高等數(shù)學(xué)侯風(fēng)波第2章課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義第二節(jié)第二節(jié)極限的運算極限的運算第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限 二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限 三、極限的性質(zhì)三、極限的性質(zhì)四、極限分析定義四、極限分析定義 五、無窮小量五、無窮小量 六、無窮大量六、無窮大量 第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義 第一節(jié)第一節(jié) 極限的定義極限的定義0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限 引引例例 從從函函數(shù)數(shù)圖圖形形特特征征觀觀察察函函數(shù)數(shù)的的極極限限 如如圖圖：當(dāng)當(dāng)1x 時時，( )1f xx無無限限接接近近； 如如圖圖：當(dāng)當(dāng)1x 時時，21( )1x

2、g xx無無限限接接近近于于 O 1 -1 x 1 1 ) ( 2 x x x g y 圖圖 圖圖O1-1(1,2)xyf(x)=x+1一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限 鄰鄰域域的的概概念念：開開區(qū)區(qū)間間（x，x）稱稱為為以以 x為為中中心心，以以 （）為為半半徑徑的的鄰鄰域域， 簡簡稱稱為為點點 x的的鄰鄰域域，記記為為N（x，） 用用0(, )N x表表示示 0 x的的空空心心鄰鄰域域，即即0000(,) ( ,)(0)xxx x 函數(shù)函數(shù)( )1f xx與與21( )1xg xx是兩個不同的函數(shù)， 前者是兩個不同的函數(shù)， 前者在在1x 處有定義，后者在處有定義，后者在1x 處無定義這就是說，

3、當(dāng)處無定義這就是說，當(dāng)1x 時，時，( )f x，( )g x的極限是否存在與其在的極限是否存在與其在1x 處是否處是否有定義無關(guān)有定義無關(guān) 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( )f x在在 0 x的的某某一一空空心心鄰鄰域域0(, )N x內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 x在在0(, )N x內(nèi)內(nèi)無無限限接接近近于于 0 x時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則 A為為0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限， 記記作作0lim( )xxf xA或或0( )()f xA xx 0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( )f x

4、在在 0 x的的右右半半鄰鄰域域00(,)x x內(nèi)內(nèi)有有定定義義，當(dāng)當(dāng)自自變變量量x在在此此半半鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無無限限接接近近于于 0 x時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值( )f x無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為函函數(shù)數(shù)( )f x在在 0 x處處的的右右極極限限，記記為為 由該定義可知由該定義可知, , 討論函數(shù)討論函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限處的右極限0lim( )xxf xA時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于 0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx . .于是有于是有 00lim( )lim( )xxxxf xf xA. . 000lim (

5、)()( )().xxf xAf xAf xA xx，或定義定義 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在 0 x的左半鄰域的左半鄰域),(00 xx內(nèi)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量有定義，當(dāng)自變量 x在此半鄰域內(nèi)無限接近于在此半鄰域內(nèi)無限接近于 0 x時，時，相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值)(xf 無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù))(xf在在 0 x處的左極限，記為處的左極限，記為，Axfxx)(lim0或或Axf)(0或或).()(0 xxAxf 3 3 0 xx時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 由 該 定 義 知由 該 定 義 知 , , 討 論 函 數(shù)討 論 函 數(shù))(xf在在0 x

6、處 的處 的 左 極 限左 極 限Axfxx)(lim0時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx , ,于是有于是有 Axfxfxxxx)(lim)(lim00. . 定定理理 1 1 Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是 .)(lim)(lim00Axfxfxxxx例例 1 1 設(shè)設(shè),0( )1,0,0 xxf xxxx，畫畫出出該該函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形，并并討討論論)(lim0 xfx，)(lim0 xfx，)(lim0 xfx是是否否存存在在 解解 )(xf的的圖圖形形如如圖圖 3 3( (見見下下頁頁) )所所示示，由由該該圖

7、圖不不難難看看出出： 0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx. . 例例 2 2 設(shè)設(shè)1,0sgn0,01,0 xxxx， ( (通通常常稱稱 xsgn為為符符號號函函數(shù)數(shù)) )，畫畫圖圖討討論論,sgnlim0 xx ,sgnlim0 xx xxsgnlim0是是否否存存在在 解解 函數(shù)函數(shù)xsgn的圖形如圖的圖形如圖 4 4( (見見右右上圖上圖) )所示，不難看所示，不難看出出；1sgnlim0 xx；1sgnlim0 xx；xxsgnlim0不存在不存在. . y O 1 -1 x 1 圖圖 3 3 O -1 x 1 y 圖圖 4 4 4 4 x時時函函

8、數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 4 4 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在ax |時時有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 x的的絕絕對對值值無無限限增增大大時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為 x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或)()(xAxf. . 5 5 x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 5 5 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內(nèi)內(nèi)有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，當(dāng)當(dāng)自自變變量量x無無限限增增大大時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值 )(x

9、f無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)A，則則稱稱A為為x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或 )()(xAxf 定定義義 6 6 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內(nèi)內(nèi)有有定定義義( ( a為為某某個個實實數(shù)數(shù)) )，當(dāng)當(dāng)自自變變量量無無限限變變小小( (或或x無無限限變變大大) )時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限，記記Axfx)(lim或或)()(xAxf 定定理理 2 2 lim( )xf xA的的充充要要條條件件是是 )(limxfx =Axfx)(lim 6 6x時時函函數(shù)數(shù)

