直線一級(jí)倒立擺的仿真分析

1、直線一級(jí)倒立擺的仿真分析作者 黃俊杰摘要:應(yīng)用牛頓力學(xué)定律建立了直線一級(jí)倒立擺傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等數(shù)學(xué)模型,并分析其穩(wěn)定性、可控性和可觀測(cè)性?！?】在此基礎(chǔ)上,分別研究經(jīng)典控制方法和現(xiàn)代控制方法在一級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用,包括跟PID控制算法、系統(tǒng)軌跡/頻率響應(yīng)分析與校正、線性二次最優(yōu)控制算法等,并在MATLAB/SIMULINK仿真平臺(tái)上對(duì)這些控制算法的效果進(jìn)行仿真,可以取得不同的控制效果。關(guān)鍵詞:直線一級(jí)倒立擺 數(shù)學(xué)模型 經(jīng)典控制方法 現(xiàn)代控制方法 MATLAB/SIMULINK引言：倒立擺系統(tǒng)是研究控制理論的一種典型的實(shí)驗(yàn)裝置,具有成本低廉,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)。然而倒

2、立擺系統(tǒng)具有高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強(qiáng)耦合特性,是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)是控制領(lǐng)域中用來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案,它對(duì)一類不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制以及對(duì)深入理解反饋控制理論具有重要的意義。倒立擺系統(tǒng)在研究雙足機(jī)器人直立行走、火箭發(fā)射過(guò)程的姿態(tài)調(diào)整和直升機(jī)飛行控制領(lǐng)域中有重要的現(xiàn)實(shí)意義,相關(guān)的科研成果已經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。【2】伴隨著控制理論的不斷發(fā)展,對(duì)倒立擺的控制也出現(xiàn)了采用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和人工智能控制理論等多種控制理論的方案和控制方法。本文首先建立了直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型, PID控制算法、系統(tǒng)軌跡/頻率響應(yīng)分析與校正、線性二次最優(yōu)控

3、制算法對(duì)模型進(jìn)行仿真分析。一、牛頓歐拉方法建模 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1-1所示。表1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的物理參數(shù)表M小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置擺桿與垂直向上方向的夾角擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 圖1 直線一級(jí)倒立擺模型 圖1-2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 圖2 小車及擺桿受力分析圖 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程: (1) 由擺桿水平方向的受力

4、進(jìn)行分析可以得到下面等式: (2)即: (3) 把這個(gè)等式代入(1)式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程: (4) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程: (5) (6) 力矩平衡方程如下: (7) 注意:此方程中力矩的方向，由于,故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去 P 和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程: (8)設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進(jìn)行近似處理: 用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下: (9) 對(duì)方程組(9)式進(jìn)行拉普拉斯變換，得到方程組: (10) 注意:推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初

5、始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到: (11)如果令 ,則有: (12) 把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到:(13) 整理后得到傳遞函數(shù):(14) 其中 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為: (15)方程組對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下:(16) 整理后得到以外界作用力(u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F)作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:(17) (18) 由方程組(9)得第一個(gè)方程為: (19) 對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有: (20) 于是可以得到: (21) 化簡(jiǎn)得到: (22) 設(shè),則可以得到以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程: (23) (24)以小車加速度為控制量，擺桿角度為被控對(duì)象，此時(shí)系統(tǒng)

6、的傳遞函數(shù)為: (25) 表1.2 便攜式直線一級(jí)倒立擺實(shí)際系統(tǒng)的物理參數(shù) 擺桿質(zhì)量m 擺桿長(zhǎng)度L擺桿轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心長(zhǎng)度l重力加速度g 0.0426 0.305 0.152 9.81將表1.1中的物理參數(shù)代入上面的系統(tǒng)狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)中得到系統(tǒng)精確模型。系統(tǒng)狀態(tài)空間方程: (26) (27)系統(tǒng)傳遞函數(shù) (28)二、系統(tǒng)的階躍響應(yīng)分析與可控性分析2.1 系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析上面已經(jīng)得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程式，對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在MATLAB指令區(qū)中鍵入以下命令:其階躍響應(yīng)曲線如圖： 圖3 小車位置和擺桿角度階躍響應(yīng)曲線 可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的，即未校正前的系統(tǒng)是不

