第一章誤差2015

1、 保證課堂紀(jì)律保證課堂紀(jì)律 按時完成作業(yè)按時完成作業(yè) 按時上課，不遲到早退按時上課，不遲到早退幾點(diǎn)幾點(diǎn)要求要求p計算方法講述的基本內(nèi)容計算方法講述的基本內(nèi)容n 如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問題如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問題n 如何制定快速的算法如何制定快速的算法n 如何估計一個給定算法的精度如何估計一個給定算法的精度n 分析誤差在計算過程中的積累和傳播分析誤差在計算過程中的積累和傳播n 如何構(gòu)造精度更高的算法如何構(gòu)造精度更高的算法n 如何使算法較少的占用存儲量如何使算法較少的占用存儲量n 如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn) 本章內(nèi)容本章內(nèi)容1誤差的來源誤差的來源2 浮點(diǎn)數(shù)，誤差、誤差限浮點(diǎn)數(shù)，

2、誤差、誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字 3 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 4 誤差的傳播誤差的傳播 5 減少運(yùn)算誤差的原則減少運(yùn)算誤差的原則 第一章誤差第一章誤差小結(jié)小結(jié) 要求掌握的內(nèi)容要求掌握的內(nèi)容第一章誤差第一章誤差p概念概念 包括有效數(shù)字、絕對誤差包括有效數(shù)字、絕對誤差、絕對誤差絕對誤差限限、相對誤差、相對誤差相對誤差、相對誤差限等限等p誤差誤差截斷誤差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種截斷誤差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種類等類等p分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若干原則干原則 引言引言計算方法計算方法, 它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法它是研究各種數(shù)學(xué)

3、問題的數(shù)值解法及其理論的一門學(xué)科。及其理論的一門學(xué)科。p計算方法的任務(wù)計算方法的任務(wù)實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法程序設(shè)計上機(jī)計算數(shù)值結(jié)果 根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計算方法根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過程便是直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過程便是計算方法計算方法研究的對象研究的對象1. 對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型2. 研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程和過程3. 按照按照2進(jìn)行計算，得到計算結(jié)果進(jìn)行計算，得到計算結(jié)果建立數(shù)建立數(shù)學(xué)模型學(xué)模型轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式數(shù)值公式進(jìn)行計算進(jìn)行計算計算方

4、法解題的一般過程計算方法解題的一般過程p計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模計算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計進(jìn)行計算試誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計進(jìn)行計算試驗并分析試驗結(jié)果。驗并分析試驗結(jié)果。p與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計算方與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。近似值或近似曲線。第一章誤差第一章誤差 例如方程例如方程 x2=2sin

5、x，在區(qū)間在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一根內(nèi)有唯一根, 但找不出求根的解析式但找不出求根的解析式, 只能用數(shù)值計算方法求其近只能用數(shù)值計算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解似解。有些數(shù)學(xué)問題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解, 但但不一定實用不一定實用, 例如例如行列式解法的行列式解法的Cramer法則原則上可法則原則上可用來求解線性方程組用來求解線性方程組, ,用這種方法解一個用這種方法解一個n元方程組元方程組, ,要算要算n+1+1個階行列式的值個階行列式的值, ,總共需要總共需要n!(n-1)(n+1)n!(n-1)(n+1)次次乘法乘法, ,當(dāng)當(dāng)n=20n=20時時, ,其乘除法運(yùn)算

6、次數(shù)約需其乘除法運(yùn)算次數(shù)約需10102121次方次方, ,即即使用每秒千億次的計算機(jī)也得需要上百年使用每秒千億次的計算機(jī)也得需要上百年, ,而用高斯而用高斯（Guass）消去法約需消去法約需26602660次乘除法運(yùn)算次乘除法運(yùn)算, ,并且愈大并且愈大, ,相差就愈大?？梢娧芯亢瓦x擇好的算法是非常重要相差就愈大。可見研究和選擇好的算法是非常重要的。的。 第一章誤差第一章誤差1.1 誤差的來源誤差的來源 早在中學(xué)我們就接觸過誤差早在中學(xué)我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學(xué)實驗中，從的概念，如在做熱力學(xué)實驗中，從溫度計上讀出的溫度是溫度計上讀出的溫度是23.4度，就度，就不是一個精確的值，而是含有

