極化恒等式(學(xué)生版)

1、課題：極化恒等式在向量問(wèn)題中的應(yīng)用學(xué)目標(biāo)1:通過(guò)自主學(xué)習(xí)掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義； 習(xí) 目標(biāo)2-1:通過(guò)對(duì)例1的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值;目 目標(biāo)2-2:通過(guò)對(duì)例2的自主學(xué)習(xí)掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍;標(biāo) 目標(biāo)2-3:通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)掌握極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題。重點(diǎn)掌握極化恒等式，利用它解決一類與數(shù)量積有關(guān)的向量問(wèn)題難點(diǎn)根據(jù)具體的問(wèn)題情境，靈活運(yùn)用極化恒等式目標(biāo)達(dá)成途徑學(xué)習(xí)自我評(píng)價(jià)目標(biāo)1：閱讀材料，了解極化恒等式的由來(lái)過(guò)程，掌握極化恒等式 的兩種模式，并理解其幾何意義閱讀以下材料:引例：平行四邊形是表 你能用向量方法證明： 等于兩條鄰邊平方和的

2、不向量加法和減法的幾 平行四邊形的對(duì)角線的 兩倍.何模型。 平方和證明：不妨設(shè)AB =a,AD =b,bM則AC =a b,DB =a -b,”2 ,2AC =AC 2 一 一a + 2a b + b(1)DB2 ; DB2二 a-b(1) (2)兩式相加得:.2.AC +DB2=2(2)|=2AB|2 + aD結(jié)論：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍思考1:如果將上面(1) (2)兩式相減，能得到什么結(jié)論呢?4"b2" 一叫極化恒等式對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例， 你覺(jué)得極化恒等式的幾何意義是什么？ 幾何意義：向量的數(shù)量積可以表

3、示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)1角線”與“差對(duì)角線”平方差的1.4即：a b =1 |ac|2 -|DB|2 (平行四邊形模式)4思考：在圖1的三角形 ABD中（M為BD的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢?2因?yàn)?AC =2AM ,所以 a b =|AM |1。，-DB （三角形模式）目標(biāo)2-1 :掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值例1.（2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=10,解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得:則 AB AC =-21八21AB AC = AM 一 4 BC =9- 4 100= -16找到三【小結(jié)】在運(yùn)用極化恒等式的三角形模式時(shí)，關(guān)鍵在

4、于取第三邊的中點(diǎn),角形的中線，再寫出極化恒等式。目標(biāo)檢測(cè)（2012北京文13改編）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1, 點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 DE，DA的值為.目標(biāo)2-2:掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍例2.（自編）已知正三角形 ABC內(nèi)接于半徑為2勺圓O,點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則pA PB的取值范圍是.1c解：取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD,因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以 。為三角形ABC的重心，O在CD上， / AP且 OC =2OD =2,所以 CD =3, AB =273/（也可用正弦定理求 AB）A X3JCx R又由極化恒等式得：pA PB =|PD|2 _1|AB=|PD|2

5、-3因?yàn)镻在圓。上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max = 3當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，| PD 1min = 1所以 PA PB -2,6【小結(jié)】涉及數(shù)量積的范圍或最值時(shí)，可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫?量，再用數(shù)形結(jié)合等方法求出單變量的范圍、最值即可。目標(biāo)檢測(cè)22（2010福建文11）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 亍+y" =1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 為橢圓上的任意一點(diǎn)， 則oP fP的最大值為（）A.2B.3C.6D.8問(wèn)題、疑惑、錯(cuò)解匯集能力提升目標(biāo)2-3:會(huì)用極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題1例3. （2013浙江理7）在AABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足

6、P0B =AB ,4T T T且對(duì)于邊AB上點(diǎn)P，宜有PB PC至F0B P0C。則（）CA.ABC =90，B. NBAC=90，/C. AB = ACD. AC = BC/J A P E 4 B目標(biāo)檢測(cè)（200耐江理9）已知a,b是平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足（a -c） （b -c） =0,則c的最大值是（）C 一&A.1B.2 C,V2D.2問(wèn)題、疑惑匯集知識(shí)、方法總結(jié)本課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與 有關(guān)問(wèn)題時(shí)，顯得較有優(yōu)越性。課后檢測(cè)1.在AABC中，NBAC =60若AB = 2, BC = J3 , D在

7、線段AC上運(yùn)動(dòng)， ,DA的最小值 為2.已知AB是圓O的直徑，AB長(zhǎng)為2,C是圓O上異于A, B的一點(diǎn),P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)A. 1 B. - C.431 D.2則(PA十PB ) PC的最小值為()-13.在 AABC中，AB=3, AC =4,NBAC=60,，若P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 AP = 2 ,則PB PC的最大值為2X 24 .若點(diǎn)。和點(diǎn)F(2,0)分別是雙曲線 F y =1(a A0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P為雙曲線右支上任 a意一點(diǎn)則op FP的取值范圍是5 .在RtMBC , AC = BC = 2 ,已知點(diǎn)P是 MBC內(nèi)一點(diǎn)，則PC <PA + PB)的最小值是 6 .已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn)，。為圓心，且/AOB=120o,MN是圓。的一條直徑，點(diǎn) C在圓內(nèi)，且滿足oC = ZOA + (1 K)oB(0 <Z <1),則CM* CN.的取值范圍是()A. 1-L,1 i B . L1,1)C , L-,0 iD. L1,0)247 .正AABC邊長(zhǎng)等于J3,點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則 AP PB