7、穩(wěn)定的。2.2 系統(tǒng)可控性分析由（26）式和（27）式可以得到: 在MATLAB中計(jì)算對(duì)應(yīng)的秩。MATLAB計(jì)算過(guò)程如下: 從計(jì)算結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩4等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)4，系統(tǒng)的輸出完全可控性矩陣的秩2等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)2，所以系統(tǒng)是可控的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。三、根軌跡校正實(shí)驗(yàn) 閉環(huán)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的基本特性與閉環(huán)極點(diǎn)的位置緊密相關(guān)，如果系統(tǒng)具有可變的環(huán)路增益，則閉環(huán)極點(diǎn)的位置取決于所選擇的環(huán)路增益，從設(shè)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)看，對(duì)于有些系統(tǒng)，通過(guò)簡(jiǎn)單的增益調(diào)節(jié)就可以將閉環(huán)極點(diǎn)移到需要的位置，如果只調(diào)節(jié)增益不能滿足所需要的性能時(shí)，就需要設(shè)計(jì)校正器，常

8、見(jiàn)的校正器有超前校正、滯后校正以及超前滯后校正等。當(dāng)系統(tǒng)的性能指標(biāo)以時(shí)域形式提出時(shí)，通常用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正?！?】基于根軌跡法校正的基本思想是：假設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)可由靠近虛軸的一對(duì)共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)來(lái)表征，因此，可把對(duì)系統(tǒng)提出的時(shí)域性能指標(biāo)的要求轉(zhuǎn)化為一對(duì)期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。確定這對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置后，首先根據(jù)繪制根軌跡的相角條件判斷一下它們是否位于校正前系統(tǒng)的根軌跡上。如果這對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)正好落在校正前系統(tǒng)的根軌跡上，則無(wú)需校正，只需調(diào)整系統(tǒng)的根軌跡增益即可；否則，可在系統(tǒng)中串聯(lián)一個(gè)超前校正裝置: （29）通過(guò)引入新的開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 和新的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)來(lái)改變系統(tǒng)原根軌跡的走向，使校正后系統(tǒng)的根

9、軌跡經(jīng)過(guò)這對(duì)期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。3.1 根軌跡分析 前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，輸入為小車的加速度，輸出為倒立擺系統(tǒng)擺桿的角度，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為： 可知系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)。 畫(huà)出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖1-8所示，可以看出傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，然后沿著虛軸向上，這意味著無(wú)論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。 MATLAB繪制未校正前的系統(tǒng)根軌跡程序如下:其根軌跡如圖： 圖4 未校正前的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡 MATLAB繪制未校正前的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線程序如下: 3.

10、2 根軌跡校正器設(shè)計(jì)及仿真 直線一級(jí)倒立擺的根軌跡校正可以轉(zhuǎn)化為如下的問(wèn)題【11】：對(duì)于傳遞函數(shù)為： 的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器使得校正后系統(tǒng)的性能指標(biāo)如下： 1.調(diào)節(jié)時(shí)間；2.最大超調(diào)量；根軌跡設(shè)計(jì)步驟【5】如下：1. 確定閉環(huán)期望極點(diǎn)的位置，由最大超調(diào)量： （30）可以得到，取，由得rad，其中為位于第二象限的極點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與實(shí)軸負(fù)方向的夾角。所編程序?yàn)椋?圖5 性能指標(biāo)與根軌跡關(guān)系圖 又由，可以得到，取，于是可以得到期望的閉環(huán)極點(diǎn)=。所編程序?yàn)椋?. 未校正系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸和虛軸上，不通過(guò)閉環(huán)期望極點(diǎn)，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，設(shè)控制器為： 3. 計(jì)算超前校正裝置應(yīng)提供的相角，已知系統(tǒng)原來(lái)

