幾何直觀與教學(xué)啟示2014-9)完整

1、1幾何直觀思想及其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)幾何直觀思想及其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示的啟示西北師范大學(xué)教育學(xué)院西北師范大學(xué)教育學(xué)院張定強張定強2014年年10月月21日日2分享哲人的思想分享哲人的思想 如果誰不知道正方形的對角線同邊是如果誰不知道正方形的對角線同邊是不可通約的量，那他就不值得人的稱不可通約的量，那他就不值得人的稱號。號。柏拉圖柏拉圖 感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)感覺到數(shù)學(xué)的美，感覺到數(shù)與形的協(xié)調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正調(diào)，感覺到幾何的優(yōu)雅，這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實的美的感的數(shù)學(xué)家都清楚的真實的美的感 覺。覺。 龐加萊龐加萊 3摘要摘要 第一部分參與式研討第一部分參與式研討

2、第二部分總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)第二部分總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義一、幾何直觀思想的基本含義 二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示二、對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點啟示4第一部分參與式研討第一部分參與式研討 活動：探討幾何直觀思想的含義及價值活動：探討幾何直觀思想的含義及價值 目標(biāo)：閱讀材料，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)目標(biāo)：閱讀材料，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實實分享分享對幾何直觀思想的認(rèn)識；形成對幾對幾何直觀思想的認(rèn)識；形成對幾何直觀思想的何直觀思想的共識共識；總結(jié)出幾何直觀思想；總結(jié)出幾何直觀思想對教學(xué)對教學(xué)啟示。啟示。 時間：時間：90分鐘分鐘5過程：過程： 、閱讀所

3、發(fā)材料，作為引子（從錯誤處入手），、閱讀所發(fā)材料，作為引子（從錯誤處入手），各自獨立的在紙上寫出對幾何直觀思想的理解，并各自獨立的在紙上寫出對幾何直觀思想的理解，并梳理出這種思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用與價值。梳理出這種思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用與價值。 、組長負(fù)責(zé)，在小組內(nèi)交流各自的看法，相互、組長負(fù)責(zé)，在小組內(nèi)交流各自的看法，相互探討，形成小組內(nèi)的看法（幾何直觀思想的含義、探討，形成小組內(nèi)的看法（幾何直觀思想的含義、對教學(xué)的啟示），記錄員整理，發(fā)言人準(zhǔn)備發(fā)言。對教學(xué)的啟示），記錄員整理，發(fā)言人準(zhǔn)備發(fā)言。 、展示匯報小組討論結(jié)果。、展示匯報小組討論結(jié)果。6 第二部分總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟

4、示第二部分總結(jié)與提煉：幾何直觀思想、數(shù)學(xué)教學(xué)啟示 一、幾何直觀思想的基本含義一、幾何直觀思想的基本含義 1、幾何學(xué)的本質(zhì)是什么？為什么要學(xué)習(xí)幾何學(xué)？、幾何學(xué)的本質(zhì)是什么？為什么要學(xué)習(xí)幾何學(xué)？ 幾何學(xué)是研究變換群體圖形的不變性質(zhì)和不變量的一門科幾何學(xué)是研究變換群體圖形的不變性質(zhì)和不變量的一門科學(xué)。學(xué)。 “圖形與幾何圖形與幾何”的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何的內(nèi)容主要涉及現(xiàn)實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換.教材突出用教材突出用觀察、操作、想像、思考等多種方式探索圖形的性質(zhì)、圖形觀察、操作、想像、思考等多種方式探索圖形的性

5、質(zhì)、圖形的運動、圖形的位置、圖形的度量等，使學(xué)生體驗更多的刻的運動、圖形的位置、圖形的度量等，使學(xué)生體驗更多的刻畫現(xiàn)實世界和認(rèn)識圖形的角度和工具。畫現(xiàn)實世界和認(rèn)識圖形的角度和工具。 理解大千世界、訓(xùn)練推理能力與思維能力、建立普遍聯(lián)系。理解大千世界、訓(xùn)練推理能力與思維能力、建立普遍聯(lián)系。7 2、空間觀念與幾何直觀 空間觀念是指對物體及其幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化建立起來的一種感知和認(rèn)識，空間想象是建立空間觀念的重要途徑。 空間觀念也是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造。 標(biāo)準(zhǔn)從四個方面提出了要求： 根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描

6、述的實際物體； 想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系； 描述圖形的運動和變化； 依據(jù)語言的描述畫出圖形等。8 幾何直觀幾何直觀此次新增的核心概念此次新增的核心概念 希爾伯特（希爾伯特（Hilbert）在直觀幾何一書中指出，圖形）在直觀幾何一書中指出，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。 標(biāo)準(zhǔn)指出：標(biāo)準(zhǔn)指出：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，題。借

