線性代數(shù)教案

1、第一章 行列式第一講 行列式的定義與性質(zhì)教 學(xué) 目 的：掌握行列式的概念及行列式的性質(zhì)教學(xué)重點與難點：行列式的概念與性質(zhì)教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：1.排列與逆序?qū)τ趥€不同的元素,我們可以給它們規(guī)定一個次序,并稱這規(guī)定的次序為標(biāo)準(zhǔn)次序.例如這個自然數(shù),一般規(guī)定由小到大的次序為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義1 由個自然數(shù)組成的一個無重復(fù)的有序數(shù)組,稱為一個級排列.例如,1234和2431都是4級排列,而45321是一個5級排列.顯然, 級排列共有個.排列中元素之間的次序為標(biāo)準(zhǔn)次序,這個排列是標(biāo)準(zhǔn)排列(通常也稱為自然排列)；其它的排列的元素之間的次序未必是標(biāo)準(zhǔn)次序.定義2 在個不同元素的任一排列中,當(dāng)某兩

2、個元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時,就說有一個逆序.也就是說,在一個級排列中,如果一個較大的數(shù)排在一個較小的數(shù)之前,即若,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù),稱為這個排列的逆序數(shù),記為或.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4個逆序.故排列2431的逆序數(shù).根據(jù)定義1.1.2,可按如下方法計算排列的逆序數(shù)：設(shè)在一個級排列中，比大的且排在前面的數(shù)共有個，則的逆序的個數(shù)為，而該排列中所有數(shù)的逆序的個數(shù)之和就是這個排列的逆序數(shù)即例1 計算排列45321的逆序數(shù).解 因為4排在首位,故其逆序數(shù)為0； 比5大且排在5前面的數(shù)有0個，故其逆序數(shù)為0； 比3大且排在3前面的數(shù)有

3、2個，故其逆序數(shù)為2； 比2大且排在2前面的數(shù)有3個，故其逆序數(shù)為3；比1大且排在1前面的數(shù)有4個，故其逆序數(shù)為4可見所求排列的逆序數(shù)為定義3 如果排列的逆序數(shù)為奇數(shù)，則稱它為奇排列；若排列的逆序數(shù)為偶數(shù)，則稱它為偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)是0，因此是偶排列.2.對換定義1 在排列中,將任意兩數(shù)和的位置互換，而其余的數(shù)不動，就得到另一個排列.這種作出新排列的手續(xù)稱為一次對換.將相鄰兩數(shù)對換，稱為相鄰對換.例如，對換排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.經(jīng)過對換，排列的奇偶性有何變化呢？我們有下面的基本事實.定理1 對換改變排列的奇偶性.也

4、就是說，經(jīng)過一次對換，奇排列變成偶排列，而偶排列變成奇排列. 推論 奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).3.階行列式定義1 設(shè)有個數(shù)，排成行列的表：作出表中位于不同行列的個數(shù)的乘積，并冠以符號，得到個形如的項，其中為自然數(shù)的一個排列，為這個排列的逆序數(shù).所有這項的代數(shù)和稱為階行列式，記作.其中表示對所有的級排列求和.行列式有時也簡記為，這里數(shù)稱為行列式的元素，稱為行列式的一般項.定義1.1.5通常稱為行列式的“排列逆序”定義，它具有三個特點：由于級排列的總數(shù)是個，所以展開式共有項；每項必須是取自不同行不同列的個元素的乘積；每項前的符號取決于個元素列下標(biāo)所組成

5、排列的奇偶性.要注意的是，當(dāng)時，一階行列式，不要與絕對值記號相混淆.例1 證明行列式(其中非副對角線上的元素全為0).證 根據(jù)階行列式的定義易得.上例中行列式，其非副對角線上元素全為0，此類行列式可以直接求出結(jié)果，例如 . 證畢類似地，非主對角線上元素全為0的行列式稱為對角行列式，顯然對角行列式的值為主對角線上元素的乘積，即有.主對角線以下（上）的元素全為0的行列式稱為上（下）三角行列式，它的值與對角行列式的一樣.例2 計算上三角形行列式.解 一般項為，現(xiàn)考慮不為零的項.取自第行，但只有，故只能?。蝗∽缘谛?，只有，由于取自第列，故不能取自第列,所以；同理可得，.所以不為零的項只有.所以.在行列

6、式的定義中，為了決定每一項的正負(fù)號，我們把個元素按行指標(biāo)排起來.事實上，數(shù)的乘法是交換的，因而這個元素的次序是可以任意寫的，階行列式的項可以寫成其中是兩個級排列.利用定理1.1.1，可以給出階列式另一種表示法.定理1 階行列式也定義為推論 階行列式也定義為例2 在四階行列式中，應(yīng)帶什么符號？解 1）按定義1.1.5計算.因為，而的逆序數(shù)為，所以的前面應(yīng)帶負(fù)號.2）按定理1.1.2計算.因為行指標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列指標(biāo)排列的逆序數(shù)為.所以的前面應(yīng)帶負(fù)號.4、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換，行列式不變，即性質(zhì)2 交換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號.推論 若行列式中有兩行（列）相同，則該行列式為

