第一章 信號與系統(tǒng)IV(3.8)

1、第一章第一章 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)一、信號的概念一、信號的概念1.1 1.1 緒言緒言什么是信號？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個概念聯(lián)系什么是信號？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個概念聯(lián)系在一起？在一起？1.1.消息消息(message):(message): 人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。 消息：反映知識狀態(tài)的改變。消息：反映知識狀態(tài)的改變。2.2.信息信息(information):(information):它是信息論中的一個術語。它是信息論中的一個術語。 通常把消息中有意義的內容稱為信息。通常把消息中有意義的內容稱為信息。 信息量信息量收到信息前

2、對某事件的無知程度收到信息前對某事件的無知程度 收到信息后對某事件的無知程度收到信息后對某事件的無知程度3.3.信號信號(signal):(signal): 信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。 為了有效地傳播和利用信息，通常需要將信息為了有效地傳播和利用信息，通常需要將信息轉換成便于傳輸和處理的信號。轉換成便于傳輸和處理的信號。 信號我們并不陌生，如上課信號我們并不陌生，如上課鈴聲鈴聲聲信號聲信號，表示該上課了；，表示該上課了； 十字路口的紅綠燈十字路口的紅綠燈光信號光信號，指揮交通；指揮交通； 電視機接收的電視信息電視機接收的電視信息電信號電信號； 廣告

3、牌上的文字、圖象信號等等。廣告牌上的文字、圖象信號等等。二、系統(tǒng)的概念二、系統(tǒng)的概念 信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，信號的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。 一般而言，一般而言，系統(tǒng)系統(tǒng)(system)(system)是指若干是指若干相互關聯(lián)相互關聯(lián)的事物組合成具有的事物組合成具有特定功能特定功能的統(tǒng)一的統(tǒng)一整體整體。 如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機等都可以看如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。都可以看成信號。 信號的概念

4、與系統(tǒng)的概念常常緊密聯(lián)系在一起。信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密聯(lián)系在一起。 系統(tǒng)的基本作用是對輸系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號進行加工和處理，將入信號進行加工和處理，將其轉換為所需要的輸出信號。其轉換為所需要的輸出信號。輸入信號輸入信號激勵激勵輸出信號輸出信號響應響應信息源信息源發(fā)射器發(fā)射器接收器接收器受信者受信者噪聲源噪聲源中間線路中間線路（信道）（信道）一個典型的通信系統(tǒng)一個典型的通信系統(tǒng)信息信息信號信號信號信號信息信息一、信號的描述一、信號的描述1.2 1.2 信號信號 信號信號是信息的一種物理體現(xiàn)，它一般是隨時間是信息的一種物理體現(xiàn)，它一般是隨時間或位置變化的物理量。或位置變化的物理量。

5、信號信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉換。電信號容易產(chǎn)生、便于控制、易于可以相互轉換。電信號容易產(chǎn)生、便于控制、易于處理。本課程討論電信號處理。本課程討論電信號簡稱簡稱“信號信號”。電信號的基本形式：電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法描述信號的常用方法（1）表示為時間的函數(shù)）表示為時間的函數(shù) （2）信號的圖形表示）信號的圖形表示波形波形“信號信號”與與“函數(shù)函數(shù)”兩詞常相互通用。兩詞常相互通用。二、信號的分類二、信號的分類1.1.確定信號和隨機信號確定信號和隨機信號 可以用確定時間函數(shù)表示的信

6、號，稱為可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號確定信號或或規(guī)則信號規(guī)則信號，如正弦信號。，如正弦信號。 若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，即取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，即在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為隨機信號隨機信號或或不確定信號不確定信號。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號。信號就是兩種典型的隨機信號。 研究確定信號是研究隨機信號的基礎。本課程只研究確定信號是研究隨機信號的基礎

7、。本課程只討論確定信號。討論確定信號。（1） 連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號 在連續(xù)的時間范圍內在連續(xù)的時間范圍內(-t(-t）有定義的信號）有定義的信號稱為稱為連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號，簡稱，簡稱連續(xù)信號連續(xù)信號。函數(shù)值也為連。函數(shù)值也為連續(xù)時常稱為續(xù)時常稱為模擬信號模擬信號。 這里的這里的“連續(xù)連續(xù)”指函數(shù)的指函數(shù)的定義域是連續(xù)的定義域是連續(xù)的，但，但值域可連續(xù)也可不連續(xù)，可含間斷點。值域可連續(xù)也可不連續(xù)，可含間斷點。根據(jù)信號自變量為連續(xù)或離散的特點進行區(qū)分。根據(jù)信號自變量為連續(xù)或離散的特點進行區(qū)分。2.2.連續(xù)信號和離散信號連續(xù)信號和離散信號 間斷點函數(shù)值的定義：間斷點函數(shù)值的定義： 0002