7、助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。重要作用?！?“圖形表示圖形表示”和和“圖形分析圖形分析” 畫圖、變換、數(shù)形結(jié)合畫圖、變換、數(shù)形結(jié)合 9 幾何直觀中，幾何直觀中，“幾何幾何”是指圖形；是指圖形；“直觀直觀”不僅是指直接不僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象

8、。在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象。 幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。 （直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看（直觀一般有兩種：一是透過現(xiàn)象看本質(zhì)；二是一眼能看出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的出不同事物之間的關(guān)聯(lián)。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。定勢。 第一，幾何直觀是一種能力，與第一，幾何直觀是一種能力，與“跳得高跳得高”“”“跑得快跑得快”的運動能力一樣，是人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項本領(lǐng)；第二，這的運動能

9、力一樣，是人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項本領(lǐng)；第二，這種能力是與空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)種能力是與空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力并列存在；可以通過引導(dǎo)學(xué)生看一看，剪一剪，行交流的能力并列存在；可以通過引導(dǎo)學(xué)生看一看，剪一剪，折一折，擺一擺，測一測等來實現(xiàn)）。折一折，擺一擺，測一測等來實現(xiàn)）。10 幾何直觀思想的力量幾何直觀思想的力量 （1）幫助刻畫問題，描述問題，當(dāng)能用圖形來）幫助刻畫問題，描述問題，當(dāng)能用圖形來描述這個問題時，對這個問題就有了較深的認(rèn)識。描述這個問題時，對這個問題就有了較深的認(rèn)識。 （2）幫助找到解決問題的思路。）幫助找到解決問題的思路。 （3

10、）幫助記憶和掌握一些結(jié)論。如研究圖形）幫助記憶和掌握一些結(jié)論。如研究圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中度量關(guān)系主要有距的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中度量關(guān)系主要有距離、角度等。我們用距離舉例：兩點有距離，一離、角度等。我們用距離舉例：兩點有距離，一點和一直線有距離，一個平面和一點有距離，兩點和一直線有距離，一個平面和一點有距離，兩條平行線有距離，一個平面和一條平行直線有距條平行線有距離，一個平面和一條平行直線有距離，兩個平行平面有距離，兩條一面直線也有距離，兩個平行平面有距離，兩條一面直線也有距離。那么我們怎么來解決這些距離問題呢？離。那么我們怎么來解決這些距離問題呢？ （4）實現(xiàn)各類問題之間的轉(zhuǎn)化。

11、）實現(xiàn)各類問題之間的轉(zhuǎn)化。 （5）拓展知識面，養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣。）拓展知識面，養(yǎng)成合理的思維習(xí)慣。 1112 二、幾何直觀思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示二、幾何直觀思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示 1、教學(xué)理念上的啟示、教學(xué)理念上的啟示 （理念的思考）對數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)中碰到（理念的思考）對數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)中碰到的問題作直觀化處理，充分認(rèn)識幾何直觀思想的的問題作直觀化處理，充分認(rèn)識幾何直觀思想的教學(xué)價值。教學(xué)價值。2、教學(xué)設(shè)計上的啟示、教學(xué)設(shè)計上的啟示 （設(shè)計的名言：把教育學(xué)一般理論比喻為建筑（設(shè)計的名言：把教育學(xué)一般理論比喻為建筑學(xué)理論，那么數(shù)學(xué)教學(xué)則是一項建筑工程。一堂學(xué)理論，那么數(shù)學(xué)教學(xué)則是一項建筑工程

12、。一堂優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，正如一座美輪美奐的大廈，即要優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課，正如一座美輪美奐的大廈，即要符合科學(xué)原理，又能賞心悅目。眾所周知，工程符合科學(xué)原理，又能賞心悅目。眾所周知，工程需要設(shè)計，同樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要設(shè)計）。需要設(shè)計，同樣，數(shù)學(xué)教學(xué)也需要設(shè)計）。 “數(shù)數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù)”。 把直觀思想滲透到教學(xué)設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)中。把直觀思想滲透到教學(xué)設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)中。 確立目標(biāo)、分析任務(wù)、了解學(xué)生、設(shè)計活動、確立目標(biāo)、分析任務(wù)、了解學(xué)生、設(shè)計活動、評價結(jié)果等五個環(huán)節(jié)。評價結(jié)果等五個環(huán)節(jié)。 認(rèn)識面積認(rèn)識面積14 3、教學(xué)實施上的啟示、教學(xué)實施上的啟示 日常的教學(xué)工作中高度重視直