7、零.性質(zhì)3 用一個數(shù)乘以行列式的某一行（列），等于用這個數(shù)乘以此行列式，即第行(或列)乘以,記為(或).推論1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2 若行列式中一行（或列）的元素都為零，則該行列式為零.推論3 若行列式中有兩行（列）成比例，則該行列式為零.性質(zhì)4 若行列式中第行（列）的元素是兩組數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和.其中這兩組數(shù)分別是這兩個行列式第行（列）的元素，而除去第行（列）外，這兩個行列式其它各行（列）的元素與原行列式的元素是相同的.即 . 若階行列式每個元素都表示成是兩數(shù)之和，則它可分解成個行列式.如性質(zhì)5 將行列式的某一行（列）的倍數(shù)

8、加到另一行（列）上，行列式不變.例如以數(shù)乘第行加到第行上（記作），有.以數(shù)乘第列加到第列上，記作.第二講 行列式的計算教 學(xué) 目 的：掌握行列式的計算教學(xué)重點與難點：行列式的計算教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：1、化行列式為三角行列式來計算性質(zhì)2，3，5介紹了行列式關(guān)于行和關(guān)于列的三種運算，即，和，.利用這些運算可簡化行列式的計算，特別是利用運算（或）可以把行列式中許多元素化為0，進(jìn)而把行列式化為三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化為上三角行列式的步驟是：把行列式化為上三角行列式的步驟是：如果第一列第一個元素為0，先將第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為0，然后把第一行分別

9、乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行，使得第一列除第一個元素外其余元素全為0.再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式，如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角行列式，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值.例1 計算行列式解 .例2 計算階行列式.解 注意到此行列式中各行（列）的個數(shù)之和相等，故可把第二列至第列都加到第一列上去，然后各行都加上第一行的（1）倍，就有 按本例，特別地有：.2、行列式按行（列）展開定理定義1 在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，余下的（）階行列式，稱為元素的余子式，記為；再記，稱為元素的代數(shù)余子式.例如，對三階行列式元素的余子式和代數(shù)余子式分別為，.有了定

10、義1，三階行列式可以寫成.引理 一個n階行列式D,若其中第i行（或第列）所有元素除外都為零，則該行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分別與其所對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或 推論 行列式的任一行（或列）的元素與另一行（或列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或 上述定理和推論合起來，稱為行列式按行（列）展開定理.我們可以利用定理1來計算一些簡單的行列式.例3 計算行列式解 因為中第二行的數(shù)字比較簡單，所以選擇的第二行.應(yīng)用性質(zhì)5得.例4 計算階行列式.解 將按第1列展開，則有.例5 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式其中記號“”表

11、示全體同類因子的乘積.證 用數(shù)學(xué)歸納法.因為，所以當(dāng)時公式成立.現(xiàn)假設(shè)公式對于（）階范德蒙德行列式成立，要證對階范德蒙德行列式也成立.對降階：從第行開始，后行減去前行的倍，有按第一列展開，并把每列的公因子提出，得到上式右端的行列式是（）階范德蒙德行列式，由歸納假設(shè)，它等于所有因子乘積.故 證畢由例5立即得出，范德蒙德行列式為零的充分必要條件是這個數(shù)中至少有兩個相等.另外，我們可用例5的結(jié)果直接計算行列式，如.第三講 習(xí)題課教 學(xué) 目 的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對本章內(nèi)容有個較為全面的理解和掌握，同時通過練習(xí)來鞏固本章的相關(guān)知識點.教學(xué)計劃時數(shù)：2課時教 學(xué) 過 程： 1 內(nèi)容精要排列，排列的逆

12、序數(shù)，行列式的概念，行列式的性質(zhì)，行列式的計算.2 知識脈絡(luò)圖3典型例題例1用行列式定義計算行列式解： 僅有位于不同行、不同列的個非零元素，即.因此的項中僅有一項非零，故.因為，所以.例2 計算行列式分析 對于元素是數(shù)字的行列式，通常運用行列式的性質(zhì)將其化為三角行列式來計算，或?qū)⑵淠骋恍校校┗捎休^多0元素之后，再按該行（列）展開降階.解法一（化為三角形行列式） 解法二（利用行列式的展開定理逐次降階）注 上述兩種解法是計算數(shù)字行列式常用的方法.例3計算行列式，.分析 因為主對角線上的元素非零，可利用行列式性質(zhì)將第一列（行）除第一個元素外的其它元素化為零，把行列式變成上（下）三角行列式，從而可

13、計算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常稱為“爪形”行列式，即非零元素在爪形三線段上，三線段以外的元素均為零；“爪形”行列式是“三對角”行列式中的一種，常用的計算方法是把它化為三角形行列式.計算行列式，.分析 因為主對角線上的元素非零，可利用行列式性質(zhì)將第一列（行）除第一個元素外的其它元素化為零，把行列式變成上（下）三角行列式，從而可計算出行列式的值.解 .注 本例中的行列式常稱為“爪形”行列式，即非零元素在爪形三線段上，三線段以外的元素均為零；“爪形”行列式是“三對角”行列式中的一種，常用的計算方法是把它化為三角形行列式.例4 計算行列式.分析 該行列式具有特點：各行（列）的元素之和相同