8、1tftftftof1(t) = sin(t)12to 121-1-11f2(t)值域連值域連續(xù)續(xù)值域不值域不連續(xù)連續(xù)tof1(t) = sin(t)12to 121-1-11f2(t) 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信離散時間信號號，簡稱，簡稱離散信號離散信號。取值為規(guī)定數(shù)值時常稱為。取值為規(guī)定數(shù)值時常稱為數(shù)字信號數(shù)字信號。 如右圖的如右圖的f(t)僅在一些離散時僅在一些離散時刻刻tk(k = 0,1,2,)才有定義，才有定義，其余時間無定義。其余時間無定義。 相鄰離散點的間隔相鄰離散點的間隔T Tk k= =t tk+1k+1- -t tk

9、 k可以相等也可不相等。通常取等可以相等也可不相等。通常取等間隔間隔T T，離散信號可表示為，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信，這種等間隔的離散信號也常稱為號也常稱為序列序列。其中。其中k稱為稱為序號序號。to2t11f(t)-1.521t2t3t4t-1（2） 離散時間信號離散時間信號 這里的這里的“離散離散”指信號的指信號的定義域是離散的定義域是離散的，只在某，只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時間無定義。些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時間無定義。上述離散信號可簡畫為上述離散信號可簡畫為ko211f(k)-1.5212 3 4-1用表達式可寫為用表

10、達式可寫為1,12,01.5,1( )2,20,3140kkkf kkkkk ，其它通常將對應某序號通常將對應某序號m的序列值稱為第的序列值稱為第m個樣點的個樣點的“樣值樣值”?；驅憺榛驅憺閒(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0， k=0 周期信號周期信號(period signal)是定義在是定義在(-(-，) )區(qū)區(qū)間，每隔一定時間間，每隔一定時間T( (或整數(shù)或整數(shù)N) )，按相同規(guī)律重復變，按相同規(guī)律重復變化的信號?；男盘?。連續(xù)周期信號連續(xù)周期信號f(t)滿足滿足 f(t) = f( t + mT )，m = 0,1,2,離散周期信號離散周期信號f(k)滿足滿足 f(k)

11、 = f( k + mN )，m = 0,1,2,不具有周期性的信號稱為不具有周期性的信號稱為非周期信號非周期信號。3.3.周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號滿足上述關系的滿足上述關系的最小最小T(或整數(shù)或整數(shù)N)稱為該信號的周期稱為該信號的周期。例例1 1 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint （1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3

12、t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3)s由于由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，為周期信號，其周期為其周期為T1和和T2的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)2s。（2） cos2t 和和sint的周期分別為的周期分別為T1=s， T2=2s，由，由于于T1/T2為無理數(shù)，故為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。為非周期信號。解：解：兩個周期信號兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為的周期分別為T1和和T2，若其若其周期之比周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號為有理數(shù)，則其和信號x(t

13、)+y(t)仍然是周仍然是周期信號，其周期為期信號，其周期為T1和和T2的最小公倍數(shù)。的最小公倍數(shù)。例例2 2 判斷正弦序列判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是，是否為周期信號，若是，確定其周期。確定其周期。解解: : sinsin2,0, 1, 2,.2sinf kkkmmkm 式中式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：由上式可見：當當2/ 為整數(shù)時為整數(shù)時: 正弦序列具有周期正弦序列具有周期N = 2/ 。當當2/ 為有理數(shù)時為有理數(shù)時: 正弦序列仍具有周期性，但其正弦序列仍具有周期性，但其周期為周期為N= M(2/

14、)，M取使取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。為整數(shù)的最小整數(shù)。當當2/ 為無理數(shù)時為無理數(shù)時: 正弦序列為非周期序列。正弦序列為非周期序列。例例3 3 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。 （1 1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)（1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為的數(shù)字角頻率分別為1 = 3/4 rad，2 = 0.5 rad。2/ 1 = 8/3，2/ 2 = 4為有為有理數(shù)，它們的周期分別為理數(shù)，它們的周期分別為N1 = 8 ，N2 = 4，故

15、：，故： f1(k) 為周期序列且周期為為周期序列且周期為N1和和N2的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)8。 （2 2）sin(2k) 的數(shù)字角頻率為的數(shù)字角頻率為 1 = 2 rad；由于：；由于：2/ 1 = 為無理數(shù)，故：為無理數(shù)，故：f2(k) = sin(2k)為非周期序列為非周期序列 。解解: :由上面幾例可看出：由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和則一定是周期序列。定是周期信號，而兩周期序列之和則一定是周期序列。（1）實信號

