基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究

1、學(xué)號(hào)：05008基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)研究清華大學(xué) 高 皓 指導(dǎo)教師：束為（北京市商務(wù)局副局長）摘要：期權(quán)是人們?yōu)榱艘?guī)避市場風(fēng)險(xiǎn)而創(chuàng)造出來的一種金融衍生工具。期權(quán)定價(jià)是金融衍生工具理論研究和實(shí)際應(yīng)用的核心問題。本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機(jī)過程的知識(shí)，系統(tǒng)研究了基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)問題。文章推導(dǎo)出了標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過程，進(jìn)而應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性法詳細(xì)解析了Black-Scholes模型。關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)，伊藤過程，Black-Scholes模型，風(fēng)險(xiǎn)中性。1 金融衍生品概論1.1 金融衍生品及其市場期權(quán)是最基本的金融衍生品之一。金融衍生工具（de

2、rivative instruments）又稱金融衍生品（derivatives）或金融證券（derivative securities），是一種金融工具，其價(jià)格或投資回報(bào)最終取決于另一種資產(chǎn)，即所謂的標(biāo)的資產(chǎn)（underlying asset）的價(jià)格。這就是說金融衍生品的價(jià)值是由其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值衍生（derived）而得到的。其中，用來作為標(biāo)的資產(chǎn)的可以是債券、股票、貨幣等基礎(chǔ)金融工具，也可以是其它實(shí)物資產(chǎn)，或者是金融衍生品本身。從金融工程學(xué)角度看，遠(yuǎn)期合同、期貨合同和期權(quán)合同是三種最基本的衍生品。市場上還存在的的其它衍生品，如掉期（swaps）、按揭抵押債券（mortgage-backed

3、securities）、結(jié)構(gòu)化債券（structured securities）等都可以看作上述三種基本衍生工具及債券、股票的基礎(chǔ)金融工具不同組合的產(chǎn)物。金融衍生品市場是一個(gè)非常巨大的市場，表1和表2分別列出了5年前交易所內(nèi)外交易的金融衍生產(chǎn)品市值。目前全球每年的交易額超過100萬億美元，而全世界所有國家的當(dāng)年GDP總和也不過30萬億美元。這個(gè)市場發(fā)展極其迅猛，也對(duì)全世界的經(jīng)濟(jì)走勢產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。從原理上來講，金融衍生品市場首先是規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的工具，通過交易使得風(fēng)險(xiǎn)從風(fēng)險(xiǎn)厭惡者手中轉(zhuǎn)移到風(fēng)險(xiǎn)喜好者手中。但在實(shí)踐中取得的效果往往適得其反，越是設(shè)計(jì)的復(fù)雜的產(chǎn)品，其破壞力往往就越大。1994年墨西

4、哥金融危機(jī)，1997年亞洲金融風(fēng)暴都與金融衍生品市場息息相關(guān)。金融衍生品市場非常精妙復(fù)雜，充滿了不確定性，每天都在發(fā)生著驚心動(dòng)魄的財(cái)富故事，是對(duì)人類智力的挑戰(zhàn)。目前在中國還未允許期權(quán)交易和金融期貨交易，但是，中國的金融安全、中國的發(fā)展，需要一大批金融衍生品方面的頂尖專家。前一段時(shí)間發(fā)生的“國儲(chǔ)銅”事件，讓我們感到學(xué)習(xí)掌握金融衍生品交易的尖端技術(shù)迫在眉睫。表1 交易所交易的金融衍生產(chǎn)品市值（單位:10億美元）期末名義余額名義交易額時(shí)間1997年12月1998年12月1999年6月1997年1998年1999年總計(jì)12,202.213,549.215,097.8356,752.8387,699.2