14、，且各列除主對角線上的元素外均相同，可考慮下面方法求解.解法一 從第2列起將各列加到第1列，然后從第2行起各行加上第1行的（1）倍，得.解法二 把行列式的第1行乘以分別加到第行上去，然后依次將第列加到第1列，得 .例5 計算階行列式 .分析 這個行列式大部分元素相同，所以問題的關(guān)鍵是想辦法變出盡可能多的零.解 從第二行開始，各行都減去第行，然后從第二列開始，各列都加到最后一列，再按第一列展開，得 注 結(jié)合行列式的性質(zhì)，利用行列式的展開定理計算行列式，這是計算階行列式的又一重要方法.例6 證明：.證明 用數(shù)學(xué)歸納法.記左邊行列式為，則當(dāng)時，命題成立.假設(shè)時，則當(dāng)時，.對按第列展開，得.因此由數(shù)學(xué)

15、歸納法，命題對一切正整數(shù)成立.例7 利用范德蒙德行列式計算下列行列式(1) (2)分析 這兩個行列式與范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次與前面各行交換到第一行，新的最后一行再依次與前面各行交換到第二行，這樣繼續(xù)進(jìn)行下去，共經(jīng)過交換次行后可化為范德蒙德行列式；對(2)只要每列提出公因數(shù)，也可化為范德蒙行列式.解 （1）原式= = = =.（2）原式 .4練習(xí)：1.計算四階行列式.2.計算十階行列式.3.計算行列式.4.計算行列式 5.計算三對角行列式.6.計算行列式.第二章 矩陣第一講 矩陣及其運算教 學(xué) 目 的：1.熟練掌握矩陣的概念，了解常用的特殊矩陣以及性質(zhì)。2.掌握矩陣的

16、線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。教學(xué)重點與難點：1.矩陣的乘積2.矩陣可交換，及相關(guān)結(jié)論。教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：一、 矩陣的概念定義1：由 個數(shù)排成 行（橫向）、 列（縱向）的數(shù)表：稱為矩陣，記作 簡記為 ，或，這個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡記為元.其中為A的第i行第j列的元素.如是3行4列的矩陣（外加方括號或圓括號），就稱它為34的矩陣，這里，34是一個記號，表明矩陣有3行4列.注意：1. 行列式是算式，其行列數(shù)必須相同；矩陣是數(shù)表，其行列數(shù)可不同. 2. 元素為實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣，本書中所講的矩陣除特別說明外，

17、均指實矩陣.矩陣的一些相關(guān)概念定義2：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，稱它們?yōu)橥途仃?如，是同型矩陣.2.矩陣的相等定義3：設(shè)矩陣，為同型矩陣，若則稱矩陣與相等，記為.如，當(dāng)時，.二、一些常用特殊矩陣（1）行矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量.為避免元素間的混淆，行矩陣也可記作.（2）列矩陣：只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量.（3）零矩陣：所有元素都等于0的矩陣，稱為零矩陣，記作.注意：不同型的零矩陣是不同的.如，為矩陣,是行矩陣；為矩陣,是列矩陣；為零矩陣，為零矩陣，但.（4）階方陣：當(dāng)時，稱為矩陣或階方陣，有時用表示.1階矩陣被約定當(dāng)作“數(shù)”（即“元素”本身）對待.（5）上

18、（下）三角陣：設(shè)階方陣，若時，則稱為上三角陣；若時，則稱為下三角陣.如，是一上三角形陣，是一下三角形陣.（6）對角矩陣既是上三角陣、又是下三角陣的矩陣稱為對角矩陣，簡稱對角陣.對角矩陣可簡記為.（7）數(shù)量矩陣(又稱標(biāo)量陣)對角陣中，若，則稱之為數(shù)量矩陣.簡記為.（8）單位矩陣數(shù)量矩陣中的矩陣稱為單位矩陣，簡稱單位陣，記作或，即.如，為3階對角陣，為3階數(shù)量矩陣，為3階單位陣.（9）對稱矩陣：滿足條件的方陣稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣.其特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.（10）反對稱矩陣：滿足條件的方陣稱為反對稱矩陣，簡稱反對稱陣.其特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相反.如，為對稱

19、陣，為反對稱陣.三、矩陣的運算1.矩陣的加法定義4：設(shè)兩個矩陣，定義與的和為，即.注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運算.如，.對，記，稱為的負(fù)矩陣.有以下結(jié)論(1).(2)規(guī)定矩陣的減法為.矩陣加法運算律（設(shè)都是矩陣）.（1）；（2）；（3）；（4）.2.矩陣的數(shù)乘定義5：設(shè)矩陣，為數(shù)，數(shù)與矩陣的乘積定義為，或記為.即矩陣數(shù)乘的運算律（設(shè)都是矩陣，為數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）.矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.3.矩陣與矩陣相乘定義6：設(shè)，定義矩陣，其中為矩陣左乘矩陣之積，記作. 乘積矩陣的第行第列元素就是的第行元素與的第列對應(yīng)元素的乘積之和.例1設(shè)，求