11、的極點(diǎn)在主導(dǎo)極點(diǎn)產(chǎn)生的滯后相角和為： （31） 所以一次校正裝置提供的相角為：4. 設(shè)計(jì)超前校正裝置，已知，對(duì)于最大的值的角度：圖6 根軌跡校正計(jì)算圖求出超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)，分別為：程序如下：校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： （32）5. 由幅值條件，并設(shè)反饋為單位反饋，即。 （33） 求得： 6. 于是我們得到了系統(tǒng)的控制器： （34） 校正后系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示： 圖7 校正后系統(tǒng)根軌跡 校正后的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如下圖所示： 圖8 超前校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線可以看出，系統(tǒng)有較好的穩(wěn)定性，但系統(tǒng)存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差，所以只通過(guò)超前校正設(shè)計(jì)的校正器并不是最優(yōu)的，為使穩(wěn)態(tài)性能滿足要求，可以通過(guò)

12、在串聯(lián)滯后校正器的方法。滯后校正器設(shè)計(jì)如下：但由于能力有限，通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)依舊未能將滯后器設(shè)計(jì)成功，所以最后放棄了這種方法。但分析超前控制器中的Kc，a，b變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論： 增益Kc，超調(diào)量；調(diào)節(jié)時(shí)間；最終穩(wěn)態(tài)值。 a, 超調(diào)量；調(diào)節(jié)時(shí)間；最終穩(wěn)態(tài)值。 b, 超調(diào)量；調(diào)節(jié)時(shí)間；最終穩(wěn)態(tài)值。為了使系統(tǒng)最終達(dá)到設(shè)計(jì)要求，對(duì)校正器不停的修改：圖9不同k，a，b階躍圖最后使得當(dāng)Kc=3000，a=10，b=200時(shí)，得到以下圖滿足設(shè)計(jì)要求。圖圖10 超前校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 四、頻率響應(yīng)校正實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在頻率響應(yīng)方法中，我們?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)改變輸入信號(hào)的頻率，研究其

13、產(chǎn)生的響應(yīng)。頻率響應(yīng)可以采用以下兩種比較方便的方法進(jìn)行分析，一種為bode圖或?qū)?shù)坐標(biāo)圖，bode圖采用兩幅分離的圖來(lái)表示，一幅表示幅值和頻率的關(guān)系，一幅表示相角和頻率的關(guān)系；一種是極坐標(biāo)圖，極坐標(biāo)圖表示的是當(dāng)從0變化到無(wú)窮大時(shí)，向量端點(diǎn)的軌跡，極坐標(biāo)圖也常稱為奈奎斯特圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)使我們有可能根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)特性信息，研究線性閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性?！?】4.1 頻率響應(yīng)分析由直線一級(jí)倒立擺的傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖。 圖11 系統(tǒng)波特圖從上圖可知系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位于右半S平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)

14、從-到+變化時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1點(diǎn)p圈，其中p為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺，由圖我們可以看出，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，因此需要沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1點(diǎn)一圈?？梢钥闯觯到y(tǒng)的奈奎斯特圖并沒(méi)有逆時(shí)針繞-1點(diǎn)一圈，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)控制器來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)。4.2 頻率響應(yīng)校正器設(shè)計(jì)直線一級(jí)倒立擺的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)可以表示為如下問(wèn)題?？紤]一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10，相位裕量為，增益裕量等于或大于10分貝。根據(jù)要求，控制器設(shè)計(jì)如下：1.選擇控制器，上面我們已經(jīng)得到了系統(tǒng)的波特圖，可以看出，給系統(tǒng)增

15、加一個(gè)超前校正就可以滿足設(shè)計(jì)要求，設(shè)超前校正裝置為： （35） 已知校正系統(tǒng)具有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)： (式中) 2.根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差要求計(jì)算增益：計(jì)算可得：于是有： （36） 圖12 增加增益后系統(tǒng)波特圖3.可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為0o，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的相位裕量為50o，因此需要增加的相位裕量為50o，增加超前校正裝置會(huì)改變波特圖的幅值曲線，這時(shí)增益交界頻率會(huì)向右移動(dòng)，必須對(duì)增益交界頻率增加所造成的 的相位滯后增量進(jìn)行補(bǔ)償，因此，假設(shè)需要的最大相位超前量近似等于55o。 ，求得：4.確定未校正系統(tǒng)幅值，由波特圖確定幅值對(duì)應(yīng)的頻率，我們選擇此頻率作為新的增益交界頻率，這一頻率相應(yīng)于，即，于是： 5