5、92,818.0數(shù)據(jù)來源：國際清算銀行1999年發(fā)布的國際銀行業(yè)與金融市場發(fā)展季度報(bào)告表2 場外市場交易的金融衍生產(chǎn)品期末未結(jié)清余額（單位:10億美元）工具1998年6月1998年12月名義本金額市場總價(jià)值名義本金額市場總價(jià)值總計(jì)72,1432,58080,3003,230數(shù)據(jù)來源：國際清算銀行1999年關(guān)于衍生品OTC市場的統(tǒng)計(jì)報(bào)告1.2 期權(quán)的基本概念期權(quán) (option)：是一種選擇權(quán)，持有者有在約定時(shí)間以約定價(jià)格向其權(quán)提供者購買或售出某種資產(chǎn)的權(quán)利，但不負(fù)有必須買進(jìn)或賣出的義務(wù)。做多方（long position）：買方。做空方（short position）：賣方。標(biāo)的資產(chǎn)（unde

6、rlying asset）：期權(quán)合同做多方行使權(quán)力時(shí)買入或賣出的資產(chǎn)?？晒┻x擇的表弟資產(chǎn)有股票、債券、貨幣、利率等金融資產(chǎn)，也可以是黃金和其他一些商品。敲定價(jià)格（strike price）：期權(quán)合同所規(guī)定的標(biāo)的資產(chǎn)的買入或賣出價(jià)格。敲定價(jià)格在簽訂期權(quán)合同時(shí)就已經(jīng)固定，不再隨標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格變化而變化。看漲期權(quán)(call option)：是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價(jià)格買進(jìn)某一特定數(shù)量的相關(guān)商品期貨合約的權(quán)利，但不同時(shí)負(fù)有必須買進(jìn)的義務(wù)?？吹跈?quán)(put option)：是指期權(quán)的買方享有在規(guī)定的有效期限內(nèi)按某一具體的敲定價(jià)格賣出某一特定數(shù)量的相關(guān)商品期貨合約的權(quán)利，但

7、不同時(shí)負(fù)有必須賣出的義務(wù)。到期日（expiration date）：期權(quán)合同所規(guī)定的有效期限或合同做多方行使權(quán)力的時(shí)間。根據(jù)做多方在期權(quán)有效期內(nèi)行使權(quán)力自由度的不同，期權(quán)有可以分為美式期權(quán)（American-style option），即做多方可以在到期日前任何一天行使權(quán)力；歐式期權(quán)（European-style option），即做多方只能在到期日行使權(quán)力，本文中僅研究歐式期權(quán)?？尚惺袌觯貉芯拷鹑谑袌鲇幸粋€(gè)基本的假定，就是無套利原則，也稱套利原則，這個(gè)原則就是假定正常運(yùn)行的市場沒有套利機(jī)會(huì)（套利的粗略含義是，在開始時(shí)無資本，經(jīng)過資本的市場運(yùn)作后，變成有非負(fù)的（隨機(jī)）資金，而且有正資金的概率為

8、正）。因?yàn)樵诔霈F(xiàn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，大量的投機(jī)者就會(huì)涌向市場進(jìn)行套利，于是經(jīng)過一個(gè)相對(duì)短的時(shí)期的“混亂”后，市場就會(huì)重返“正常”，即回復(fù)到無套利狀態(tài)。在金融衍生證券的定價(jià)理論中，并不討論這段短混亂時(shí)期，因此，在研究中普遍地設(shè)置無套利假定，這樣的市場也稱為可行市場。套期：粗略地說，以持有某些有價(jià)證券組合來抵消某種金融衍生證券所帶來的風(fēng)險(xiǎn)，稱為套期，這種套期事實(shí)上是完全套期。如果只抵消了部分風(fēng)險(xiǎn)，則稱為部分套期。1.3 期權(quán)交易過程以某種證券為標(biāo)的變量的歐式看漲期權(quán)，是指在t0時(shí)甲方（一般為證券公司）與乙方的一個(gè)合約，按此合約規(guī)定乙方有一個(gè)權(quán)利，能在時(shí)刻T以價(jià)格X（敲定價(jià)格）從甲方買進(jìn)一批這種證券，如果時(shí)