20、.解 注意:1.只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘. 2. 乘積矩陣的第行第列元素就是的第行元素與的第列對應(yīng)元素的乘積之和.矩陣乘法的運算律（假設(shè)運算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.例2設(shè).求與.解；.由此例題可歸納：一般地，對于單位矩陣，有.或簡寫為.可見單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1.關(guān)于矩陣的乘法，我們還要注意以下三點：（1）矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情形下，.如，設(shè)，則.（2）非零矩陣相乘，可能是零矩陣，即由，不能推出或.如，設(shè)，則，但且（3）兩個矩陣乘法不滿足消去律，即由，不能推出.如，設(shè)，有則，但.定義7：如果兩個矩陣相乘，有，則稱

21、矩陣與矩陣可交換，簡稱與可換.由，可知數(shù)量矩陣與矩陣的乘積等于數(shù)與的乘積.并且當(dāng)為階方陣時，有這表明數(shù)量矩陣與任意同階方陣都是可以交換的.4.方陣的冪 定義8：設(shè)是階方陣，定義其中為正整數(shù)，這就是說就是個連乘，稱為的次冪.注：只有方陣，它的冪才有意義.方陣冪的運算律(1）；(2）（為正整數(shù)）一般地，對于兩個階方陣與，(為正整數(shù))，只有當(dāng)它們可交換時，才有(其中為正整數(shù)).類似可知，例如，等公式，也只有當(dāng)時才成立.例3 設(shè)，求解 ，.5.方陣的多項式設(shè) 為的次多項式，為階方陣，記，稱為矩陣的次多項式.因為矩陣和都是可交換的，所以矩陣的兩個多項式和總是可交換的，即總有，從而的幾個多項式可以像數(shù)的多

22、項式一樣相乘或分解因式.例如6.矩陣的轉(zhuǎn)置定義9：把矩陣行列互換所得到的一個新矩陣，稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記為.注：若為對稱矩陣，則；若為反對稱矩陣，則.矩陣轉(zhuǎn)置的運算律（假設(shè)運算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.證明第(4)式.證 設(shè)矩陣.易知與都是矩陣.而位于的第行第列的元素就是位于的第行第列的元素，因此等于.位于的第行第列的元素就是位于的第行元素與的第列的對應(yīng)元素之積的和.顯然，上述兩個式子相等，所以.例4已知求.解法1因為 所以 .解法2.7.方陣的行列式定義10：由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或.如，則.矩陣行列式的運算律（設(shè)是階方陣

23、，是數(shù)）（1）；（2）；（3）；（4）.例5已知，驗證：.證因為，所以 又 故 .8.共軛矩陣定義11：設(shè)為復(fù)（數(shù)）矩陣，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記.稱為的共軛矩陣.共軛矩陣的運算律（設(shè)是復(fù)矩陣，是數(shù)，且運算都是可行的）（1）；（2）；（3）；（4）.第二講 逆矩陣教 學(xué) 目 的：1.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件。2.理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。教學(xué)重點與難點：1.矩陣可逆的充分必要條件2.用伴隨矩陣求逆矩陣。教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教學(xué)過程：一、逆矩陣的定義在矩陣的運算中，單位矩陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運算中的1，那么對于矩陣，如果存在矩陣“”，使得則矩陣“”可

24、否稱為矩陣的逆呢？定義1：設(shè)為 階方陣，若存在 階方陣，使成立，則稱方陣可逆，并稱是的逆矩陣，簡稱逆陣，記作.于是有結(jié)論：1.可逆矩陣一定是方陣，且適合其逆陣也一定是方陣；2.若矩陣與滿足，則與都可逆，并且互為逆矩陣，即.3.零矩陣是不可逆矩陣；單位矩陣是可逆矩陣，且其逆矩陣是其本身.例1設(shè)，驗證可逆，且互為逆矩陣.證 因為，所以與是兩個可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣，即，.定理1：若可逆，則其逆矩陣唯一.證設(shè)都是的逆矩陣，則.從而 . 例2如果其中.驗證.證 因為 ， ，所以 . 證畢此例說明：若對角矩陣對角線上的元素都不為零，則可逆，且有.二、 矩陣可逆的充分必要條件若已給方陣，怎么判定它是

25、否可逆？若可逆時，又如何求出？為了討論方陣可逆的充分必要條件及得出求逆矩陣的方法，首先引進(jìn)“伴隨矩陣”的概念.1.伴隨矩陣定義2：階方陣的行列式中各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，稱為方陣的伴隨矩陣，記為，即定理2：對于階方陣及其伴隨矩陣，有證由矩陣乘法及行列式按某一行（列）展開的的公式，可得，所以有. 2.逆矩陣的求法定理3階方陣可逆的充分必要條件是其行列式，且當(dāng)可逆時，有.（其中為的伴隨矩陣.證必要性.由可逆知，存在階矩陣，滿足，等式兩邊取行列式，可得因此，同時.充分性.設(shè)，且，則由式（2.4）得，兩邊乘以，得.同理可得.由逆矩陣的定義即知，可逆，且 . 證畢該定理不僅給出方陣可

