平面向量知識點(diǎn)總結(jié)精華資料全

1、必修4平面向量知識點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2),B(4,2),則把向量器按向量a(1,3)平移后得到的向量是.結(jié)果：(3，。)2 .零向量：長度為。的向量叫零向量，記作：。，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線uuu的單位向量是舞)；|ab|4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5 .平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做

2、平行向量，記作：a/b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！(因?yàn)橛小?；三點(diǎn)a、b、c共線AB戰(zhàn)共線.6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量記作a.舉例2如下列命題:(1)若由面,則abr.(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.(3)若AB粕，則ABCD是平行四邊形.(4)若ABCD是平行四邊形，則匿DC.(5)若ab,bC,則aC.(6)若a/b,b/C則a/C.其中正確的是.結(jié)

3、果：(4)(5)二、向量的表示方法1 .幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如器，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2 .符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a,b,c等；3 .坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量r，r為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為arX；y；(x,y),稱(x,y)為向量1的坐標(biāo)，a(x,y)叫做向量1的坐標(biāo)表下.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理設(shè)eg同一平面內(nèi)的一組基底向量，a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(i,2),使az2鼠(1)定理核心：a4世；(2)從左向右看，是對向量

4、a的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對向量a的合成.(3)向量的正交分解：當(dāng)n時，就說a啟卷為對向量士的正交分解.舉例3(1)若a(1,1),b0,1),c(1,2),則c結(jié)果:1b.(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.3(0,0),8(1,2)B.11(1,2),e(5,7)C.g(3,5),e(6,10)D.&(2,3)021,324(3)已知Ad,BE分別是AABC的邊BC,AC可用向量a,b表示為.結(jié)果：§.3(4)已知AABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且上的中線，且器a能b,貝UBur值是.結(jié)果:四、實(shí)數(shù)與向量的積0.4；b.3unrCDuuiruuruuru

5、ur2DB)CDrABsAC)燦sRJ實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作九下：它的長度和方向規(guī)定如(i)模：a11啟；(2)方向：當(dāng)o時，a的方向與a的方向相同，當(dāng)o時，a的方向與a的方向相反，當(dāng)0時，a0,r住息：a0.五、平面向量的數(shù)量積1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a,b,作戕a,潴b,則把AOB(0)稱為向量a,b的夾角.當(dāng)0時，a,b同向；當(dāng)時，a,b反向；當(dāng)；時，a,b垂直.2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a,b,它們的夾角為，我們把數(shù)量|J|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：al,rr即ab|a|b|cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量

6、積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量.舉例4(1)MBC中，滯|3,炭|4,|BC|5,則ABBC.結(jié)果：9.(2)已知a1,2,b0,2,cakb,；a；,c與；的夾角為則k.結(jié)果：1.(3)已知山2,而5,ab3,則an.結(jié)果：岳.(4)已知a,b是兩個非零向量，且向小由b|,則a與a。的夾角為.結(jié)果：30。.rr3.向量b在向量上的投影：|b|cos,它是一個實(shí)數(shù)，但不一定大于0.舉例5已知由3,|b|5,且ab12,則向量a在向量：上的投影為.結(jié)果：152.4 .ab的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的模向與b在a上的投影的積.5 .向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量a,b,其夾角為，則：(1)bab

7、0；rrr(2)當(dāng)a、b同向日寸，ab|a|b|,特力U地，aaa|a|a|;ab|b|是a、b同向的充要分條件；當(dāng)a、br反向時，ab|a|b|,ab|:|b|是a、b反向的充要分條件；當(dāng)為銳角時，ab0,且a、4不同向，ab0是為銳角的必要不充分條件；當(dāng)為鈍角時，ab0,且a、4不反向；ab0是為鈍角的必要不充分條件.rrr(3)非零向量a,b夾角的計算公式：cos沖；ab山也.|a|b|舉例6(1)已知a(,2),b(3,2),如果a與1r的夾角為銳角，則的取值范圍是.結(jié)果：4或0且；(2)已知AOFQ的面積為S,且器品1,若1S,則器，品夾角的取值范圍是.結(jié)果：*；43(3)已知(co

8、sx,sinx)b(cosy,siny)且滿足|kab1731akb|(其中k0).用k表示abr；求N的最小值，并求此時a與b的夾角的大小.結(jié)果：Nk_2(k0)；最小值為鼠60o.六、向量的運(yùn)算1 .幾何運(yùn)算(1)向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運(yùn)算形式：若ABa,BCb,則向量AC叫做a與b的和，即rruumuurimrabABBCAC；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2)向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若ABa,ACb,則abABACCA,即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例7(1)化簡：AB能對

9、；ABad鴕；(UlB品(AC品).結(jié)果：AS；Ci；0；(2)若正方形abcd的邊長為1,UUBa,BCb,ACc,則|abC|.結(jié)果：2乏；(3)若0是。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足蹲能潴鴕2OA，則MBC的形狀為.結(jié)果：直角三角形；(4)若D為"BC的邊BC的中點(diǎn)，"BC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足uuu戰(zhàn)器CP0,設(shè)霜，則的值為:結(jié)果：2;(5)若點(diǎn)o是ABC的外心，且0A能CO0,則ABC的內(nèi)角C為:結(jié)果：120。.r2 .坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a(x,yi),b區(qū).)，則(1)向量的加減法運(yùn)算：ab(xiX2,yiy2),0rb(xiX2,yiy2).舉例8(1)已知點(diǎn)A(2,3)

