2/-4)>0,解得-2<m<2,且7豐0（m）設直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可設4（王，X），8（占，乃），且$+x2=-2m，/與=2

35、,7/2-4則"產二應二M由X,+2ntx+2m2-4=0可得而占+42=區(qū)2)(4-2)-1,為T_（）'】一1）一（£-2）+（乃一1）（為一2）十故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點石成金:直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形=kl+k2=0例10、已知雙曲線二二=1的離心率0=2過A（a,0）,8（0,-b）的直ab3線到原點的距離是（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線），=入+5（%。0）交雙曲線于不同的點C,D且G。都在以8為圓心的圓上，求K的值.思維流程：解：（1）£=二巨，原點到直線月慶土2=1的距離3abababy/3c

36、l=.=.戶c2h=1,4=y/3.故所求雙曲線方程為二_/=3（2）把y=攵工+5代入X。3y2=3中消去了，整理得（1-32）/一30而一78=0.設C（再,必）,D（x2,力）,CD的中點是E（xo,y0）,則即-15A>h8+左=O,又O,k2=711-3攵2故所求K二士點石成金：C,。都在以8為圓心的圓上oBC=BD=BE_LCD；例11、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓。上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.（I）求橢圓C的標準方程；（D）若直線/:尸kx+m與橢圓C相交于4、B兩點、（/、3不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓。的右頂點.求證:直線/過定點，并求出該定點的坐標.思維流程:解：（I）由題意設橢圓的標準方程為臺