16、和復信號的概念）實信號和復信號的概念（2）最常見的復信號復指數(shù)信號）最常見的復信號復指數(shù)信號連續(xù)時間的復指數(shù)信號連續(xù)時間的復指數(shù)信號可表示為可表示為 ,stetft記記js則則 tjeteetftttjsincos即即 tetftcosRe tetftsinIm4.4.實信號和復信號實信號和復信號記記js則則 kjkkjeeekf即即 kekfkcosRe kekfksinIm離散時間的復指數(shù)信號離散時間的復指數(shù)信號可表示為可表示為 ,skekfk = 0,1,2, kjekekfkksincos信號的能量信號的能量EaattfEad)(2deflim信號的功率信號的功率PaattfaPad)

17、(21lim2def（1）連續(xù)時間信號）連續(xù)時間信號5.5.能量信號和功率信號能量信號和功率信號 將信號將信號f (t)施加于施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率電阻上，它所消耗的瞬時功率為為| f (t) |2，在區(qū)間，在區(qū)間( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定義為定義為 若信號若信號f (t)的能量有界，即的能量有界，即0 E ,則稱其為則稱其為能量能量有限信號有限信號，簡稱，簡稱能量信號能量信號。此時。此時P = 0 若信號若信號f (t)的功率有界，即的功率有界，即0 P ,則稱其為則稱其為功率功率有限信號有限信號，簡稱，簡稱功率信號功率信號。此時。此時E = 能量信號能量信號功

18、率信號功率信號2|( )|, 0kEf kP /22/21lim|( )|, NNkNPf kEN 時限信號時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量為能量信號；信號；周期信號周期信號屬于功率信號，而屬于功率信號，而非周期信號非周期信號可能是可能是能量信號，也可能是功率信號。能量信號，也可能是功率信號。 有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如如f (t) = et。（2）離散時間信號）離散時間信號6.6.一維信號和多維信號一維信號和多維信號 從數(shù)學表達式來看，信號可以表示為一個或多從數(shù)學表達式來看，信號可以表示

19、為一個或多個變量的函數(shù)，稱為個變量的函數(shù)，稱為一維一維或或多維多維函數(shù)。函數(shù)。 語音信號語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，這可表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，這是是一維信號一維信號。而一張。而一張黑白圖像黑白圖像每個點每個點(像素像素)具有不具有不同的光強度同的光強度(灰度灰度)，任一點又是二維平面坐標中兩，任一點又是二維平面坐標中兩個變量的函數(shù)，這是個變量的函數(shù)，這是二維信號二維信號。還有更多維變量的。還有更多維變量的函數(shù)的信號。函數(shù)的信號。 本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。7.7.因果信號和反因果信號因果信號和反因果信號 常將常將t = 0時

20、接入系統(tǒng)的信號時接入系統(tǒng)的信號f(t) 即在即在t 0，則將，則將f ()右移；否則左移右移；否則左移。右移右移t t 1f (t-1-1)to211左移左移t t + 1f (t+1+1)to1- -1f (t)to11如如3.3.平移與反轉相結合平移與反轉相結合f (t)to11方法一：方法一：先平移先平移f (t) f (t +2) 再反轉再反轉 f (t +2) f ( t +2)例例2：由右圖：由右圖f (t) 曲線曲線 求求f (2 t)的曲線。的曲線。 2to11 1f (- -t +2+2)- -1to1 1- -2f (t +2+2)左移左移注意：無論是平移還是反轉，注意：無

21、論是平移還是反轉，變換規(guī)則都是針對變換規(guī)則都是針對t t 而言的！而言的！反轉反轉方法二：方法二：再平移再平移 f ( t) f ( t +2)f (t)to112to11 1f (- -t +2+2)右移右移= f (t 2)f (- - t )- -11to反轉反轉f (t) f ( t +2)先反轉先反轉 f (t) f ( t) 如：如：tof ( t )1- -22t 2t 壓縮壓縮to1- -1f (2 t )1t 0.5t 展開展開to1- -4f (0.5 t )4 對于離散信號，由于對于離散信號，由于f (a k) 僅在為僅在為a k 為整數(shù)時才有意為整數(shù)時才有意義，義， 進

22、行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。不作波形的尺度變換。 將將 f (t) f (a t) ， 稱為對信號稱為對信號f (t)的的尺度變換尺度變換。若若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1 ，則展開，則展開 。三、尺度變換（橫坐標展縮）三、尺度變換（橫坐標展縮）平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺度變換相結合tof ( t )1- -22例例3：已知：已知f (t)，畫出，畫出 f ( 4 2t)。 分析：分析：三種運算的次序可任意。但一定要注意三種運算的次序可任意。但一定要注意變換規(guī)則始終

23、是變換規(guī)則始終是對自變量對自變量 t 而言而言的。的。無非是以上三種變換的組合，可無非是以上三種變換的組合，可依次進行這三種變換。依次進行這三種變換。tof ( t )1- -22壓縮，得壓縮，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1f (t -4-4)426to1右移右移4，得，得f (t 4)平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺度變換相結合方法一：先平移、再尺度變換、最后反轉。方法一：先平移、再尺度變換、最后反轉。 f (t) f ( 2t 4)tof ( t )1- -22壓縮，得壓縮，得