9、間T時(shí)的市場價(jià)格低于X，乙方可以不買，而只要時(shí)間T時(shí)的市場價(jià)格高于X，乙方就得利。綜合起來，乙方在時(shí)刻T凈得隨機(jī)收益為。因?yàn)橐曳街荒茉谧罱K時(shí)刻T做出選擇，所以這種期權(quán)是歐式期權(quán)。此外，乙方希望盡量大，以便有更多的獲利。也就是有選擇權(quán)的乙方盼望股票上漲，這就是看漲期權(quán)，或者買權(quán)。由于這個(gè)合約能給乙方帶來的隨機(jī)收益，就需要乙方在t0時(shí)刻用錢從甲方購買。這個(gè)合約在t0時(shí)刻的價(jià)格，稱為它的貼水或保證金(premium)。問題關(guān)鍵是如何確定這個(gè)合約在時(shí)刻的價(jià)格。這正是本文研究的問題。 1.4 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的簡述價(jià)格從來都是市場經(jīng)濟(jì)的核心內(nèi)容，價(jià)格是使市場上的交易雙方達(dá)成交易的最

10、重要的因素，價(jià)格反映了市場上的供求關(guān)系。資產(chǎn)定價(jià)（asset valuation）是現(xiàn)代財(cái)務(wù)學(xué)的一個(gè)基本問題。1973年，芝加哥大學(xué)教授Black和MIT 教授Scholes在美國“政治經(jīng)濟(jì)學(xué)報(bào)”（Journal of Political Economy）上發(fā)表了一篇題為“期權(quán)定價(jià)和公司負(fù)債”（The pricing of Options and Corporate Liabilities）的論文；同年，哈佛大學(xué)教授Merton在“貝爾經(jīng)濟(jì)管理科學(xué)學(xué)報(bào)”上發(fā)表了另一篇論文“期權(quán)的理性定價(jià)理論”（Theory of rational option pricing），奠定了期權(quán)定價(jià)的理論性基礎(chǔ)，為

11、財(cái)務(wù)金融學(xué)開創(chuàng)了一個(gè)嶄新的領(lǐng)域，也拉開了100萬億美元龐大市場的序幕。Scholes和Merton由于在期權(quán)定價(jià)方面的開拓性貢獻(xiàn)，被授予1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)（Black教授1995年逝世未能享此殊譽(yù)，但英名也永載史冊(cè)）?，F(xiàn)在，期權(quán)理論與應(yīng)用研究已經(jīng)成為財(cái)務(wù)金融學(xué)領(lǐng)域最為活躍的分支，本文的研究就是以著名的Black-Scholes 模型展開的。1.4.1概念與基本假定 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型將股票期權(quán)價(jià)格的主要因素分為五個(gè)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率r、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率和距離到期時(shí)間。除此之外，對(duì)于股票期權(quán)來說，影響其價(jià)值的參數(shù)還包括股利支付D。在具體分析上述參

12、數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響之前，我們先討論一下期權(quán)價(jià)值的構(gòu)成問題。期權(quán)的價(jià)值等于內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值之和。其中，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值(intrinsic value)是指期權(quán)盈價(jià)的金額，即期權(quán)的做多方從執(zhí)行期權(quán)合同中得到的現(xiàn)金收入額。買權(quán)的內(nèi)在價(jià)值表明，由于期權(quán)損益結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱性，其內(nèi)在價(jià)值不會(huì)為負(fù)，至少等于0。內(nèi)在價(jià)值時(shí)間價(jià)值期權(quán)價(jià)值0圖1 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格（） 對(duì)于一個(gè)歐式買權(quán)、且現(xiàn)在時(shí)刻t離到期日T尚有一段時(shí)間T-t，則不能簡單地用現(xiàn)行市場價(jià)格，減去執(zhí)行價(jià)格X作為其內(nèi)在價(jià)值，因?yàn)樗鼈兪前l(fā)生在兩個(gè)不同時(shí)刻的價(jià)值量，考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值，簡單的算術(shù)加減是沒有意義的，而應(yīng)當(dāng)將未來T時(shí)刻的價(jià)值量X按無風(fēng)險(xiǎn)利率