7、誤差不是一個精確的值，而是含有誤差的近似值。事實上，誤差在我們的的近似值。事實上，誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有。日常生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都含有誤差。精確無誤的，都含有誤差。p在用計算方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差在用計算方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：歸納起來有如下幾類：n1. 模型誤差模型誤差n2. 觀測誤差觀測誤差n3. 截斷誤差截斷誤差n4. 舍入誤差舍入誤差第一章誤差第一章誤差p 用數(shù)學(xué)方法解決一個具體的實際問題，首先要建用數(shù)學(xué)方法解決一個具體的實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對

8、實際問題進(jìn)行抽象、簡化立數(shù)學(xué)模型，這就要對實際問題進(jìn)行抽象、簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差模型誤差p 數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實而建立數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實而建立起來的有關(guān)量的描述起來的有關(guān)量的描述p 數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實際問題的真解不同數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實際問題的真解不同實際問題的實際問題的真解真解數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型的真解真解為減化模型忽略次要為減化模型忽略次要因素因素定理在特定條件下建立與實定理在特定條件下建立與實際條件有別際條件有別1. 模型誤差模型誤差p 在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫

9、度在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差p 數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得到的到的p 由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差據(jù)誤差p 根據(jù)實際情況可以得到誤差上下界根據(jù)實際情況可以得到誤差上下界p 計算方法中需要了解觀測誤差計算

10、方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng)值方法與之適應(yīng)2. 觀測誤差觀測誤差p 精確公式用近似公式代替時精確公式用近似公式代替時,所產(chǎn)生的誤差叫所產(chǎn)生的誤差叫截斷截斷誤差誤差 例如例如, 函數(shù)函數(shù)f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)多項式多項式 3. 截斷誤差截斷誤差nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 1) 1()!1()()()()(nnnnxnfxpxfxR（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是p 截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和

11、計算 工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差p在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算行運(yùn)算p需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理入處理p用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差舍入誤差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差誤差4. 舍入誤差舍入誤差第一章誤差第一章誤差 例例如在計算時用如在計算時用3.141593.14159近似代替近似代替 ，

12、產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差R= R= -3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026就是舍入誤差。就是舍入誤差。 上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析們的傳播與積累作出分析1.2 1.2 浮點(diǎn)數(shù)，誤差、誤差限，浮點(diǎn)數(shù)，誤差、誤差限，有效數(shù)字有效數(shù)字1 1、浮點(diǎn)數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)任何一個浮點(diǎn)數(shù)可表示為任何一個浮點(diǎn)數(shù)可表示為其中，稱其中，稱 為基，如十進(jìn)制數(shù)，為基，如十進(jìn)制數(shù)，；二進(jìn)

13、制數(shù)，；二進(jìn)制數(shù)， 。J J是階，為整數(shù)。是階，為整數(shù)。 UJLxJtJ,. 021102 取值正、負(fù)或零。 是尾數(shù)，由t 位小數(shù)構(gòu)成， 若 則稱該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。 若用F來表示一個系統(tǒng)的浮點(diǎn)數(shù)的集合，則),.,2 , 1( 10tii010, 0,10,. 0:121UJLxxFiJt 顯然，集合顯然，集合F可以用數(shù)組可以用數(shù)組 來來刻畫。最常見的有刻畫。最常見的有(2,56,-64,64). 對一個特定的機(jī)器來說，尾數(shù)的位對一個特定的機(jī)器來說，尾數(shù)的位數(shù)數(shù)t 是固定的，也稱其機(jī)器精度有是固定的，也稱其機(jī)器精度有t 個個 進(jìn)位數(shù)字。這時稱上界進(jìn)位數(shù)字。這時稱上界U為上溢限，為上溢限，下

14、界下界L稱為下溢限。稱為下溢限。 ),(ULt計算機(jī)中數(shù)的計算特點(diǎn)計算機(jī)中數(shù)的計算特點(diǎn):1. 加法先對階加法先對階,后運(yùn)算后運(yùn)算,再舍入再舍入2. 乘法先運(yùn)算乘法先運(yùn)算,再舍入再舍入3. 不在計算機(jī)數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理不在計算機(jī)數(shù)系中的數(shù)做四舍五入處理例如:在四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計算機(jī)上計算1+ 104 解: 1+ 104 =0.1000 101+ 0.1000 105 = 0.00001 105 + 0.1000 105 (對階計算) = 0.10001 105 = 0.1000 105 = 1042. 2. 誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差： 準(zhǔn)確值（精確數(shù)或真值） 近似