24、f (2t)f ( 2t )- -11to1右移右移2，得，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1方法二：先尺度變換、再平移、最后反轉。方法二：先尺度變換、再平移、最后反轉。 f (t) f ( 2t 4)例例4：已知：已知f ( 4 2t) ，畫出，畫出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反轉，得反轉，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展開，得展開，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof ( t )

25、1- -221.4 1.4 階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)階躍函數(shù)和和沖激函數(shù)沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)要用到研究奇異函數(shù)要用到廣義函數(shù)廣義函數(shù)(或分配函數(shù)或分配函數(shù))的理論。首的理論。首先用直觀的方法引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。先用直觀的方法引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。 n to1 (t)一、階躍函數(shù)一、階躍函數(shù)下面采用求下面采用求函數(shù)極限函數(shù)極限的方法定的方法定義階躍函數(shù)。義階躍函數(shù)。ton1n11n21選定一個函數(shù)序列選定一個函數(shù)序列n(t)如圖所示。如圖所示。 0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn階躍函數(shù)性

26、質：階躍函數(shù)性質：（1）可以方便地表示某些信號）可以方便地表示某些信號 f (t)o2t12-1f(t) = 2 (t)- 3 (t-1) + (t-2) f (t)(a)otf(t )(t)(b)otf(t)(t-t1)- (t-t2)ot(c)t1t2（2）表示信號的作用區(qū)間）表示信號的作用區(qū)間 （3）積分）積分 )(d)(ttt二、沖激函數(shù)二、沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對是個奇異函數(shù)，它是對幅度極大幅度極大，作作用時間極短用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由殊的方式定義（由狄拉克狄拉克最早提出）最早提出）

27、( )0 0( ) 0 ( )1t dttttt to(1) (t)也可采用下列也可采用下列直觀定義直觀定義：對：對n(t)求求導得到如圖所示的矩形脈沖導得到如圖所示的矩形脈沖pn(t) 。 topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn 高度無窮大，寬度高度無窮大，寬度無窮小，面積固定為無窮小，面積固定為1的對稱窄脈沖。的對稱窄脈沖。 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關系：沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關系：topn(t)n1n12ntttpnnd)(d)(to1 (t)to(1) (t)nntttd)(d)( )( )dttxx可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導數(shù)也存在?？梢?，引入沖激函數(shù)之后，間斷點

28、的導數(shù)也存在。如：如：tof (t)21- -1f(t) = 2(t +1) - 2(t -1)f (t) = 2(t +1) - 2(t -1)求導求導三、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義三、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義 1. 1.廣義函數(shù)的概念廣義函數(shù)的概念 普通函數(shù)，如普通函數(shù)，如 y=f(t)是將一維實數(shù)空間的數(shù)是將一維實數(shù)空間的數(shù) t 經(jīng)過經(jīng)過 f 所規(guī)定的運算映射為一維實數(shù)空間的數(shù)所規(guī)定的運算映射為一維實數(shù)空間的數(shù) y。 將普通函數(shù)的概念推廣，廣義函數(shù)可以這樣定將普通函數(shù)的概念推廣，廣義函數(shù)可以這樣定義：義： 選擇一類性能良好的函數(shù)選擇一類性能良好的函數(shù) (t) ，稱為檢驗函數(shù)，稱為檢驗函數(shù)(相當

29、于自變量相當于自變量)，一個廣義函數(shù)，一個廣義函數(shù) g(t) 是對檢驗函數(shù)空是對檢驗函數(shù)空間中每個函數(shù)間中每個函數(shù) (t) 賦予一個數(shù)值賦予一個數(shù)值 N 的映射，該數(shù)與的映射，該數(shù)與廣義函數(shù)廣義函數(shù) g(t) 和檢驗函數(shù)和檢驗函數(shù) (t) 有關，記作有關，記作g(t)。廣義函數(shù)可寫為：廣義函數(shù)可寫為：( ), ( )( ) ( )N g ttg tt dt表表1.1 1.1 廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對應關系廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對應關系2.2.廣義函數(shù)的性質廣義函數(shù)的性質性質性質1 1（相等）：（相等）：( ) ( )( ), ( )( ), ( )( ) ( )f tt dtN f ttN g t

30、tg tt dt若若( )( )f tg t則則性質性質2 2（相加）：（相加）：12( ), ( )( ), ( )( ), ( )N g ttN g ttN g tt若若12( )( )( )g tg tg t則則性質性質3 3（尺度變換）：（尺度變換）：1(), ( )( ),( )tN g attN g taa性質性質4 4（微分）：（微分）：( )( )( ), ( )( ),( 1)( )nnnN gttN g tt3.3.沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義 定義定義 按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)由下式確定按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)由下式確定( ) ( )(0)tt dt 即沖