13、r貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻。因此，歐式買權(quán)內(nèi)在價(jià)值的計(jì)算公式應(yīng)當(dāng)調(diào)整為1.4.2 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的基本思路 期權(quán)定價(jià)的主要研究工具是隨機(jī)過程的分支隨機(jī)微分方程和鞅。隨機(jī)微積分起源于馬爾可夫過程結(jié)構(gòu)的研究。日本數(shù)學(xué)家伊藤清在探討馬爾可夫過程的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，認(rèn)為布朗運(yùn)動(dòng)(又稱維納過程)是最基本的擴(kuò)散過程，能夠用它來構(gòu)造出一般的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。Black-Scholes考察一類特殊的擴(kuò)散過程 ：，這里表示股票價(jià)格，股票預(yù)期收益率及波動(dòng)率均為常數(shù)，t代表時(shí)間，為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。在無交易成本、不分股利的假設(shè)下，得出歐式看漲期權(quán)價(jià)格應(yīng)滿足如下微分方程 (r為無風(fēng)險(xiǎn)利率 ) ： Black在1989年曾在一

14、篇文章中介紹了得到Black-Scholes模型的全部經(jīng)過。他指出，期權(quán)定價(jià)的核心在于設(shè)計(jì)一個(gè)套期組合策略，使得期權(quán)市場投資風(fēng)險(xiǎn)為零，這是對(duì)期權(quán)定價(jià)建模思路的高度概括。我們下面將詳細(xì)討論。利用偏微分方程的理論求出的方程解析解 ，即著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。下面列出了歐式買權(quán)解的表達(dá)式。其中，2標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的概率分布模型從概率論的角度講，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，了解和掌握這個(gè)隨機(jī)過程的基本特征，是期權(quán)定價(jià)理論首先要回答的基本問題。例如，股票價(jià)格變動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)或?qū)?shù)正態(tài)分布，是Black和Scholes在推導(dǎo)B-S期權(quán)定價(jià)模型時(shí)用到的最基本的假設(shè)。本節(jié)

15、介紹與之相關(guān)的基本概念，布朗運(yùn)動(dòng)、幾何布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤過程和伊藤定理等。在此基礎(chǔ)上，以股票為例，討論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的概率模型。2.1 布朗運(yùn)動(dòng)及一般化維納過程股票價(jià)格的變化行為常用著名的布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫。布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾柯夫過程的一種特殊形式。布朗運(yùn)動(dòng)最早起源于物理學(xué)，物理學(xué)中把某個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)是受到大量小分子碰撞的結(jié)果成為布朗運(yùn)動(dòng)。股票價(jià)格的變化也是受著很多種因素的影響，所以形象的說，股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的軌跡類似于布朗運(yùn)動(dòng)。關(guān)于這一點(diǎn)假設(shè)，文章中還會(huì)有比較詳細(xì)的說明。定義 布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程）隨機(jī)過程稱為布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程），如果它滿足：（1）過程具有獨(dú)立增量；（2）正態(tài)增量，即；（3）是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。從下

16、圖中布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡看，確實(shí)沒有什么規(guī)律可言。 圖2 布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡定義 一般維納過程設(shè)為布朗運(yùn)動(dòng)，則稱 為一般化的維納過程（布朗運(yùn)動(dòng)）。稱為瞬時(shí)期望漂移率（instantaneous expected draft rate ），為瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差，它們都是給定的參數(shù)，是連續(xù)的維納過程。一般化維納過程是最常用來刻畫基礎(chǔ)金融變量，特別是描述股票價(jià)格的變化的一種隨機(jī)過程形式。影響股票價(jià)格變化的因素主要有以下兩點(diǎn)：股票價(jià)格隨時(shí)間上漲的趨勢和股票價(jià)格的平均波動(dòng)率。前者對(duì)股票價(jià)格增長的貢獻(xiàn)取決于時(shí)間的長短；后者至取決于布朗運(yùn)動(dòng)造成的隨機(jī)波動(dòng)。所以，股票價(jià)格的變化可以看成是兩個(gè)方向上的力共同決定的。具體地說，如果