15、數(shù)則此近似數(shù) 和 準(zhǔn)確值的差稱為誤差，用 來表示：把誤差的負(fù)數(shù) 叫做近似值 的“修正值”。誤差可正可負(fù)，當(dāng)誤差為正時，近似值偏大，叫做“強(qiáng)近似”，當(dāng)誤差為負(fù)時，近似值偏小，叫做“弱近似”。:x:*x*exxe*)(*exx*e*x*xx 由于精確值一般是未知的由于精確值一般是未知的,因而因而 不能求不能求出來出來, 但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設(shè)法但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設(shè)法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。個上界或稱誤差限。定義定義 如果如果稱稱 為近似值為近似值 的的“誤差限誤差限”。*e*|xxe*x2. 2. 誤差、誤差限、有

16、效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字 實際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個量來衡量誤差實際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個量來衡量誤差限限, 這就是說這就是說, 如果近似數(shù)如果近似數(shù) 的誤差限為的誤差限為 , 則則 表明準(zhǔn)確值表明準(zhǔn)確值 x 必落在必落在 上上, 常采用下面的寫法常采用下面的寫法*x*xxx*,xx* xx來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。所在的范圍。例：用一把有毫米刻度的米尺來測量桌子的長例：用一把有毫米刻度的米尺來測量桌子的長度，讀出的長度是度，讀出的長度是1235mm，估計桌子實際長，估計桌子實際長度的范圍。度的范圍。2. 2. 誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字a

17、-a-a+a+a aA例例1 1 設(shè)x =3.1415926 近似值x* =3.14,它的絕 對誤差是 -0.001 592 6，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例例2 又近似值x* =3.1416，它的絕對誤差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例例3 3 而近似值x* =3.1415，它的絕對誤差是 -0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可見，可見，絕對誤差限絕對誤差限 * *不是唯一的，但不是唯一的，但 * *越小越好越小越好我們表示一個近似數(shù)時，為了能反映它的

18、精我們表示一個近似數(shù)時，為了能反映它的精確程度，常常用到確程度，常常用到“有效數(shù)字有效數(shù)字”的概念。的概念。定義：定義： 如果如果x的的近似值近似值x* *的誤差限是某一位的誤差限是某一位的半個單位的半個單位, ,由該位到由該位到x* *的第一位非零數(shù)字的第一位非零數(shù)字一共有一共有n位，就稱位，就稱x* *有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, ,或者說或者說x* *準(zhǔn)確到該位。準(zhǔn)確到該位。例例: : 1.2 1.2 有效數(shù)字有效數(shù)字14159. 3,14. 3*2*1xx1.21.2 有效數(shù)字和誤差限的關(guān)系有效數(shù)字和誤差限的關(guān)系定義定義 設(shè)設(shè)x的近似值的近似值 其中其中 是是0 0到到9 9之間的任一

19、個數(shù)之間的任一個數(shù), ,但但 n是正整數(shù)是正整數(shù), , p是整數(shù)是整數(shù), ,若若 ni,321 則稱則稱 為為x的具有的具有n位有效數(shù)字的近似值，位有效數(shù)字的近似值， 準(zhǔn)確到準(zhǔn)確到第第n位，位， 是是 的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。 *x*x*xpnx10021 .*npxx1021*i 01n,.,21例例5. 3.1425. 3.142作為作為的近似值時有幾位有效數(shù)字的近似值時有幾位有效數(shù)字解：解： 3.142 = 0.3142 3.142 = 0.3142 p = 1 = 1 | |-3.142 |=|3.141592-3.142 |=|3.141592 -3.142| -3.142| 0.0

20、0041 0.00041 0.0005= 0.0005= p n =1=1n =-3 =-3 所以所以 n =4=4，具有具有4 4位有效數(shù)字位有效數(shù)字11031021例例6. 6. 當(dāng)取當(dāng)取3.1413.141作為作為 的近似值時的近似值時 - -3.1413.141= = 3 3. .141592141592- -3 3. .141141 0.000592 0.000592 0.005=1/2 0.005=1/2 10 10-2-2 p- -n=1-=1-n=-2 =-2 所以所以n=3=3具具有有3 3位位有效數(shù)字有效數(shù)字再如再如3.14163.1416作為作為 的近似值時的近似值時 -