26、逆的充分必要條件，而且給出用伴隨矩陣求逆矩陣的方法，此法稱為伴隨矩陣法.推論 若（或），則.證 由，得，所以，即存在，有，同理可得 . 證畢此推論說明：判斷矩陣是否可逆，只要驗證或中的一個即可.例3設(shè)，求的逆矩陣.解 因為，所以可逆，則的伴隨矩陣故一般地，對二階方陣，當(dāng)時，有例4判定矩陣是否可逆，若可逆求其逆矩陣.解由，知可逆.而所以 .故.例5設(shè)方陣A滿足方程 證明為可逆矩陣, 并求其逆.證 由，得，或 ，所以可逆，且.定義3 若階方陣的行列式，則稱為非奇異矩陣（又稱非退化矩陣）；若，則稱為奇異矩陣（又稱退化矩陣）.由定理3及定義3可得定理4設(shè)為階方陣,則為可逆矩陣的充分必要條件是為非奇異矩

27、陣；為不可逆矩陣的充分必要條件是為奇異矩陣.3.矩陣方程對標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程（其中均可逆）.利用矩陣乘法的運算規(guī)律和逆矩陣的運算性質(zhì)，通過在方程兩邊左乘或右乘相應(yīng)矩陣的逆矩陣，可求出其解分別為.對于其它形式的矩陣方程，則可通過矩陣的有關(guān)運算性質(zhì)化為標(biāo)準(zhǔn)矩陣方程，再進(jìn)行求解.例6設(shè)是同階矩陣，且A可逆，下列結(jié)論如果正確，試證明之；如果不正確，試舉反例說明之.(1)若則；(2)若則.解 （1）正確.由及可逆，在方程兩邊左乘，得從而有，即.（2）不正確.例如，設(shè)則，顯然有，但.例7設(shè)求矩陣，使?jié)M足.解，都存在.容易求得；又由得到，即有.例8設(shè)求.解 因為 ，而 ，其中 ，故 .例.8的方法?？梢杂脕碛嬎悖?/p>

28、由此再來計算的的多項式.(1)若，則，從而.(2)若為對角陣，則，從而.三、逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣具有下列性質(zhì)(1)若可逆，則 也可逆，并且；(2)若可逆，則 也可逆，并且 ；(3）若可逆且數(shù) ，則也可逆，并且 ；(4)若、為可逆的同階方陣，則也可逆，并且；(5).性質(zhì)(4)可推廣到有限個階可逆矩陣相乘的情形，即若階矩陣都可逆，則也可逆，并且有（為正整數(shù)）證 僅證明(4).因為 ，所以 . 例9已知及可逆，試證可逆.證 即可表成可逆陣與的乘積，故知為可逆陣. 第三講 矩陣的初等變換與矩陣的秩教 學(xué) 目 的：掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法教學(xué)重點與難點：用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法教

29、學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：1、初等變換定 義1下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）初等對換變換：對換矩陣的兩行（列）.對換兩行(列)的初等行(列)變換，記作；（2）初等倍乘變換：用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）中所有元素.以乘矩陣的第行(列)的初等行（列）變換，記作 ()；（3）初等倍加變換：將矩陣的某行(列)乘以數(shù)k再加入另一行（列）中去.矩陣的第行（列）乘k后加到第j行(列)的初等行（列）變換，記作().矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.顯然，矩陣的三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換.變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換為(或記作)

30、；變換的逆變換為(或記作)2、等價矩陣定義1：若一個矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣，就稱矩陣與行等價，記作（或）；若矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，就稱矩陣與列等價，記作（或）；若矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價，記作（或）.一般地，在理論表述或證明中，常用記號“”，在對矩陣作初等變換運算的過程中常用記號“”.（2）.性質(zhì)矩陣之間的等價關(guān)系具有下列基本性質(zhì):(1)反身性：；(2)對稱性：若，則；(3)傳遞性：若，則.定理1 對于任何矩陣，總可以經(jīng)過有限次初等變換，化為標(biāo)準(zhǔn)形：，這個標(biāo)準(zhǔn)形由三個數(shù)完全確定，其中是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)（）.根據(jù)定理1及初等變換的可逆性，有推論 如