17、我們不計(jì)算 在內(nèi)，則 ，即，這說明股票價(jià)格具有線性增長的性質(zhì)。如果我們考慮，這種波動(dòng)分為兩個(gè)部分，（1），即所謂白噪聲（white noise），（2）它被放大了倍，則有，這說明股票價(jià)格S 在線性增長的同時(shí)，還有隨機(jī)波動(dòng)的傾向，兩部分的疊加就獲得了如圖的一般維納過程。 圖3 一般維納過程最上邊那條隨機(jī)波動(dòng)的藍(lán)色曲線代表股票價(jià)格，斜向上的紅色直線代表不計(jì)隨機(jī)波動(dòng)影響的股票價(jià)格，下面那條隨機(jī)波動(dòng)的綠色曲線代表沒有線性增長趨勢的股票價(jià)格的變動(dòng)。真實(shí)的股票價(jià)格是由線性增長和隨機(jī)波動(dòng)兩種因素共同影響而成。2.2 幾何布朗運(yùn)動(dòng)早在1900年巴舍利耶（Bachelier）就曾經(jīng)假定股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從維納過程，

18、但這引起了一個(gè)矛盾，即股票價(jià)格也有可能為負(fù)數(shù)，這與現(xiàn)代公司有限負(fù)債前提相矛盾。而直接假設(shè)股票價(jià)格遵循一般維納過程也忽略了一個(gè)事實(shí)，即投資者往往要求股票的期望收益率是一個(gè)常數(shù)，而不管股票價(jià)格的絕對(duì)水平是多少。因此，現(xiàn)在通用的描述股價(jià)的適當(dāng)形式應(yīng)為：或?qū)懗?定義 幾何布朗運(yùn)動(dòng)如果隨機(jī)過程是布朗運(yùn)動(dòng)，則稱隨機(jī)過程為幾何布朗運(yùn)動(dòng)（geometric Brown motion），如果 。下面將證明，股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于一般的金融資產(chǎn)，瞬時(shí)預(yù)期回報(bào)率和回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差可能不是常數(shù)，而是金融資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的某個(gè)函數(shù)，即和，因此該金融資產(chǎn)價(jià)格變化規(guī)律由下式表示顯然此式是更一般形式。由下可知，這時(shí)的是一個(gè)

19、伊藤過程。23 伊藤過程和伊藤公式定義 伊藤過程如果過程可以表示為 ，其中是二元連續(xù)函數(shù)，為布朗運(yùn)動(dòng)，則稱為伊藤隨機(jī)過程（簡稱伊藤過程）。伊藤定理 設(shè)是由給出的伊藤過程， 是二次可微連續(xù)函數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則 滿足如下的伊藤微分方程 2.4 股票價(jià)格變化的概率分布有了伊藤定理這個(gè)有力工具，我們就可以分析股票價(jià)格的概率分布性質(zhì)了。若記，則對(duì)于有 這樣，由伊藤定理，有亦即，對(duì)上式兩邊在上積分即可得到是布朗運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，所以，而。布朗運(yùn)動(dòng)的每一連續(xù)瞬間都是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，所以有因此， 或 這是一個(gè)非常重要的結(jié)論，它給出了在給定當(dāng)前股價(jià)的條件下，未來t時(shí)刻股票價(jià)格服從的概率分布，即它是一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)

20、隨機(jī)變量。由于這個(gè)結(jié)果是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，說明這是一個(gè)問題的兩個(gè)不同表示形式。因此，在研究股票價(jià)格變動(dòng)規(guī)律時(shí)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布往往成為一個(gè)同義語，盡管在數(shù)學(xué)上它們本來是兩個(gè)不同的概念。在下文中，我們不再加以區(qū)分。期望值概率密度圖4 股票價(jià)格的概率密度分布：對(duì)數(shù)正態(tài)分布3Black-Scholes 模型建立及求解3.1 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型概述3.1.1基本假設(shè)Black和Scholes在推導(dǎo)Black-Scholes模型時(shí)做了以下7條基本假設(shè)：（1） 無風(fēng)險(xiǎn)利率r已知，且為常數(shù)，不隨時(shí)間變化；（2） 有兩種長期存在的證券，一種是股票（標(biāo)的資產(chǎn)），其價(jià)格

