基于ABAQUS的懸臂梁的彈塑性彎曲分析

1、基于ABAQUS的懸臂梁的彈塑性彎曲分析 學(xué)院：航空宇航學(xué)院 專業(yè)：工程力學(xué) 指導(dǎo)教師： 姓名： 學(xué)號(hào)： 10 1. 問題描述考慮端點(diǎn)受集中力F作用的矩形截面的懸臂梁，如圖1所示，長(zhǎng)度l=10m，高度h=1m，寬度b=1m。材料為理想彈塑性鋼材（如圖2），并遵守Mises屈服準(zhǔn)則，屈服強(qiáng)度為，彈性模量，泊松比。 圖1 受集中力作用的懸臂梁 圖2 鋼材的應(yīng)力-應(yīng)變行為首先通過理論分析理想彈塑性材料懸臂梁的彈塑性彎曲，得到懸臂梁的彈塑性彎曲變形的規(guī)律和塑性區(qū)形狀，確定彈性極限載荷和塑性極限載荷；其次利用ABAQUS模擬了該懸臂梁受集中載荷作用的變形過程，得出彈性極限載荷、塑性極限載荷、塑性區(qū)形狀和

2、載荷-位移曲線，與理論分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證有限元分析的準(zhǔn)確性。2. 理論分析2.1梁的彈塑性純彎曲對(duì)于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受彎矩M作用，如圖3所示，根據(jù)平截面假定，有圖3 矩形截面梁受彎矩M的作用 （1）其中為彎曲后梁軸的曲率，規(guī)定梁的撓度以與y同向?yàn)檎?，則在小變形情況有 （2）當(dāng)彎矩M由零逐漸增大時(shí)，起初整個(gè)截面都處于彈性狀態(tài)，這是Hooke定律給出 （3）再由平衡方程，可得到 （4）其中，是截面的慣性矩。將帶入（3）式，可知顯然，最外層纖維的應(yīng)力值最大。當(dāng)M增大時(shí)，最外層纖維首先達(dá)到屈服，即 （5）這時(shí)的彎矩是整個(gè)截面處于彈性狀態(tài)所能承受的最大彎矩，即為彈性極限彎

3、矩，它等于 （6）對(duì)應(yīng)的曲率可由式（4）求得 （7）當(dāng)時(shí)，梁的外層纖維的應(yīng)變繼續(xù)增大，但應(yīng)力值保持為不再增加，塑性區(qū)將逐漸向內(nèi)擴(kuò)大。彈塑性的交界面距中性面為。在彈性區(qū)：，；在塑性區(qū)：，在彈塑性區(qū)的交界處，因而，由此可求出此時(shí)的曲率和彎矩分別為 （8） （9）從這兩個(gè)式子消去，可得時(shí)的彎矩-曲率關(guān)系為 （10）或 （12）當(dāng)M繼續(xù)增加使得時(shí)，截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)。這時(shí)，而。當(dāng)梁的曲率無限增大時(shí)，彎矩趨向一極限值，此極限值即為塑性極限彎矩?？傻镁匦谓孛媪旱乃苄詷O限彎矩為 （13）采用以下量綱為一的量：， （14）矩形截面梁的彎矩-曲率關(guān)系可以寫成 （15）2.2 梁在橫向載荷作用下的彈塑性彎曲考慮

4、端點(diǎn)受集中力F作用的矩形截面懸臂梁，若（本例中滿足此要求），則梁中的剪應(yīng)力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用彈塑性純彎曲的分析結(jié)果來研究橫向載荷作用下的彈塑性彎曲問題。本例中，顯然根部彎矩最大，因而根部截面的最外層纖維（圖1中的A點(diǎn)與B點(diǎn)）應(yīng)力的絕對(duì)值最大。當(dāng)F增加時(shí)，A、B點(diǎn)將進(jìn)入塑性，這時(shí)的載荷是梁的彈性極限載荷 （16）當(dāng)時(shí)，彎矩仍沿梁軸方向呈線性分布。設(shè)在處有，則。在范圍內(nèi)的各截面，都有部分區(qū)域進(jìn)入塑性，且由式（9）可知各截面上彈塑性區(qū)域的交界線決定于 （17）其中已用到。式（17）證明，彈塑性區(qū)域的交界線是兩段拋物線。當(dāng)時(shí)，梁的根部（x=0）處的彎矩達(dá)到塑性極限彎矩，即,這