31、果A為n階可逆矩陣，則矩陣A經(jīng)過有限次初等變換可化為單位矩陣E，即.例1 設(shè)，把化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 上面最后一個矩陣即為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.3、初等矩陣定義1 對單位矩陣施行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換分別對應(yīng)著三種初等矩陣.(1)初等對換矩陣：把階單位矩陣的第行(列)互換得到的矩陣(2)初等倍乘矩陣：把階單位矩陣的第行(列)乘以非零數(shù)得到的矩陣(3)初等倍加矩陣：把階單位矩陣的第行（第列）乘以數(shù)加到第行（第列）上得到的矩陣對于單位矩陣進(jìn)行初等列變換時，特別注意的是應(yīng)當(dāng)把的第列乘以數(shù)加到第列上，得到的是.由于初等行（列）變換只有上述三種，所以由初等行（列）變換得到的初等矩陣只有上述的

32、三種類型，并且有.對于上述的三種類型的初等矩陣，因為它們的行列式都不等于零，因此初等矩陣都可逆.另外，若對初等矩陣再作一次同類初等變換，就可以化為單位矩陣.初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣，由此得出初等矩陣的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）.定理1設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，就相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，就相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.4、求逆矩陣的初等變換法及矩陣可逆的充要條件定理1 階方陣可逆的充分必要條件是可以表示為若干初等矩陣的乘積.證明必要性.由定理2的推論知，若可逆，則經(jīng)若干次初等變換可化為，即存在初等矩陣，使那么 或 故矩陣可以表示為若干初等

33、矩陣的乘積.因初等矩陣可逆，所以充分條件是顯然的. 證畢下面介紹用初等變換求逆矩陣的方法. 若為可逆矩陣，則也可逆，由定理2.3.4，存在初等矩陣，使用右乘上式兩邊，得 （2.7）又 （2.8）比較（2.7）與（2.8）兩式，（2.7）式中的與（2.8）式中的左乘的一系列初等矩陣是對應(yīng)相同的，這說明當(dāng)把經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣時，同樣這些初等行變換就把化為了. 證畢因此，用初等行變換法求矩陣的逆矩陣的具體做法是：在矩陣的右邊寫上與同階單位矩陣，就構(gòu)造了一個矩陣，然后對進(jìn)行一系列初等行變換，把變?yōu)閱挝痪仃?，與此同時，被變?yōu)榫仃?用式子表示為 即 .我們已經(jīng)知道，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位

34、矩陣.事實上，可逆矩陣的的行最簡形矩陣也是單位矩陣，即推論1方陣可逆的充分必要條件是.證因為方陣可逆的充分必要條件是可以表示為若干初等矩陣的乘積，即有初等矩陣，使，也就是，上式表示經(jīng)過有限次初等變換可化為，即.推論2矩陣與等價的充分必要條件是存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使.例1用初等行變換法求的逆矩陣.解因為 .所以 .利用初等行變換求求矩陣的逆矩陣時，對只能用行變換，不能用列變換.當(dāng)然也可用初等列變換求出的逆矩陣，其方法是：在矩陣的下面寫上與同階的單位矩陣，形如而后對其施行列變換，把變?yōu)?，這時下半部就變?yōu)?，?5.用初等變換法求解矩陣方程由定理2.3.4的推論1說明了若的行最簡形矩陣是，則就

35、是的行最簡形矩陣，即；并且有，即.前面已知對于任何方陣，可逆的充要條件是，且當(dāng)可逆時， .現(xiàn)在設(shè)矩陣可逆，則求解矩陣方程等價于求矩陣，為此，可采用類似初等行變換求矩陣的逆的方法，具體做法是：構(gòu)造矩陣，對其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，則上述初等行變換同時也將其中的矩陣化為，即 .同理，求解矩陣方程等價于計算矩陣亦可利用初等列變換求矩陣，即.例1求解矩陣方程其中解 把所給方程變形為可見，因此可逆，且.第四講 矩陣的秩與分塊矩陣教 學(xué) 目 的：理解矩陣秩的概念和了解分快矩陣教學(xué)重點與難點：矩陣秩的理解教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：1、矩陣的秩（1）矩陣秩的概念定義1若為矩陣，在中任意取行

36、、列，則位于這些行與列交叉處的個元素，不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式，稱為矩陣的階子式.顯然，若為矩陣，則的階子式共有個.當(dāng)時，它的任何子式都為零.當(dāng)時，它至少有一個元素不為零，即它至少有一個一階子式不為零.再考察二階子式，若中有一個二階子式不為零，則往下考察三階子式，如此進(jìn)行下去，最后必達(dá)到中有階子式不為零，而再沒有比更高階的不為零的子式.這個不為零的子式的最高階數(shù)反映了矩陣內(nèi)在的重要特征，在矩陣的理論與應(yīng)用中都有重要意義.定義2 設(shè)為矩陣，如果存在的階子式不為零，而任何階子式(如果存在的話)皆為零，則稱數(shù)為矩陣的秩，記為.并規(guī)定零矩陣的秩等于0.由定義2，根據(jù)行列式的性質(zhì)易知

37、，矩陣的秩就是矩陣的最高階非零子式的階數(shù).（2）矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1若為矩陣，則.性質(zhì)2若矩陣中有某個階非零子式，則；若矩陣中所有階子式全為零，則.性質(zhì)3若矩陣的秩，則.定義3設(shè)為階方陣，若，則稱矩陣為滿秩矩陣；若，則稱矩陣為降秩矩陣.由此可得定理1階矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是矩陣為滿秩矩陣；階矩陣為不可逆矩陣的充分必要條件是矩陣為降秩矩陣.性質(zhì)5若矩陣，則.性質(zhì)6若矩陣可逆，則.性質(zhì)7若矩陣與的秩分別為，則，特別地，當(dāng)為列向量時，則有.性質(zhì)8若矩陣與的秩分別為，則.性質(zhì)9若矩陣，則（證明見第4章例4.4.7）.例1設(shè)為階矩陣，且,證明.證因為，由性質(zhì)7得而，所以.又,由性質(zhì)9得.綜合即得.