21、的變化為一幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即或者說，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，另一種是無風(fēng)險(xiǎn)證券，它的價(jià)格過程為。（3） 在衍生證券的有效期內(nèi)，標(biāo)的股票沒有紅利支付；（4） 期權(quán)為歐式期權(quán)；（5） 對(duì)于股票市場、期權(quán)市場和資金借貸市場來說，不存在交易費(fèi)用，且沒有印花稅；（6） 投資者可以自由借入和貸出資金，借入利率和貸出利率相等，均為無風(fēng)險(xiǎn)利率。而且所有證券都是高度可分的，即投資者可以購買任意數(shù)量的標(biāo)的股票；（7） 對(duì)賣空沒有任何限制（如不設(shè)保證金），允許使用全部所得賣空衍生證券。3.1.2符號(hào)在上述假設(shè)下，記：標(biāo)的資產(chǎn)（股票）的市場價(jià)格；X：買權(quán)合同的執(zhí)行價(jià)格；r：按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無風(fēng)險(xiǎn)利率；：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率；T

22、：到期日；t：當(dāng)前定價(jià)日；：距離到期時(shí)間。3.1.3 結(jié)論（1） 在定價(jià)日，歐式買權(quán)的價(jià)值為其中，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)，即（2） 由買權(quán)-賣權(quán)平價(jià)公式：，又由，歐式賣權(quán)在定價(jià)日的價(jià)值3.2 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)建模推導(dǎo)方法我們按照Black和Scholes在1973年那篇奠定諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的經(jīng)典論文的思路來推導(dǎo)Black-Scholes 微分方程。假設(shè)是期權(quán)（或者其他衍生證券）的當(dāng)前價(jià)格，顯然，一定是標(biāo)的股票當(dāng)前市場價(jià)格和當(dāng)前定價(jià)日t的某種函數(shù)。注意到Black-Scholes模型的基本假設(shè)，股票價(jià)格遵循隨機(jī)過程：因此，由伊藤定理，期權(quán)價(jià)值是標(biāo)的股票價(jià)格的函數(shù)，應(yīng)有：Bl

23、ack-Scholes期權(quán)定價(jià)模型采用的是典型的動(dòng)態(tài)無套利均衡分析的技術(shù)。基本思路是套期保值，即交易者為減少風(fēng)險(xiǎn)而采取的投資組合(portfolio)的策略。在上述假設(shè)下，采用一種動(dòng)態(tài)交易策略，復(fù)制歐式買權(quán)到期末的現(xiàn)金流。這一復(fù)制技術(shù)是在期初時(shí)購買一個(gè)有標(biāo)的股票和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成的證券組合，然后不斷地動(dòng)態(tài)調(diào)整其頭寸使之保持住無套利均衡關(guān)系，一直到到期日。這樣，現(xiàn)在時(shí)刻歐式期權(quán)的價(jià)值就一定等于復(fù)制組合在時(shí)刻的價(jià)值。這一動(dòng)態(tài)過程有以下三個(gè)特點(diǎn)：（1） 與復(fù)制一份歐式買權(quán)相對(duì)應(yīng)，股票的頭寸始終小于1股。（2） 所對(duì)應(yīng)的股票頭寸大小成為套頭比或期權(quán)的delta()，定義為（3） 套頭比不停地發(fā)生變化

24、，所以為了復(fù)制1份期權(quán)，需要隨時(shí)調(diào)整復(fù)制組合中股票的頭寸，但這種調(diào)整是無成本的（自融資的）。具體地說，這一動(dòng)態(tài)復(fù)制過程就是用期權(quán)、標(biāo)的股票和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券來構(gòu)筑一個(gè)無套利均衡的組合頭寸。用份標(biāo)的股票（股票價(jià)格為）的多頭和無風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭來復(fù)制一份期權(quán)（價(jià)格為）。亦即構(gòu)造如下的套期組合：在當(dāng)前t時(shí)刻，以買入標(biāo)的股票股，同時(shí)以賣空1份期權(quán)。無風(fēng)險(xiǎn)證券的空頭價(jià)值記為。為使復(fù)制在全過程中成立，必須始終保證以下關(guān)系：移項(xiàng)整理有，經(jīng)過一段微小時(shí)間，兩邊的價(jià)值變?yōu)槎撂龠^程刻畫了，伊藤定理刻畫了，于是，將前面的關(guān)系帶入上式，即可得到這是一個(gè)有趣的結(jié)果，在上面的表達(dá)式右邊，隨機(jī)項(xiàng)不再出現(xiàn)。這意味著1份期權(quán)的空