31、激函數(shù)即沖激函數(shù)(t)作用于檢驗函數(shù)作用于檢驗函數(shù)(t)的效果是給的效果是給它賦值為它賦值為(0)。 這常稱為這常稱為沖激函數(shù)沖激函數(shù)的的取樣性質取樣性質（或篩選性質）。（或篩選性質）。簡言之，能從檢驗函數(shù)簡言之，能從檢驗函數(shù) (t) 中篩選出函數(shù)值中篩選出函數(shù)值 (0)的的廣義函數(shù)就稱為沖激函數(shù)廣義函數(shù)就稱為沖激函數(shù) (t) 。實際上，許多函數(shù)、序列的極限都具有如上的篩選實際上，許多函數(shù)、序列的極限都具有如上的篩選性質，可以用它們來定義性質，可以用它們來定義沖激函數(shù)沖激函數(shù)(t)，例如：，例如：2()( )limbtbtbe高斯（鐘形）函數(shù)：高斯（鐘形）函數(shù)：sin()( )limbbttb

32、t取樣函數(shù)：取樣函數(shù)：01( )lim2tbbteb雙邊指數(shù)函數(shù)：雙邊指數(shù)函數(shù)：-4-3-2-10123401texp(-t2)f(t)-6-4-20246-0.4-0.60.81Sa(t)-sinc(t)tSa(t)-sinc(t)220( )lim()bbtbt以及：以及：四、階躍函數(shù)、沖激函數(shù)的導數(shù)和積分四、階躍函數(shù)、沖激函數(shù)的導數(shù)和積分 1.1.階躍函數(shù)階躍函數(shù) dttdt tx dxttr t2.2.沖激函數(shù)沖激函數(shù) tx dxt tdttdtx dxt 10t dtt dt1.1.與普通函數(shù)的乘積（取樣性質）

33、與普通函數(shù)的乘積（取樣性質）若若 f(t) 在在 t = 0 處存在，則處存在，則: )0(d)()(ftttf)()()()(atafattf)(d)()(aftattf)()0()()(tfttf類似有，若類似有，若 f(t) 在在 t = a 處存在（處存在（移位移位），則），則: 五、沖激函數(shù)的性質五、沖激函數(shù)的性質)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt例例1： ?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1(12t?)(edd2ttt練習：練習： 0222 ,110,tt 其它(t)(e2)()(e

34、2)(e)(edd2222tttttttttt f(t)(t) = f(t)(t) + f(t) (t)f(t)(t) = f(t)(t) f(t) (t) = f(0)(t) f(0)(t) 4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt證明：證明：沖激函數(shù)的導數(shù)沖激函數(shù)的導數(shù)(t) （也稱沖激偶）（也稱沖激偶） tftfttf00( ) ( )d(0)f tttf(t) 的廣義函數(shù)定義的廣義函數(shù)定義( )( )( )( )d( 1)(0)nnnf tttf (n)(t) 的廣義函數(shù)定義的廣義函數(shù)定義類似有（移位）類似有（移位）: ( ) ()d( )f ttatf a ( )(

35、 )( )()d( 1)( )nnnf ttatfa 2.2.( (t t) )的尺度變換的尺度變換)(1|1)()()(taaatnnn特例特例: :()at0,d1() ( )d( ) ( )(0)aaaxatxxatttxaaa1.若，則，令則：0,dd() ( )d( ) ( )( ) ( )1(0)aaaxatxxxxatttxxaaaaa 2.若，則，令則：1()( )|atta推論推論: :(2t) = 0.5 (t) )() 1()()()(ttnnn(2)當當a = 1時時所以，所以， ( t) = (t) , 即即 (t)為偶函數(shù)為偶函數(shù) ( t) = (t)，即，即 (t

36、)為奇函數(shù)為奇函數(shù)(1)(|1)(taat001()()|tatttaa已知已知 f(t)，畫出，畫出 g(t) = f (t) 和和 g(2t) o2tf (t)-24求導，得求導，得g(t) (4)o2tg(t) = f (t)-2-1(?)壓縮，得壓縮，得g(2t) o1tg(2t)- -1- -1(2)3.3.復合函數(shù)形式的沖激函數(shù)復合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實際中有時會遇到形如實際中有時會遇到形如 f(t) 的沖激函數(shù)，其中的沖激函數(shù)，其中f(t)是是普通函數(shù)，并且普通函數(shù)，并且 f(t) = 0有有n個互不相等的實根個互不相等的實根 ti ( i=1，2，n) dd( ) ( ) ( )