13、觀化思想日常的教學(xué)工作中高度重視直觀化思想的滲透，降低難度，突破思維的限制，取的滲透，降低難度，突破思維的限制，取得十分顯著的效果。得十分顯著的效果。學(xué)生的方法有道理嗎學(xué)生的方法有道理嗎學(xué)生方法學(xué)生方法1 1：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這：把圓的四邊去掉變成正方形，但我們不知道這4 4個個 部分怎樣求？部分怎樣求？價值分析：價值分析： 學(xué)生沒有選擇長方形、平學(xué)生沒有選擇長方形、平行四邊形和梯形，而是選擇了行四邊形和梯形，而是選擇了正方形，已經(jīng)意識到圓應(yīng)該和正方形，已經(jīng)意識到圓應(yīng)該和一個邊長相等的圖形最接近。一個邊長相等的圖形最接近。 學(xué)生的方法有道理嗎學(xué)生的方法有道理嗎學(xué)生的方法有

14、道理嗎學(xué)生的方法有道理嗎價值分析：學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累與后續(xù)學(xué)習(xí)的積淀價值分析：學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累與后續(xù)學(xué)習(xí)的積淀學(xué)生的方法有道理嗎學(xué)生的方法有道理嗎19 4、教學(xué)評價上的啟示 直觀有利于檢測思維水平，有利于深化直觀有利于檢測思維水平，有利于深化認(rèn)識，有利于共同進(jìn)步。認(rèn)識，有利于共同進(jìn)步。 如：若干個相同的立方體擺在一起，如：若干個相同的立方體擺在一起，前、后、左、右的視圖都是前、后、左、右的視圖都是問這堆立方體最少有多少？問這堆立方體最少有多少？ 202022-3-1320題目題目如果將下圖中的繩子拉直，它的長度大約為（如果將下圖中的繩子拉直，它的長度大約為（ ）厘米）厘米 16543271

15、11 098厘 米1654327111098厘米A4 B5 C6 D7 得分率得分率21 5、教學(xué)研究上的啟示、教學(xué)研究上的啟示 如研究作業(yè)問題：如研究作業(yè)問題： 人教版第二冊，我們在教學(xué)人教版第二冊，我們在教學(xué)“100以內(nèi)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識數(shù)的認(rèn)識”時遇到這樣的作業(yè)反饋。在人時遇到這樣的作業(yè)反饋。在人教版配套作業(yè)本及課時特訓(xùn)中出現(xiàn)了這樣教版配套作業(yè)本及課時特訓(xùn)中出現(xiàn)了這樣的習(xí)題。的習(xí)題。作業(yè)本作業(yè)本P2486后面的連續(xù)五個數(shù)是：后面的連續(xù)五個數(shù)是：62前面的連續(xù)五個數(shù)是：前面的連續(xù)五個數(shù)是：2 課時特訓(xùn)課時特訓(xùn) P27 100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識我的前面是我的前面是80，我是（，我是（ ）我的

16、后面是我的后面是69，我是（，我是（ ）22 習(xí)題習(xí)題 解答方法解答方法 小計小計 正確解釋正確解釋 說不清說不清 其他錯誤其他錯誤 86后面的后面的連續(xù)五連續(xù)五個數(shù)個數(shù) 87、88、89、90、9164% 50.8% 16.9% 數(shù)字寫錯或書寫數(shù)字寫錯或書寫 不規(guī)范引起的錯誤。不規(guī)范引起的錯誤。 85、84、83、82、81 36% 分析思考，原因，對策分析思考，原因，對策 23如何培養(yǎng)學(xué)生的“幾何直觀”。o 使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣使學(xué)生養(yǎng)成畫圖習(xí)慣, ,鼓勵用圖形表達(dá)問題，讓鼓勵用圖形表達(dá)問題，讓“用圖思考問題成為學(xué)生的一種習(xí)慣用圖思考問題成為學(xué)生的一種習(xí)慣”。o 可以通過多種途徑和方式使學(xué)生

17、真正體會到畫可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象其實質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。 氣象組氣象組1212人人, , 攝影組是

18、氣象組攝影組是氣象組的的1 13 3，航模是攝影，航模是攝影3 34 4 關(guān)于關(guān)于學(xué)生自己的圖一些分析學(xué)生自己的圖一些分析學(xué)生的某些圖與線段圖學(xué)生的某些圖與線段圖“結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”是一樣的是一樣的學(xué)生的圖更加直觀學(xué)生的圖更加直觀線段圖更加簡潔線段圖更加簡潔不同的學(xué)生可能會選擇不同的圖不同的學(xué)生可能會選擇不同的圖31借助模型辨析錯例借助模型辨析錯例錯誤錯誤141412=10812=108利用利用“矩形模型矩形模型”將乘法運算將乘法運算可視化可視化32案例2：認(rèn)識三角形的高（蘇教版四下）設(shè)計1：1.出示一幅三角形“人字梁”的圖，向?qū)W生介紹它的名稱、作用。2提問：你能量出圖中“人字梁”的高度嗎？學(xué)生在作業(yè)紙上測量。匯報測量結(jié)果。3.借助多媒體課件抽取“人字梁”的形狀，并在剛才測量高度的部位畫上一條線斷。向?qū)W生指出：這條線段就是三角形的高。4組織學(xué)生討論：怎樣的一條線段叫做三