25、頭和份股票的多頭能實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的完全對(duì)沖，而的大小是動(dòng)態(tài)地調(diào)整的。所以右邊這二者的組合和與之等價(jià)的無風(fēng)險(xiǎn)證券是完全等價(jià)的。（對(duì)于期權(quán)和股票的證券組合來說，其瞬時(shí)收益率一定同其他短期無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率相同。如果該證券組合的收益率大些，套利者就會(huì)賣出無風(fēng)險(xiǎn)證券然后購入證券組合獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益；如果該證券組合的收益率小些，套利者就會(huì)通過賣出該證券組合購買無風(fēng)險(xiǎn)證券來獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。）即兩者組合的收益率應(yīng)當(dāng)?shù)扔跓o風(fēng)險(xiǎn)收益率r，因此即有令并在上述關(guān)系式中展開和就得到著名的Black-Scholes 隨機(jī)微分方程：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，其邊界條件為：對(duì)于歐式看跌期權(quán)，其邊界條件為： 3.3 Black-Schole

26、s模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法方法利用了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，解法中具有比較深刻的金融學(xué)含義，被現(xiàn)在的金融學(xué)研究者廣泛采用。3.3.1風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)首先簡要介紹在金融學(xué)中極為重要的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)?，F(xiàn)實(shí)世界中的人往往分為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型、風(fēng)險(xiǎn)中性型、風(fēng)險(xiǎn)喜好型。18世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家Daniel Bernoulli在研究賭博問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，人們往往對(duì)賭博可能輸?shù)舻腻X看得比可能贏到的錢重。例如，在一個(gè)擲硬幣的賭博中，假設(shè)硬幣完全對(duì)稱，正面朝上可以贏得2000元，反面朝上1分錢也收不回，要下多少錢的賭注人們才會(huì)來參加？所謂公平的賭博，就是指賭博結(jié)果的預(yù)期只應(yīng)當(dāng)與入局前所持有的資金量相等，我們學(xué)過的鞅就描述了公平賭博

27、。因此，花費(fèi)元入局是一場公平的賭局。但是，對(duì)于許多人來說，不愿意花1000元參加這場公平的賭局，他們可能只愿意花300元來入局，實(shí)際上，他們是要以700元的預(yù)期收益作為承受風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。這些人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，在沒有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的人拒絕公平的賭博。定義 風(fēng)險(xiǎn)中性（risk-neutrality） 如果有人愿意無條件地參加公平的賭博，則這樣的人被認(rèn)為是風(fēng)險(xiǎn)中性的。風(fēng)險(xiǎn)中性者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)采取無所謂的態(tài)度：他們對(duì)所有資產(chǎn)所要求的預(yù)期收益率都是一樣的，而不管其風(fēng)險(xiǎn)如何，并不要求風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。因此，對(duì)所有資產(chǎn)所要求的預(yù)期收益率也就同無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相同。這就是說，風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者投資于任何資產(chǎn)所要求的收

28、益率就是無風(fēng)險(xiǎn)收益率。在一個(gè)假想的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有的市場參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風(fēng)險(xiǎn)大小或是否有風(fēng)險(xiǎn)，預(yù)期收益率都相同，都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。而且，所有資產(chǎn)現(xiàn)在的市場均衡價(jià)格都應(yīng)當(dāng)?shù)扔谄湮磥硎找娴念A(yù)期值，加上考慮到資金的時(shí)間價(jià)值，就都是未來預(yù)期值用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)是和無套利均衡分析緊密聯(lián)系在一起的。當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，所有的市場參與者就都會(huì)進(jìn)行套利活動(dòng)，而不管其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度如何。由此出發(fā)，可以得到這樣一個(gè)推理結(jié)果：無套利均衡分析的過程和結(jié)果與市場參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)如果對(duì)一個(gè)問題的分析過程與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，則可以將問題放到