16、.于是校正裝置確定為：設(shè)計(jì)程序如下：6.增加校正后系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特曲線圖如下： 圖13 校正后系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特曲線圖 從波特圖中可以看出,系統(tǒng)具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈奎斯特圖中可以看出，曲線繞-1點(diǎn)逆時(shí)針一圈，因此校正后的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下： 圖14 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線可以看出，系統(tǒng)在0.1秒內(nèi)可以達(dá)到平衡。并且超調(diào)較小； 五、PID校正實(shí)驗(yàn)經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型。PID控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確的模型，在實(shí)際控制中應(yīng)用較廣【7】。在控制理論和技

17、術(shù)高速發(fā)展的今天，工業(yè)過(guò)程控制中95%以上的控制回路都具有PID結(jié)構(gòu)，并且許多高級(jí)控制都是以PID控制為基礎(chǔ)的。5.1 PID控制分析由前面的討論已知實(shí)際系統(tǒng)的物理模型： 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上的情況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如圖1-27，圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。圖15 PID控制結(jié)構(gòu)框圖其中此次實(shí)驗(yàn)只考慮控制擺桿的角度，小車的位置是不受控的，即擺桿角度的單閉環(huán)控制，立起擺桿后，會(huì)發(fā)現(xiàn)小車向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)直到碰到限位信號(hào)。那么要使倒立擺穩(wěn)定在固定位置，還需要增加對(duì)電機(jī)位置的閉環(huán)控制，這就形成了擺桿角度和電機(jī)位置的雙閉環(huán)控制。立擺后表現(xiàn)

18、為電機(jī)在固定位置左右移動(dòng)控制擺桿不倒。【8】5.2 PID控制參數(shù)整定及Simulink仿真實(shí)驗(yàn)由系統(tǒng)的實(shí)際模型： 在MATLAB Simulink 下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。 圖16 直線一級(jí)倒立擺PID控制仿真模型 先設(shè)置PID控制器為P控制器，令，得到以下仿真結(jié)果： 圖17 擺桿角度響應(yīng)曲線 從圖1-26中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量， ,得到以下仿真結(jié)果： 圖18 改變控制量后擺桿角度響應(yīng)曲線從圖中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為0.8s。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數(shù)，令。 圖19 增加微分控制參數(shù)后擺桿角度響應(yīng)曲線圖20 增加微分積分控制參數(shù)后擺桿角度響應(yīng)曲線從上面

19、仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在0.2秒內(nèi)達(dá)到平衡，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差也比較小。但超調(diào)相對(duì)較大 。 圖21 施加PID控制后小車位置響應(yīng)曲線可以看出，由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會(huì)往一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，PID控制分析中的最后一段，若是想控制電機(jī)的位置，使得倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在固定位置附近，那么還需要設(shè)計(jì)位置PID閉環(huán)。六、LQR控制實(shí)驗(yàn)前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與可控性進(jìn)行了分析，下面我們針對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用LQR法設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié)控制器，控制擺桿保持豎直向上平衡的同時(shí)，跟蹤小車的位置?！?】6.1 LQR

20、控制分析 LQR控制器是應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制原理設(shè)計(jì)的控制器?！?0】它的任務(wù)在于，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過(guò)多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或可線性化的，并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。它的解很容易獲得，并且可以達(dá)到非常好的控制效果，因此在工程上有廣泛的應(yīng)用。 先理解二次型性能指標(biāo)（泛函）。二次型性能指標(biāo)一般形式如下： 其中，維半正定狀態(tài)加權(quán)矩陣；維正定控制加權(quán)矩陣；維半正定終端加權(quán)矩陣；在工程實(shí)際中，和是對(duì)稱矩陣，常取對(duì)角陣。最優(yōu)控制的目標(biāo)就是使，則其實(shí)質(zhì)在于，用不大的控制來(lái)保持較小的誤