21、 -3.1416 3.1416 = = 3 3. .141592141592- -3 3. .14161416 0.00000740.0000074 0.00005 0.00005 =0.5 =0.5 10 10-4-4 p- -n=1-=1-n=-4 =-4 所以所以 n=5=5x* *= = 3.14163.1416有有5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字例例7 若若 是是 的具有六位的具有六位有效數(shù)字的近似值，求其誤差限。有效數(shù)字的近似值，求其誤差限。解解 由于由于 具有六位有效數(shù)字，即具有六位有效數(shù)字，即 近似代替近似代替 時時，準(zhǔn)確到末位，于是誤差限為，準(zhǔn)確到末位，于是誤差限為64.3587*

22、xx*x*xx264*10211021 xx若若 是是 的具有五位有的具有五位有效數(shù)字的近似值，求其誤差限。效數(shù)字的近似值，求其誤差限。解解 由于由于 具有五位有效數(shù)字，具有五位有效數(shù)字，即即 近似代替近似代替 時，準(zhǔn)確到末位時，準(zhǔn)確到末位，于是誤差限為，于是誤差限為0023156. 0*xx*x*xx752*10211021 xx關(guān)于有效數(shù)字說明關(guān)于有效數(shù)字說明 用用四舍五入取準(zhǔn)確值的前四舍五入取準(zhǔn)確值的前n n位位x x* *作為近似值作為近似值, ,則則 x* *必有必有n位有效數(shù)字。如位有效數(shù)字。如3.1423.142作為作為 的近似值的近似值 有有4 4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而3

23、.1413.141為為3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定有效數(shù)字相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差不一定 相同。例如，設(shè)相同。例如，設(shè)x1 1* *=12345,=12345,設(shè)設(shè)x2 2* *=12.345,=12.345,兩者兩者 均有均有5 5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣 x- - x1 1* * = =x- 12345- 12345 0.5= 0.5= 1/2 1/2 10 100 0 x- - x2 2* * = =x- 12.345- 12.3450.0005=0.0005=1/21/2 1010-3-3 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以1

24、010p( (p=0,=0, 1,1,) )不影響有效位數(shù)不影響有效位數(shù) 準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字, ,如三角形面積如三角形面積 S=1/2 S=1/2ah=0.5=0.5ah 因為因為0.50.5是真值是真值, ,沒有誤差沒有誤差 * *=0,=0,因此因此n n, ,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字1.3 1.3 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度, ,例如甲打字每例如甲打字每100100個錯一個個錯一個, ,乙打字每乙打字每10001000個個錯一個錯一個, ,他們的誤

25、差都是錯一個他們的誤差都是錯一個, ,但顯然乙要但顯然乙要準(zhǔn)確些準(zhǔn)確些, ,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外, ,還必須顧及量的本身。還必須顧及量的本身。定義定義 絕對誤差與精確值絕對誤差與精確值x的比值記的比值記 為近似數(shù)為近似數(shù) 的相對誤差的相對誤差xxxxeer*x1.3 .11.3 .1相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限 相對誤差越小相對誤差越小, ,精度就越高精度就越高, ,實際計算時實際計算時, ,x通常是不知道的通常是不知道的, ,因此可用下列公式計算相因此可用下列公式計算相對誤差對誤差定義定義 設(shè)存在一個正數(shù)設(shè)存在一個正數(shù) ，使，使 )(*xr

26、)(*xxxxxxeerr則稱則稱 為近似值為近似值 的相對誤差限。的相對誤差限。 簡記為簡記為 )(*xr*x)(*xr*r*xxxxeer1.3.2 1.3.2 相對誤差和相對誤差限相對誤差和相對誤差限例例4.4. 甲打字每甲打字每100100個錯一個，乙打字每個錯一個，乙打字每10001000個個 錯一個，求其相對誤差錯一個，求其相對誤差解：解： 根椐定義根椐定義: :甲打字時的相對誤差甲打字時的相對誤差 乙打字時的相對誤差乙打字時的相對誤差 0011001 *re001010001.* re1.3.4 1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差有效數(shù)字與相對誤差定理定理1.1 1.1 若若近似數(shù)近