10、,B(5,4),C(7,10),若器器Ac(R),則當(dāng)時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上.結(jié)果：3(2)已知A(2,3),B(1,4),且.(sinx,cosy),x,y(，),貝Uxy.結(jié)果：否或萬；(3)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力£(3,4),Fr2(2,5),F3(3,1),則合力ffFrF：的終點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)果：(9,D.(2)實(shí)數(shù)與向量的積：0(xj)(x,y).(3)若A-B3yz),則AB%),即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)舉例9設(shè)A(2,3)B(1,5)且AC【ABAD31AB則C,D的坐標(biāo)分別是3.結(jié)果：(1,131),(7,9

11、).r(4)平面向重數(shù)重積：abx1x2ym.舉例10已知向量0(sinx,cosx)b(sinx,sinx)C(1,0).(1)若x1求向量。、C的夾角；3(2)若x3r4,函數(shù)f3ab的最大值為，求的值.結(jié)果：(1)150。；(2)1或壺1.(5)向量的模：a2|a|2x2y2|a|&F.舉例11已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么ia3bi=.結(jié)果：病.(6)兩點(diǎn)間的距離：若AJ,%),B(x2,y2),則|AB|gx)2(y2yj2.舉例12如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，xOy60。，號向上任一i點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若器4捻，其中疑分別為與x軸、y

12、軸同方向的單位向量，則p點(diǎn)斜坐標(biāo)為(內(nèi)).(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,2),求p到o的距離1Poi；(2)求以o為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xoy中的方程.結(jié)果：(1)2；(2)x2y2xy10.七、向量的運(yùn)算律3 .交換律：abba,(a)()si,<abb<a;4 .結(jié)合律：abc(ab)C,&bCar(bC),(a)b(3b)<a(b)；5 .分配律：()aaa,mb)ab,(ab)CacLc.舉例13給出下列命題：a/C)abac；a(bC)gb)c；rorb-或r2brorbrar.Mu2貝ra2>r若""則ac；命a2；器？；其

13、中正確的是.結(jié)果：.說明：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(bC)(ab)c,為什么？八、向量平行(共線)的充要條件rrrrrr2rr2a/bab(ab)(|a|b|)x1y2y1x20.舉例14(1)若向量a(x,1),b(4,x),當(dāng)x時，與b共線且方向相同.結(jié)果：2.(2)已知aa)，b(4,x),ua2：,r2ab,且u/r,則x.結(jié)果：4.(3)設(shè)PA(k,12),

14、PB(4,5),PC(10,k),則k曰寸，A,B,C共線.結(jié)果：2或11.九、向量垂直的充要條件rrrrrrrabab0|ab|ab|xx?yy20.ujinuuiruuuuuirABACABAC付力1地-uu-uuiruuuuuir.|AB|AC|AB|AC|舉例15(1)已知OA(1,2),OB(3,m),若戕器，則m.結(jié)果：m:；(2)以原點(diǎn)。和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,B90,則點(diǎn)b的坐標(biāo)是.結(jié)果：(1,3)或(3,1);(3)已知n(a,b)向量4m,且而由，則m的坐標(biāo)是.結(jié)果：(b,a)或(b,a).十、線段的定比分點(diǎn)1 .定義：設(shè)點(diǎn)P是直線PR上異于P、F2

15、的任意一點(diǎn)，若存在一個實(shí)數(shù)，使ppr靛，則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)p分有向線段器；所成的比，p點(diǎn)叫做有向線段FUFU的以定比為的定比分點(diǎn).2 .的符號與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系(Dp內(nèi)分線段puFr,即點(diǎn)p在線段PR上o；(2) p外分線段P片時，點(diǎn)p在線段PP2的延長線上1,點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上1o.注：若點(diǎn)P分有向線段PP：所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段P2a所成的比為L舉例16若點(diǎn)p分AB所成的比為3則a分BP所成的比為.結(jié)果：7.33 .線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)Pa,%),PzGm),點(diǎn)P(x,y)分有向線段片由所成的比為，則定比分X點(diǎn)坐標(biāo)公式為X1X2,1(V1V2.11).特別地，當(dāng)1

16、時，就得到線段PP2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式X1X22ViV22y說明：(1)在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確(X,y),(3)、(”2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.舉例17(1)若M(3,2),N(6,1),且晶1湍，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.3結(jié)果：(6,73)；(2)已知A(a,0),B(3,2a),直線y；ax與線段AB交于M,且1AMr2MB，則a.結(jié)果：2或4.十一i、平移公式如果點(diǎn)P(x,y)按向量a(h,k)平移至P(x,y),則xxh,;曲線f(x,y)0按yyk.向量(h,k)平移得曲線f(

17、xh,yk)0.說明：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！舉例18(1)按向量a把(2,3)平移到(1,2),則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn).結(jié)果：(8,3)；(2)函數(shù)ysin2x的圖象按向量3平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos2x1,貝Ja.名吉果:：(-,1).十二、向量中一些常用的結(jié)論1 .一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；2 .模的性質(zhì):自|b|ab|向|b|.(1)右邊等號成立條件：a、g同向或a、b中有01a。臼自；(2)左邊等號成立條件：a、k反向或a、b中有0|aId|<a|b|；(3)當(dāng)a、b不共線a|bab11abi.3.三角形重心公式在AABC中,若A(x1,y),B(x2,y2),雎羋)，則其重心的坐標(biāo)為G(Xix22Viy2y3舉例19若"BC的三邊的中點(diǎn)分別為A(2,1)、B(3,4)、C(1,1),則ZABC的重心的坐標(biāo)為.結(jié)果：|4.335.三角形“三心”的向量表示/、uL01aliuunujuiurninnunrr(1)PG(PAPBPC)G為ABC的重心，特別地PAPBPC0G3為乙ABC的重心.uuiuuruuriunu(2)PAPBPBPCnurPCuuiPAP為ABC的垂心./u、uuuirUULTuujurLUTUUL