38、（3）矩陣秩的求法定理矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變.也就是說，若，則根據(jù)這個定理，我們得到利用初等變換求矩陣的秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩.例1 求矩陣的秩.解 ，所以.2、分塊矩陣（1）分塊矩陣的定義定義1 將矩陣用若干橫線和縱線分成一些小矩陣，每個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.如，設(shè),若記,則A可表示為.(2)分塊矩陣的運算1設(shè)矩陣與的行數(shù)相同、列數(shù)相同，采用相同的分塊法，若其中與的行數(shù)相同、列數(shù)相同，則2設(shè)，為數(shù)，則3設(shè)為矩陣，為矩陣，分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則其中 4分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)，則5設(shè)為階

39、矩陣，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在主對角線上的子塊都是方陣，即，其中都是方陣，則稱為分塊對角矩陣.(3).分塊對角矩陣的性質(zhì)分塊對角矩陣具有以下性質(zhì)：1若，則，且；2若可逆，則；3同結(jié)構(gòu)的分塊對角矩陣的和、差、積、數(shù)乘及逆仍是分塊對角矩陣，且運算表現(xiàn)為對應(yīng)子塊的運算.例如，設(shè)有二個分塊對角陣:, .其中矩陣與都是階方陣，則.即分塊對角陣相乘時，只需將主對角線上的塊相乘即可.例1 設(shè)矩陣用分塊矩陣計算.例2 設(shè)矩陣用分塊矩陣計算.例3 設(shè)求.解 ；所以 .(4)矩陣的按行分塊和按列分塊對矩陣分塊時，有兩種分塊應(yīng)該給予特別重視，這就是按行分塊和按列分塊.矩陣按行

40、（列）分塊是最常見的一種分塊方法.一般地，矩陣有行，稱為矩陣的個行向量，若記第行為則矩陣就可表示為又矩陣有列，稱之為矩陣的個列向量，若第列記作.則 對于矩陣與的乘積矩陣，若把按行分成塊，把按列分成塊，便有其中由此可進(jìn)一步領(lǐng)會矩陣相乘的定義. 以對角陣左乘矩陣時，把按行分塊，有可見以對角陣左乘的結(jié)果是的每一行乘以中與該行對應(yīng)的主對角線上的元素.以對角陣右乘時，把按列分塊，有可見以對角陣右乘的結(jié)果是的每一列乘以中與該列對應(yīng)的主對角線上的元素.例4 設(shè)A是一個矩陣，是一個矩陣.對按行分塊：，其中是的第個行向量；同時對作一個行塊、一個列塊的分塊，則有.例5 設(shè)為實矩陣，且，證明.證 設(shè)，把用列分塊表示

41、為，則，即的第行第列元素為，因，故.特別地，有，而 由 (因為實數(shù))，得即 . 證畢第五講 習(xí)題課教 學(xué) 目 的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對本章內(nèi)容有個較為全面的理解和掌握，同時通過練習(xí)來鞏固本章的相關(guān)知識點.教學(xué)計劃時數(shù)：2課時教 學(xué) 過 程：1 內(nèi)容精要矩陣的概念及運算；矩陣的秩、矩陣的初等變換與初等矩陣；逆矩陣的概念、性質(zhì)及求法；分塊矩陣及其應(yīng)用.2 知識脈絡(luò)圖3典型例題例1設(shè)證明，其中為正整數(shù).分析 由于，所以這個結(jié)論對1，2正確，因此可考慮采用數(shù)學(xué)歸納法證明證明 當(dāng)時，等式顯然成立.設(shè)時等式成立，即設(shè)下面要證時成立，此時有由數(shù)學(xué)歸納法原理可得，對正整數(shù)，有成立例2 設(shè)是階方陣，證明：（

42、1）若，則；（2）若，則證明 （1）因為，所以，由矩陣秩的性質(zhì)得另一方面，由矩陣秩的性質(zhì)又可得故（2）因為，所以，由矩陣秩的性質(zhì)得另一方面，由矩陣秩的性質(zhì)又可得故注 關(guān)于矩陣秩的證明，常見思路如下：思路一，；思路二，例3 求階矩陣的秩 分析 思路一：先用初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，然后再討論參數(shù)的取值，確定矩陣的秩思路二：先求出，然后令求出參數(shù)的值，最后再根據(jù)的取值情況確定矩陣的秩解法一 因為所以，1）時，2）時，3）時，解法二 因為所以1）時，故2）時，故3）時，故注 （1）初等變換不改變矩陣的秩（2）階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù)例4 求下列矩陣的逆矩陣分析 常用求逆矩陣的方法有兩種，一