27、似數(shù) 具有具有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤差限位有效數(shù)字，則其相對誤差限pnx10021 .*)1(1*1021nrx證明 由定義知 是具有n位有效數(shù)字的近似值，因此*xnpxx1021*相對誤差限相對誤差限 而而 所以所以*1021xxxxnpr11*10px)1(111*1021101021npnpr 一般應(yīng)用中可以取一般應(yīng)用中可以取 r r* *=1/2 =1/2 1010-(n-1)-(n-1), ,n越大越大, , r r* *越小越小, , 有效數(shù)字越多，相對誤差就越小有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例例7 7 取取3.143.14作為作為 的四舍五入的近似值時，求其的四舍五入的近似值

28、時，求其 相對誤差限相對誤差限解：解：3.14=0.314 3.14=0.314 10101 1 =3 =3 p=1=1 四舍五入的近似值四舍五入的近似值, ,其各位都是有效數(shù)字其各位都是有效數(shù)字 n=3=3 r r* *=1/2=1/2 1010-(n-1)-(n-1)=1/2=1/2* *3 3 1010-2-2=17%=17%1.3.4 1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差有效數(shù)字與相對誤差1 1 1 例例8 8 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x* *有兩位有效數(shù)字，試求其相有兩位有效數(shù)字，試求其相 對誤差限對誤差限解：已知解：已知 n=2 =2 代入公式代入公式 r r* *=1/2=1/2x1 1

29、1010-(n-1)-(n-1)得得 r r* *=1/2=1/2x1 1 1010-1-1 x* *的第一位有效數(shù)字的第一位有效數(shù)字x1 1沒有給出，可進(jìn)行如下沒有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng)討論：當(dāng) x1 1=1 =1 r r* *=1/2x=1/2x1 1 1010-1-1=1/2=1/2* *1 1 1010-1-1=5%=5% x1 1=9 =9 r r* *=1/2x=1/2x1 1 1010-1-1=1/2=1/2* *9 9 1010-1-1=0.56%=0.56% 取取 x1 1=1 =1 時相對誤差限為最大，即時相對誤差限為最大，即 5%5%1.3.4 1.3.4 有效數(shù)字與相

30、對誤差有效數(shù)字與相對誤差1.3.4 1.3.4 有效數(shù)字與相對誤差有效數(shù)字與相對誤差定理定理1.2 1.2 若若近似數(shù)近似數(shù) 相對誤差限相對誤差限 則該近似數(shù)具有則該近似數(shù)具有n n位有效數(shù)字位有效數(shù)字證證: : nppnxxxxxx 1021101101211111)()()(* 由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知, ,x x* *具有具有n n位有效數(shù)字。證畢位有效數(shù)字。證畢)1(1*10) 1(21nrpnx10021 .*pnx10021 .*11*10) 1(px例例9 9 已知近似數(shù)已知近似數(shù)x x* *的相對誤差限為的相對誤差限為0.3%0.3%，問，問x x* * 有幾位有效

31、數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？解：由解：由)(*)(1110121 nr )()(111012110003 n 得得當(dāng)當(dāng)x x1 1=1=1時時,3,3 1010-3-3=1/4=1/4 1010-(n-1)-(n-1)1212 1010-3-3=10=10-(n-1)-(n-1) 上式兩邊取以上式兩邊取以1010為底的對數(shù)得為底的對數(shù)得 lg2lg22 2+lg3+(-3)=-n+1 +lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4771lg2=0.3010 lg3=0.4771 2 2 0.3010+0.4771-4=-n 0.3010+0.4771-4=-n n=2.9209n

32、=2.9209 當(dāng)當(dāng)x x1 1=9=9時時,3,3 1010-3-3=1/20=1/20 1010-(n-1)-(n-1) 6 6 1010-3-3=10=10-n-n 上式兩邊取以上式兩邊取以1010為底的對數(shù)得為底的對數(shù)得 lg2+lg3+(-3)=-n lg2+lg3+(-3)=-n n=2.2219n=2.2219 x x* *至少有至少有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 注意注意: : 已知有效數(shù)字已知有效數(shù)字, ,求相對誤差限用公式求相對誤差限用公式 已知相對誤差限已知相對誤差限, ,求具有幾位有效數(shù)字公式求具有幾位有效數(shù)字公式)1(1*10) 1(21nr)1(1*1021nrx1.