5、時(shí)梁內(nèi)塑性區(qū)如圖4中的陰影部分所示，且塑性區(qū)域分界線連接成一條拋物線，梁的根部形成塑性鉸。這時(shí)，由于根部的曲率可以任意增長(zhǎng)，懸臂梁?jiǎn)适Я诉M(jìn)一步承載的能力。因此，即為懸臂梁的極限載荷，懸臂梁不能承受超過的載荷。圖4 受集中力作用的懸臂梁在小撓度情形下，利用的關(guān)系可以求得梁的撓度。具體來說，在懸臂梁受端部集中載荷的問題中，以帶入式（15）可得 （18）其中，利用邊界條件和在處的關(guān)于y和的連續(xù)性條件，可對(duì)式（18）積分兩次，得到梁端撓度的表達(dá)式 （19）其中是f=1（即）時(shí)的，可按材料力學(xué)方法求出為 （20）當(dāng)（即）時(shí)，式（19）給出相應(yīng)的梁端撓度為 （21）代入題目所給數(shù)據(jù)可得到3. 有限元分析

6、3.1 有限元模型此問題屬于平面應(yīng)力問題，采用二維有限元模型，選取平面圖形作為分析模型，其長(zhǎng)度l=10m，高度h=1m。3.2 材料屬性定義圓筒材料為鋼材，彈性模量200Gpa，屈服強(qiáng)度380Mpa，泊松比0.3，截面屬性選用實(shí)體、勻質(zhì)，采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系。 3.3 分析步的定義由于是非線性分析，Step中設(shè)置分析過程和輸出要求選擇靜態(tài)分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，輸出要求采用默認(rèn)輸出。3.4 載荷施加和邊界條件布置載荷邊界條件和位移邊界條件，將模型左端固支，右上端頂點(diǎn)施加集中力載荷。3.5 網(wǎng)格劃分按照四節(jié)點(diǎn)四邊形平面應(yīng)力單元CPS4I（如圖5）劃分網(wǎng)格，定義不同大小位

7、移載荷進(jìn)行分析計(jì)算，分析采用Mises準(zhǔn)則。圖5 懸臂梁的有限元網(wǎng)格3.6 結(jié)果及分析3.6.1 彈性極限載荷和塑性載荷壓力的確定當(dāng)取時(shí)，等效塑性應(yīng)變分布如圖6所示，結(jié)構(gòu)的等效塑性應(yīng)變均為0，可以看出系統(tǒng)處于彈性狀態(tài)并未產(chǎn)生塑性應(yīng)變，此時(shí)懸臂梁處于彈性階段。 圖6 等效塑性應(yīng)變?cè)茍D當(dāng)取時(shí)，等效塑性應(yīng)變分布如圖7所示，最大等效塑性應(yīng)變均為3.811e-6，最小等效塑性應(yīng)變?yōu)?，可以看出系統(tǒng)部分處于彈性狀態(tài)，部分處于塑性階段，此時(shí)結(jié)構(gòu)處于彈塑性階段。圖7 等效塑性應(yīng)變?cè)茍D當(dāng)取時(shí)，應(yīng)力分布如圖8所示，可以看出根部還沒有形成塑性鉸，即根部還沒有完全進(jìn)入塑性，也就是說系統(tǒng)部分處于彈性狀態(tài)，部分處于塑性階

8、段，此時(shí)結(jié)構(gòu)仍處于彈塑性階段。圖8 應(yīng)力云圖當(dāng)取時(shí)，應(yīng)力分布如圖9所示，可以看出根部形成塑性鉸，懸臂梁不能再承受超過的載荷。圖9 應(yīng)力云圖綜上分析可知，有限元模擬所得的彈性極限載荷在之間，塑性極限載荷在之間。與理論解相比，有限元所得彈性極限載荷的誤差大約為，有限元所得塑性極限壓力的誤差大約為，與理論解相比，誤差較小。不僅如此，圖9表明，彈塑性區(qū)域的交界線是兩段拋物線，與塑性力學(xué)解式（17）相同。3.6.2 懸臂梁彈塑性彎曲過程分析對(duì)于這種懸臂梁在端部受集中力的問題，在ABAQUS中施加位移載荷模擬，取位移，可以得到載荷作用點(diǎn)的載荷-位移曲線，如圖10所示，圖10 有限元所得的載荷-位移曲線將有限元所得的載荷-位移曲線與式（19）相比可知，有限元中懸臂梁的變形與理論分析結(jié)果基本一致，剛開始都是彈性階段，隨著載荷增大，進(jìn)入彈塑性階段，直到載荷增大到塑性極限載荷，根部形成塑性鉸，懸臂梁?jiǎn)适нM(jìn)一步承載的能力。由上圖也可看出，大約為，大約為，同時(shí)可以得到大約為13.6mm，大約為30.0mm，與理論解相比，彈性極限位移誤差大約為，塑性極限位移誤差大約為，位移誤差相對(duì)于載荷誤差較大。原因可能有：一是隨著位移增加，可能會(huì)進(jìn)入彈塑性大撓度情形；二是模型所采用的單元不獨(dú)有彎曲應(yīng)力，即不滿足平截面假設(shè)。4. 總結(jié)首先，本文通過理論分析理想彈塑性材料懸臂梁受集中力作用的彈塑性彎曲，得到懸