43、是利用公式求逆矩陣，二是利用初等變換求逆矩陣，前者常常用于低階矩陣，后者多用于高階矩陣.解 （1）利用公式求解因為 所以 可逆，又因為于是.解 （2）利用初等變換求解因為所以注：用公式求方陣的逆矩陣時，應(yīng)注意的行列位置；用初等變換求方陣的逆矩陣時，應(yīng)注意并排成時，用矩陣的行初等變換求解，若排成豎排時，應(yīng)用矩陣的列初等變換求解例5 設(shè)三階方陣滿足關(guān)系式，且，求矩陣.分析由關(guān)系式中，已知求，可類似于中學(xué)數(shù)學(xué)里解一元一次方程一樣，將看成未知數(shù)，其余當(dāng)作已知數(shù)進(jìn)行求解 解 由 得因為 可逆，且所以顯然可逆.于是又因為 所以例6設(shè)都是可逆矩陣，證明可逆，并求.分析 為了證明可逆，要充分利用的可逆性，因此

44、要設(shè)法把和式化為及其逆矩陣的乘積形式.證明 由于由于可逆,所以可逆，且注 （1）若將上式用代替，則可得這時要求矩陣，均可逆.（2）由可逆不能推出可逆，例，則顯然可逆，而不可逆（3）例7設(shè)階矩陣為對稱矩陣，為反對稱矩陣. 證明：為對稱矩陣的充分必要條件是.分析為對稱矩陣、為反對稱矩陣的定義為，再注意矩陣轉(zhuǎn)置乘積性質(zhì)就容易得證.證明 必要性：設(shè)為對稱矩陣，則因為所以于是，即充分性：設(shè)，則，故為對稱矩陣. 4、練習(xí)：1. 設(shè)矩陣滿足關(guān)系式，其中，求矩陣.2. 設(shè)，3.已知其中，求.4.已知，求（為正整數(shù)）.5. 設(shè)，求. 6設(shè)三階矩陣問滿足什么條件時，的伴隨矩陣的秩等于1三、 證明題1設(shè)為階矩陣，且

45、為對稱陣，證明也是對稱矩陣.2設(shè)為階非零矩陣，為的伴隨矩陣，且，證明.第三章 向量與向量空間第一講 維向量及其運算、線性組合與線性表示教 學(xué) 目 的：1.理解維向量的定義，掌握維向量的計算及性質(zhì)。2.掌握向量的線性組合與線性表示的概念，了解并會用線性表示的判別法。教學(xué)重點與難點：1.有限維向量與矩陣的關(guān)系2.線性表示的判別法。教學(xué)計劃時數(shù)：2學(xué)時教 學(xué) 過 程：一、維向量的定義定義1：個有序數(shù)組成的數(shù)組稱為維向量，數(shù)稱為該向量的第個分量維向量可寫成：或，前者稱為維列向量，后者稱為維行向量維列向量可看作是1矩陣，而維行向量可看作是1矩陣，因此維列（行）向量的轉(zhuǎn)置是維行（列）向量可見，行向量理論與

46、列向量理論是平行的，把有關(guān)列（行）向量的結(jié)論中的列（行）改為行（列），就得到行（列）向量的相應(yīng)結(jié)論為敘述方便，若無特別說明，本書所討論的向量都是列向量常用小寫希臘字母 表示維向量，用小寫拉丁字母， 表示維向量的分量如維向量=，或=附：分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量本書中若無特別說明，所討論的向量都是實向量向量的一些相關(guān)概念（1）零向量：分量全是零的向量，稱為零向量，記作0（2）負(fù)向量：向量稱為向量=的負(fù)向量，記作 -（3）維單位坐標(biāo)向量：向量叫做維單位坐標(biāo)向量（4）向量相等：設(shè)向量=，=，若，則稱向量與相等，記作注意：兩個向量只有維數(shù)相同時才有相等或不相等的概念（5

47、）向量組：由若干個同維數(shù)的向量組成的集合，稱為向量組例如一個矩陣的全體列向量就是由個維列向量組成的向量組；反之，若給定個維列向量組成的向量組，則以這些向量為列，就得到一個矩陣因此，含有限個向量的有序向量組可以與矩陣一一對應(yīng)二、維向量的運算1向量的加法定義2：設(shè)向量=，=，則向量稱為向量與的和，記作，即=利用向量的加法及負(fù)向量，可定義向量的減法：=注：兩個向量只有維數(shù)相同時，才能進(jìn)行加法和減法運算1向量的數(shù)乘定義3：設(shè)向量=，是一個數(shù)，則向量稱為數(shù)與向量的乘積，簡稱數(shù)乘，記作，即=向量的加法與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的加法與數(shù)乘運算是矩陣的加法與數(shù)乘運算的特例，因此向量的兩種運算滿足以下