33、4 1.4 誤差的傳播誤差的傳播 計算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四計算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會進(jìn)則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會進(jìn)行傳播。使計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。行傳播。使計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。 誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準(zhǔn)誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準(zhǔn)確值確值x x與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。差的微分近似關(guān)系式。 基本算術(shù)運(yùn)算結(jié)果的誤差限 設(shè) 是 的近似值， 是 的近似值，用 來表

34、示 的近似值，則其誤差為： *xx*yy*yx yx)()()()(*yyxxyxyx)()()()(*yyxxyxyx由由得出誤差限之和是和或差的誤差限。得出誤差限之和是和或差的誤差限。將將 的誤差的誤差 看作是看作是 的微分的微分則則 yyxxyxyx*)()(xxdx*xxxe*xdydxyxd )(xdyydxxyd)(0,/ )()/(2yyydxxdyyxd例例11 設(shè)設(shè) ,其中每個數(shù)據(jù)的絕對誤差限為其中每個數(shù)據(jù)的絕對誤差限為0.005,求求a的絕對誤差限。的絕對誤差限。81. 965. 321. 1a81. 9)65. 321. 1 (ddda03. 00293. 0005. 0

35、005. 065. 3005. 021. 1dap即即x的微分表示的微分表示x的絕對誤差，的絕對誤差，dlnx的微分表的微分表示示x的相對誤差，利用這兩個關(guān)系式及微分的相對誤差，利用這兩個關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果。結(jié)果。xdxdxxxxxexedxxxxerln)()(*1.4. 1.4. 誤差的傳播誤差的傳播 由由 可得兩數(shù)之積可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和；的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和； 由由 可得兩數(shù)商的相可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。 yd

36、xdyxdlnln)ln(ydxdyxdlnlnln 若把若把 與與 看做看做 與與 的的相對誤差限，即相對誤差限，即(不妨認(rèn)為分母皆正不妨認(rèn)為分母皆正)xdrydr*x*yxdxdxxdrln/ydydyydrln/同號yxydxdyxdrrr, ),max()(同號yxyxydyxdxyxdrrr,/ )()(ydxdyxdrrr )(0,)/(yydxdyxdrrr則有例例11 11 已測得某場地長已測得某場地長L L的值的值L L* *=110m,=110m,寬寬d d的值的值 d d* *=80m,=80m,已知已知 L-LL-L* * 0.2m, 0.2m, d-dd-d* * 0

37、.1m0.1m 求場地面積求場地面積S=LdS=Ld的的絕對誤差限和相對誤差限絕對誤差限和相對誤差限解：解：mlmddlldslds11080 *,)()()(, %31. 0880027)()()(*dlssssr其中其中 (d*)=0.1m , (L*)=0.2m絕對誤差限絕對誤差限 (s*)(800.2+110 0.1)m2=27m2相對誤差限相對誤差限2. 函數(shù)求值的誤差估計函數(shù)求值的誤差估計在計算函數(shù)值在計算函數(shù)值 f(x) 時時,若自變量若自變量 x 不精不精確確,則則f(x) 含有誤差含有誤差.若若 ,則則近似近似f(x) 時的誤差界時的誤差界d f(x) 可用可用Taylor公

38、式估計公式估計.假定假定f(x) 足夠光滑足夠光滑,則有則有xx *)(*xf2*)(! 2/ )()()()()(xxfxxxfxfxfxf 若若 與與 相比不太大相比不太大,忽略忽略高階項得高階項得)(xf )(xf dxxfxdfxf)()()(*設(shè)設(shè) ， ，則，則 的相對誤差是的相對誤差是例例13 設(shè)設(shè) ，則，則 ，因此，因此 的相對誤差是的相對誤差是 的相對誤差的的相對誤差的n 倍倍 的相對誤差是的相對誤差是 的相對誤差之半的相對誤差之半。 )(xfy )(*xfy *ydxxfxfyd)()(lnnxy xnylnlnxndydlnlnnxxxx例例12 12 正方形的邊長約為正方

39、形的邊長約為100100cm,cm,怎樣測量才能使其怎樣測量才能使其 面積誤差不超過面積誤差不超過1 1cmcm2 2 ? ?解：解： 設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為x cm, cm,測量值為測量值為x* *cm,cm,面積面積 y= =f( (x)=)=x2 2 由于由于 f ( (x)=2)=2x 記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e* *、e( (y* *),),則則 e* *= =x- -x* * e( (y* *)=)=y- -y* * f ( (x* *)()(x- -x* *)=2x)=2x* *e* *=200=200e* * 現(xiàn)要求現(xiàn)要求 e(e(y*