29、一個(gè)假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里進(jìn)行分析，所得的結(jié)果在真實(shí)的世界里也應(yīng)當(dāng)成立。利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)可以大大簡化問題的分析，因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，對(duì)所有的資產(chǎn)都要求相同的收益率，而且，所有資產(chǎn)的均衡定價(jià)都可以按照風(fēng)險(xiǎn)中性概率算出未來收益的預(yù)期值，再以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)得到。最后，將所得的結(jié)果放回真實(shí)的世界，就獲得有意義的結(jié)果。3.3.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)解法下面應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)來分析Black-Scholes 微分方程。在Black-Scholes 微分方程中，通過動(dòng)態(tài)對(duì)沖的方法，使風(fēng)險(xiǎn)由于完全的對(duì)沖而消除掉，方程中不再含有隨機(jī)項(xiàng)，除此之外，也不再含有，這一點(diǎn)同樣是意味深長的，股票的預(yù)期收益率中含有風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，因

30、而會(huì)與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)。不含（是連續(xù)計(jì)算收益率的股票在單位時(shí)間內(nèi)收益的自然對(duì)數(shù)的期望值，即預(yù)期單位時(shí)間連續(xù)計(jì)息的復(fù)利收益率），說明問題與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。這樣，風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)就可以應(yīng)用了。由定義，買權(quán)在到期日的價(jià)格滿足，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則，只要先求出的期望值，然后再將這一發(fā)生在未來時(shí)刻的期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻t，就可以得到該買權(quán)在定價(jià)日t的價(jià)值所以，確定的關(guān)鍵問題在于如何計(jì)算。設(shè)P為的概率，即。則由隨機(jī)變量期望值的定義因此，最終歸結(jié)為計(jì)算概率P和。下面分別來計(jì)算這兩個(gè)量。（1） 求解由，有和，即因此，。另一方面，我們把求解Black-Scholes 微分方程的期權(quán)定價(jià)問題先放

31、到一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性”的假設(shè)世界中去。在這個(gè)假想的世界里，所有市場參與者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，他們對(duì)于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益，都是不需要風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償。在這個(gè)假想的世界里，所有資產(chǎn)的預(yù)期收益率都相等，即都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率r，即。因此，由模型假設(shè)知，服從正態(tài)分布，其期望值和方差分別為其中，換元，令則可以化作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形式，有因此，若記則上式為這樣，我們求出了第一個(gè)值，即（2） 求解由于，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因此其密度函數(shù)其中，于是，作變量替換則有計(jì)算積分限，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，至此，和均已求出，則該期權(quán)價(jià)值即為所求，解畢。3.3.3 關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)中性解法的進(jìn)一步思考寫出Black-Scholes 隨機(jī)微分方程：可以看出

32、，Black-Scholes 微分方程中包含的參數(shù)有以及時(shí)間變量，但是，反映投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的瞬時(shí)期望收益率卻在推導(dǎo)的過程中被消掉了。這一點(diǎn)再次說明了風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的合理性。一般來說，對(duì)于任何給定的金融資產(chǎn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的程度越高，其期望得到的收益就越大。如果該項(xiàng)資產(chǎn)不能提供足夠高的期望收益率的話，投資者要么望而卻步，要么不將其出售。這樣，資產(chǎn)的價(jià)格又會(huì)有所下降，反過來又將提高收益率。資產(chǎn)價(jià)格與收益率之間的如此調(diào)整達(dá)到平衡后，所對(duì)應(yīng)的收益率即為瞬時(shí)期望收益率?，F(xiàn)在，既然Black-Scholes 微分方程不包含反映風(fēng)險(xiǎn)偏好的參數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)偏好就不會(huì)對(duì)方程的解產(chǎn)生影響。因此，在衍生工具定價(jià)時(shí)，可以使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好假設(shè)，其中最簡單的當(dāng)然是假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)大大簡化了衍生工具的定價(jià)過程，因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界里，有以下兩個(gè)重要結(jié)論成立：任何可交易的基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率，即恒有；任何一種衍生品當(dāng)前t時(shí)刻的價(jià)值等于未來T時(shí)刻其價(jià)值的期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。4 總結(jié)本文介紹了金融衍生品概況，利用隨機(jī)過程的知識(shí)，系統(tǒng)研究了基于Black-Scholes模型的歐式期權(quán)定價(jià)問題。文章推導(dǎo)出了標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過程