37、ddf tf tf ttt1d ( ) ( )( ) df tf tftt f(t) 圖示說明：若圖示說明：若 f(t) = t2 4(t2 4) = 1 (t+2) + (t 2)(t2 4) = 1 (t+2) + (t 2)221 d(4)(4)2 dtttt1 d1(2)(2)2 dtttt1(2)(2)2ttt11(2)(2)2 ( 2)2 2tt 11(2)(2)44tt一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(niiitttftf1)()( 1)( 這表明，這表明， f(t) 是位于各是位于各ti處，強度為處，強度為 的的n個沖激函數(shù)構成的沖激函數(shù)序列。個沖激函數(shù)構成

38、的沖激函數(shù)序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根， f(t) 無意義。無意義。 取樣性質：取樣性質： f(k) (k) = f(0) (k)0()()(fkkfkf(k) (k k0) = f(k0) (k k0)例例?)(kk?)()5(kkk這兩個序列是普通序列這兩個序列是普通序列（1）單位）單位(樣值樣值)序列序列(k)0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)六、序列六、序列 ( (k k) ) 和和 ( (k k) )（2）單位階躍序列）單位階躍序列(k)0, 00, 1)(defkkko11-1k (

39、k)23（3）(k)與與(k)的關系的關系(k) = (k) (k 1) 0( )()jkkj例例：計算下列各題：計算下列各題sin(2 )( )dtttt32(351)(1)dttttt3(5) ( )d2ttt(2)( )dtxxx（1）（2）（3）（4）解解： sin(2 )( )dtttt（1）0sin(2 )lim2ttt32(351)(1)dttttt（2）32121(351)(365)2ttttttt 3(5) ( )d2ttt（3）330(5)2 ( )d2(5)10ttttt(2)( )dtxxx（4）2( )( 1) ( )d2 ( )( )txxxtt 1.5 1.5 系

40、統(tǒng)的描述系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程微分方程，描述，描述離散動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型是離散動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型是差分方程差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)一、連續(xù)系統(tǒng)1.1.系統(tǒng)的數(shù)學模型建立微分方程系統(tǒng)的數(shù)學模型建立微分方程圖示圖示RLC電路，以電路，以uS(t)作激勵，以作激勵，以uC(t)作為響應，求系作為響應，求系統(tǒng)響應。統(tǒng)響應。uS(t)uC(t)LRCuL(t)uR(t)可列出回路電壓方程（可列出回路電壓方程（KVL）：）： tutututuSCRL由各元件的電流、電壓關系（由各元件的電流、電壓關系（VAR）：）： tuCtiC tuRCtRiuCR t

41、uLCtiLuCL 22dddd(0)(0)CCCSCCuuLCRCuuttuu，代入并整理得：代入并整理得：uS(t)uC(t)LRCuL(t)uR(t)二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程抽去具有的物理意義，微分方程可寫成：抽去具有的物理意義，微分方程可寫成：22102d( )d ( )( )( )ddy ty taaa y tf ttt22102d( )d ( )( )( )ddy ty taaa y tf ttt這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。MxCkf (t)k為彈簧常數(shù)，為彈簧常數(shù)，M為物體質量，為物體質量，C為為

42、減振液體的阻尼系數(shù)，減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離為物體偏離其平衡位置的位移，其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。為初始外力。其運動方程為其運動方程為)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM能用相同方程描述的系統(tǒng)稱為能用相同方程描述的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)。 tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(事實上，對于任意單輸入單輸出的事實上，對于任意單輸入單輸出的LTI連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，我們都可以利用類似的方法建立其數(shù)學模型，它們我們都可以利用類似的方法建立其數(shù)學模型，它們的數(shù)學模型都是如下形式的微分方程：的數(shù)學模型

43、都是如下形式的微分方程：2.2.系統(tǒng)的框圖描述系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從上述方程從數(shù)學角度數(shù)學角度來說代表了某些運算關系：來說代表了某些運算關系：相乘、微分、相加運算相乘、微分、相加運算。將這些基本運算用一些理。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖模擬框圖，簡稱，簡稱框圖框圖?；静考卧静考卧校河校?積分器：積分器：f (t)txxfd)(加法器：加法器：f 1(t)f 2(t)f 1(t) - f 2(t)數(shù)乘器：數(shù)乘器：af (t)或aaf (t)積分

44、器的抗干擾性積分器的抗干擾性比微分器好。比微分器好。系統(tǒng)模擬系統(tǒng)模擬：實際系統(tǒng)實際系統(tǒng)方程方程模擬框圖模擬框圖實驗室實現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）實驗室實現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）指導實際系統(tǒng)設計指導實際系統(tǒng)設計例例1：已知：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。，畫框圖。解解：將方程寫為：將方程寫為 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)y(t)y(t)y(t)abf(t)一般步驟：一般步驟： 將方程寫為最高階等于其他階和的形式將方程寫為最高階等于其他階和的形式按求和關系畫圖按求和關系畫圖n n階畫出階畫出n n個積分器個積分器例例2：已知：已知y”(t) + 3y(t)+ 2