40、 *) ) 200e 200e* * 1 , 1 ,于是于是 e e* * （1/2001/200）cm=0.005cmcm=0.005cm 要使要使正方形面積誤差不超過正方形面積誤差不超過1 1cmcm2 2，測量邊長時測量邊長時絕對誤差應(yīng)不超過絕對誤差應(yīng)不超過0.0050.005cmcm。1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差原則減少運(yùn)算誤差原則 誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志 為此對每一個算法都要進(jìn)行誤差分析為此對每一個算法都要進(jìn)行誤差分析(1)(1)要避免兩個相近數(shù)相減。要避免兩個相近數(shù)相減。 兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字兩個相近的數(shù)相減，會

41、嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字 例如例如x =1958.75x =1958.75，y =1958.32y =1958.32都具有五位都具有五位 有效數(shù)字，但有效數(shù)字，但x-y=0.43x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字 通常采用的方法是改變計算公式通常采用的方法是改變計算公式, ,1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差原則減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)當(dāng)x很大時可作相應(yīng)的變換很大時可作相應(yīng)的變換 xxxx111則用右端來代替左端。則用右端來代替左端。 1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)當(dāng)x接近接近0 0時時 xxxxcos1sinsincos1一般情況，當(dāng)一般情況，當(dāng)f(x)f(xf(x)f

42、(x* *) )時，可用泰勒展開時，可用泰勒展開 2*)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf取右端的有限項近似左端。取右端的有限項近似左端。 （2 2）防止大數(shù)）防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)小數(shù)例例 求二次方程求二次方程x x2 2-(10-(109 9+1)x+10+1)x+109 9=0=0的根的根 解：按二次方程求根公式解：按二次方程求根公式 在在8 8位浮點(diǎn)數(shù)計算得位浮點(diǎn)數(shù)計算得 x x1 1=10=109 9 ( (正確）正確）, , x x2 2=0 (=0 (錯誤）錯誤）p 產(chǎn)生錯誤的原因產(chǎn)生錯誤的原因 出現(xiàn)大數(shù)出現(xiàn)大數(shù)10109 9吃掉小數(shù)吃掉小數(shù)1 1的情況的情況 分

43、子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有 效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消（3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時, ,會喪失有效數(shù)字會喪失有效數(shù)字)(100001. 0)(1455. 01456. 0)(4分子分子分子這里分子的誤差被擴(kuò)大這里分子的誤差被擴(kuò)大104104倍倍, ,再如再如若將分母變?yōu)槿魧⒎帜缸優(yōu)?.0011,0.0011,即分母只有即分母只有0.00010.0001的變化的變化時時, ,計算結(jié)果卻有了很大變化計算結(jié)果卻有了很大變化 1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差若干原則減少

44、運(yùn)算誤差若干原則5 .3141001. 01415. 39 .28550011.01415.3（4 4）簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)）簡化計算步驟，減少運(yùn)算次數(shù) x255255= =xx2 2x4 4x8 8x1616x3232x6464x128128 原先要做原先要做254254次乘法現(xiàn)只需次乘法現(xiàn)只需1414次即可次即可 又如計算多項式又如計算多項式 p( (x)=)=an nxn n an-1n-1xn-1 n-1 a1 1x a0 0 的值的值 若直接計算若直接計算ak kxk k, ,再逐項相加，一共要做再逐項相加，一共要做 n+(+(n-1)+-1)+2+1=+2+1=n( (n+1

45、)/2+1)/2次乘法和次乘法和n次加法次加法 1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則如果將前如果將前n n項提出項提出x x，則有則有 p( (x)=)=（an nxn-1n-1 an-1n-1xn-2 n-2 a1 1 ）x a0 0 =(=(an nxn-2n-2 an-1n-1xn-3n-3 a2 2) )x a1 1）x a0 0 =(=( (an nx an-1n-1) )x a2 2) )x a1 1) )x a0 0寫成遞推公式寫成遞推公式 1.5 1.5 減少運(yùn)算誤差若干原則減少運(yùn)算誤差若干原則nknkkabnkaxbb01),2,1(于是于是 , ,這種多項式求值的算法稱為秦九這種多項式求值的算法稱為秦九韶算法韶算法, ,只做只做n次乘法和次乘法和n次加法次加法