21、差，從而達(dá)到能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。6.2 LQR控制器設(shè)計(jì) 系統(tǒng)狀態(tài)方程為: （37） 二次型性能指標(biāo)函數(shù): （38）其中:加權(quán)矩陣Q和R是用來(lái)平衡狀態(tài)變量和輸入向量的權(quán)重, Q是半正定矩陣, R是正定矩陣。X是n維狀態(tài)變量, U是r維輸入變量, Y為m維輸出向量, A, B, C, D 分別是nn, nr, mn, mr維常數(shù)矩陣。如果該系統(tǒng)受到外界干擾而偏離零狀態(tài),應(yīng)施加怎樣的控制U*才能使得系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近并同時(shí)滿足J達(dá)到最小,那么這時(shí)的U*就稱之為最優(yōu)控制。由最優(yōu)控制理論可知, 使式(2)取得最小值的最優(yōu)控制律為: （39）式中, P就是Riccati方程的解, K是線性最優(yōu)反饋

22、增益矩陣。這時(shí)求解Riccati代數(shù)方程: （40） 就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值。 （41）前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程: （42） （43） 可知： ， （44） 四個(gè)狀態(tài)量分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度、擺桿角速度,輸出包括小車位置和擺桿角度。首先選取小車位置權(quán)重Q11=1，擺桿角度權(quán)重Q33=1，選取R0.1。下面通過(guò)Matlab系統(tǒng)進(jìn)行仿真。clear,clc;A=0 1 0 0; 0 0 0 0 ; 0 0 0 1; 0 0 48.3 0;B=0 1 0 4.9;C=1 0 0 0 ; 0 0 1 0;D=0 0;Q11=50;Q33=50;Q=

23、Q11 0 0 0; 0 0 0 0 ; 0 0 Q33 0; 0 0 0 0 ;R=1;P=care(A,B,Q,R)k=inv(R)*B*Pv=0.4;angle=2;dangle=0;pos=0;dpos=0;tf=10;dt=0.001;for i=1:tf/dt ddpos=v; ddangle=29.4*angle+3*v; dpos=ddpos*dt+dpos; pos=dpos*dt+pos; dangle=ddangle*dt+dangle; angle=dangle*dt+angle; v=-(k(1,1)*pos+k(1,2)*dpos+k(1,3)*angle+k(1,

24、4)*dangle); t=i*dt; tp(i)=t; pos_p(i)=pos; angle_p(i)=angle;endfigure(1)plot(tp,pos_p);xlabel(t/s);ylabel(Position/m);grid on;figure(2)plot(tp,angle_p);xlabel(t/s);ylabel(Angle/!a);grid on;Matlab求反饋矩陣K的程序如下：clear;clcA=0 1 0 0; 0 0 0 0 ; 0 0 0 1; 0 0 48.3 0;B=0 1 0 4.9;C=1 0 0 0 ; 0 0 1 0;D=0 0;Q1=1,

25、 0, 1, 0;Q=diag(Q1);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)得到不同Q11和Q33與響應(yīng)時(shí)間的關(guān)系，如下表所示：表2 不同的Q、R矩陣效果對(duì)比表RQ11Q33角度調(diào)節(jié)時(shí)間動(dòng)態(tài)過(guò)程角度振幅0.1113.5-2.3,0.11116.5-3.25,0.2150502-1.8,0.11050504.5-2.6,0.151001001007.5-3.25,0.210010001004-2.3,0.1105001002-1.9,0.1 從表中可以看出：R增加時(shí)，控制力減小，角度變化減小，跟隨速度變慢。矩陣Q中某元素相對(duì)增加，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的響應(yīng)速度增加，其他變量的響應(yīng)速度相對(duì)減慢，如：若Q對(duì)應(yīng)于角度的元素增加，使得角度變化速度減小，而位移的響應(yīng)速度減慢；若Q對(duì)應(yīng)于位移的元素增加，使得位移的跟蹤速度變快，而角度的變化幅度增大。 圖22（a）Q11=1，Q33=1時(shí)的仿真曲線圖22（b）Q11=50，Q33=50時(shí)的仿真曲線選取合適的參數(shù)是系統(tǒng)性能在合理范圍內(nèi)，計(jì)算得到的反饋矩陣為：最終得到仿真曲線圖如下：圖23（b）R=10，Q11,250，Q33=100角度仿真曲線圖23（b）R=10，Q11,250，Q33=100位置仿真曲線從圖中可以看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大