45、y(t) = 4f(t) + f(t)，畫框圖。，畫框圖。解解：等號右側含：等號右側含f(t)的導數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。的導數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設輔助函數(shù)設輔助函數(shù)x(t)滿足滿足x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t)?？赏茖С隹赏茖С鰕(t) = 4x(t) + x(t)，它滿足原方程它滿足原方程。例例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。y(t)3423f (t)x(t)x(t)x”(t)解：設輔助變量解：設輔助變量x(t)如圖。如圖。消去輔助變量消去輔助變量x(t) ，得，得:y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(

46、t)+ 3f(t)由第二個加法器可列方程：由第二個加法器可列方程：y(t) = 4x(t)+ 3x(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) 由第一個加法器可列方程：由第一個加法器可列方程：練習練習1：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。x”(t)x(t)x(t) y = x” 2x y” + 3y + 2y = f ” 2f x” = f 3x 2x 即即x” + 3x + 2x = f x”(t)x”(t)x(t)x(t) x” + 2x+ 3x = fy = x” 4xy” + 2y+

47、3y = f ” 4f例例1：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元元/元，求第元，求第k個月初存折上的款數(shù)。個月初存折上的款數(shù)。解解：設第：設第k個月初的款數(shù)為個月初的款數(shù)為y(k),這個月存入金額為這個月存入金額為f(k),上個月初的款數(shù)為上個月初的款數(shù)為y(k- -1)，利息為，利息為y(k- -1),則則 y(k)=y(k- -1)+ y(k- -1)+f(k)即：即： y(k)- -(1+)y(k- -1) = f(k)初始條件：若設開始存款月為初始條件：若設開始存款月為k=0，則有，則有y(0)= f(0)。二、離散系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)1.

48、1.系統(tǒng)的數(shù)學模型建立差分方程系統(tǒng)的數(shù)學模型建立差分方程上述方程稱為上述方程稱為y(k)與與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂之間所滿足的差分方程。所謂差分方程差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。方程。輸出序列項最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為輸出序列項最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。上述為一階差分方程。由由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。描述描述LTI系統(tǒng)的是系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程。 nkfbnkfbkfbkfbnkyankyakyak

49、ymmn0110111111事實上，對于任意的單輸入單輸出的事實上，對于任意的單輸入單輸出的LTI離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)，我們都可以利用類似的方法建立其數(shù)學模型，它們我們都可以利用類似的方法建立其數(shù)學模型，它們的數(shù)學模型都是如下形式的差分方程：的數(shù)學模型都是如下形式的差分方程：2.2.系統(tǒng)的框圖描述系統(tǒng)的框圖描述基本部件單元基本部件單元有：數(shù)乘器、加法器、遲延單元（移有：數(shù)乘器、加法器、遲延單元（移位器）位器）f 1(k)f 2(k)f 1(k) - f 2(k)f (k)D Df (k-1)單位延遲單元：單位延遲單元：加法器：加法器：數(shù)乘器：數(shù)乘器：af (k)或aaf (k)例例2：已知框圖，寫

50、出系統(tǒng)的差分方程。：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。y(k)D DD D5423f (k)x(k)x(k-1)x(k-2)解：解：設輔助變量設輔助變量x(k)如圖如圖由第二個加法器可列方程：由第二個加法器可列方程： y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去輔助變量消去輔助變量x(k) ，得：，得： y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 由第一個加法器可列方程：由第一個加法器可列方程： x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)方程方程框圖用變換域方法和梅森公式簡

51、單，后面討論?？驁D用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。練習練習2：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。x(k)x(k-1)x(k-2)y(k) = 2x(k-1) x(k-2) y(k) 2y(k-1) + 4y(k-2) = 2f (k-1) f(k-2) x(k) = f(k) + 2x(k-1) 4x(k-2)即即x(k) 2x(k-1) + 4x(k-2) = f(k)x(k)x(k-1)x(k-2)x(k) 2x(k-2) = f(k)y(k) = 2x(k) + 3x(k-1) 4x(k-2)y(k) 2y(k-2) = 2f(k) + 3f(k-1)

52、4f(k-2)（2）對框圖中各加法器分別列出輸入、輸出方程。）對框圖中各加法器分別列出輸入、輸出方程。（3）由列出的各方程消去中間變量。）由列出的各方程消去中間變量。（當系統(tǒng)中有兩個和兩個以上的加法器時）（當系統(tǒng)中有兩個和兩個以上的加法器時）連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)，選最系統(tǒng)，選最右右端積分器的端積分器的輸出輸出為中間變量為中間變量離散離散系統(tǒng)，選最系統(tǒng)，選最左左端延遲單元端延遲單元輸入輸入為中間變量為中間變量小結：小結：已知系統(tǒng)框圖求系統(tǒng)微分方程或差分方程的一般步驟為：已知系統(tǒng)框圖求系統(tǒng)微分方程或差分方程的一般步驟為：（1）如有需要先選擇中間變量。）如有需要先選擇中間變量。1.6 1.6 系統(tǒng)的性質系統(tǒng)

53、的性質一、系統(tǒng)的定義一、系統(tǒng)的定義 若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按照一定規(guī)律若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按照一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。 電子系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側重于電子系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側重于局部，系統(tǒng)側重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。局部，系統(tǒng)側重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類及性質二、系統(tǒng)的分類及性質 可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對系統(tǒng)進行分類的方法。下面討論幾種常用的提出對系統(tǒng)進行分類的方法。下面討論幾種常用的分類法。分類法。1.1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系

54、統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號，則稱該系統(tǒng)為若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱為，簡稱為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)。 若系統(tǒng)的輸入信號是離散信號，則稱該系統(tǒng)為若系統(tǒng)的輸入信號是離散信號，則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)，簡稱為，簡稱為離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)。2.2.動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài)動態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)或或記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)。 含有記憶元件含有記憶元件(電容、電感等電容、電感等)的

55、系統(tǒng)是動態(tài)系的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱統(tǒng)。否則稱即時系統(tǒng)即時系統(tǒng)或或無記憶系統(tǒng)無記憶系統(tǒng)。3.3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)4.4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質的系統(tǒng)稱為滿足線性性質的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。(1) (1) 線性性質線性性質系統(tǒng)的激勵系統(tǒng)的激勵f ()所引起的響應所引起的響應y() 可簡記為可簡記為y() = T f ()線性性質包括兩方面：線性性質包括兩方面：齊次性齊次性和和可加性可加性。 若系統(tǒng)的激勵若系統(tǒng)的激勵f ()增大增大a倍時，其響應倍時，其響應y()也增大也增大a倍，倍，即即T af () = a

56、T f (), 則稱該系統(tǒng)是則稱該系統(tǒng)是齊次的齊次的。 若系統(tǒng)對于激勵若系統(tǒng)對于激勵f1()與與f2()之和的響應等于各個激勵之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和所引起的響應之和,即即T f1()+ f2() =T f1()+T f2() , 則稱該系統(tǒng)是則稱該系統(tǒng)是可加的可加的。若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的線性的，即即 Ta f1() + b f2() = a T f1() + bT f2() (2) (2) 動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵 f () 有關，而且與系統(tǒng)的初有關，而

57、且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)始狀態(tài)x(0)有關。有關。 初始狀態(tài)也稱初始狀態(tài)也稱“內部激勵內部激勵”。完全響應完全響應: y () = T x(0) , f () 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應: yf () = T 0 , f () 零輸入響應零輸入響應: yx () = T x(0) , 0 當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：y () = yf() + yx() = T 0 , f () + T x(0)，0可分解性可分解性：零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性： T0, a f () = aT0, f () T0, f1() + f2() = T0, f1 () +

58、T0, f2 () 或或 T0, af1() +bf2() = aT0, f1 () +bT0, f2 () 即系統(tǒng)全響應可分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應的和即系統(tǒng)全響應可分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應的和即零狀態(tài)響應應滿足線性性質即零狀態(tài)響應應滿足線性性質小結：動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時為線性系統(tǒng)小結：動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時為線性系統(tǒng)：a.a.可分解性可分解性b.b.零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性c.c.零輸入線性零輸入線性即零輸入響應應滿足線性性質即零輸入響應應滿足線性性質 Tax(0),0= aT x(0),0 Tx1(0) + x2(0) ,0 = Tx1(0),0 +Tx2(0),0或或 Ta

59、x1(0) +bx2(0) ,0 = aTx1(0),0+bTx2(0),0零輸入線性零輸入線性：例例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)思路：對此類問題，只需按前述依次判斷動態(tài)系統(tǒng)線思路：對此類問題，只需按前述依次判斷動態(tài)系統(tǒng)線性的三個條件即可。性的三個條件即可。解解：（1）由）由y (t)表達式得：表達式得： yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t)

60、 = 3 x(0) 顯然，顯然， y (t) yf(t) yx(t) 不滿足可分解性，不滿足可分解性，故為非線性故為非線性（2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|由由y (t)表達式可得：表達式可得： yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 滿足可分解性；滿足可分解性；由于由于T a x(0) ,0 =a x(0)2 a yx(t)不滿足零輸入線性，故為非線性系統(tǒng)。不滿足零輸入線性，故為非線性系統(tǒng)。（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)由由y (t)表達式可得：表達式可得：yf(t) = |