10、)(xf的的極極限限 例例 3 3 由由圖圖 5 5 可可知知： 01limxx；01limxx 圖圖5 5 O x y x e y O x y x y 1 圖圖6 6 由圖由圖 6 6 可知可知 0elimxx 1 1 數(shù)數(shù)列列的的概概念念 設(shè)自變量為正整數(shù)的函數(shù)設(shè)自變量為正整數(shù)的函數(shù)), 2 , 1)( nnfun，其，其函 數(shù) 值 按 自 變 量函 數(shù) 值 按 自 變 量n由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù)由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù) ,321nuuuu 稱為數(shù)列，將其簡記為稱為數(shù)列，將其簡記為 nu，其中，其中 nu為數(shù)列為數(shù)列 nu的通項或一般項的通項或一般項 例例如如

11、 nnu21，相相應(yīng)應(yīng)的的數(shù)數(shù)列列為為 ,21,21,21,2132n 2 2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限定義定義 7 7 對于數(shù)列對于數(shù)列 nu，如果當(dāng)，如果當(dāng) n無限增大時，通無限增大時，通項項nu無限接近于某個確定的常數(shù)無限接近于某個確定的常數(shù) A，則稱，則稱 A為數(shù)列為數(shù)列nu的極限，或稱數(shù)列的極限，或稱數(shù)列 nu收斂于收斂于A，記為，記為Aunnlim或或)(nAun 若數(shù)列若數(shù)列 nu沒有極限， 則稱該數(shù)列發(fā)散沒有極限， 則稱該數(shù)列發(fā)散 二、數(shù)列的極限二、數(shù)列的極限例例 3 3 觀觀察察下下列列數(shù)數(shù)列列的的極極限限： ( (1 1) ) 1nnun： ( (2 2) ) nnu21： (

12、 (3 3) ) 12 nun： ( (4 4) ) 1) 1(nnu 解解 觀察數(shù)列在觀察數(shù)列在n時的發(fā)展趨勢，得時的發(fā)展趨勢，得 （ 1 1 ） 對 于 數(shù) 列對 于 數(shù) 列1nnun， 即， 即,.1,.,43,32,21nn極 限極 限11limnnn； （2 2） 對于數(shù)列對于數(shù)列nnu21， 即， 即,.21,.,21,21,2132n極限極限021limnn； （ 3 3 ） 對 于 數(shù) 列） 對 于 數(shù) 列12 nun， 即， 即,.12,.,7 , 5 , 3n極 限極 限) 12(limnn不存在不存在； （4 4）對于數(shù)列）對于數(shù)列1) 1(nnu，即，即,.) 1(,.

13、,1 , 1, 11n極限極限1) 1(limnn不存在不存在 3. 3.數(shù)列極限存在定理數(shù)列極限存在定理單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 如果數(shù)列如果數(shù)列nu對于每一個正整數(shù)對于每一個正整數(shù) n，都，都有有1nnuu，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列nu為單調(diào)遞增數(shù)列；類似地，如為單調(diào)遞增數(shù)列；類似地，如果數(shù)列果數(shù)列nu對于每一個正整數(shù)對于每一個正整數(shù) n，都有，都有1nnuu，則稱數(shù)，則稱數(shù)列列nu為單調(diào)遞減數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 有有界界數(shù)數(shù)列列 如如果果對對于于數(shù)數(shù)列列 nu，存存在在一一個個正正常常數(shù)數(shù) M， 使使得得對對于于每每一一項項 nu， 都都有有|nuM， 則則稱稱數(shù)數(shù)列列 nu為為有有界界數(shù)數(shù)列列 定定理

14、理 3 3 ( (單單調(diào)調(diào)有有界界原原理理) ) 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 ( (惟一性惟一性) ) 若若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，則則BA . . 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 ( (有有界界性性) ) 若若Axfxx)(lim0，則則存存在在 0 x的的某某一一空空心心鄰鄰域域),(0 xN，在在),(0 xN內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù))(xf有有界界 三、極限的性質(zhì)三、極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 3 3 ( (保號性保號性) ) 若若Axfxx)(lim0且且 0A( (或或 0A) )，則存在某個，則存在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN，在，在),(0 xN內(nèi)內(nèi)

15、0)(xf ( (或或0)(xf) ) 推論推論 若在某個若在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN內(nèi)，內(nèi)， )(xf0 0 ( (或或)(xf0 0) )，且，且 Axfxx)(lim0 , ,則則 A0(0(或或 A0)0). . 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 ( (夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) 若若 x),(0 xN ( (其中其中 為為某 個 正 常 數(shù)某 個 正 常 數(shù) ) ) 時 ， 有時 ， 有)(xg)(xf)(xh，Axhxgxxxx)(lim)(lim00 , ,則則 Axfxx)(lim0. . 上述性質(zhì)，若把上述性質(zhì)，若把0 xx 換成自變量換成自變量 x的其他變化過的其他變化過程，有類似的

16、結(jié)論成立程，有類似的結(jié)論成立 定義定義 1 ( (極限的極限的定義定義) ) 設(shè)設(shè))(xf在在 0 x的的某個某個鄰域鄰域),(0 xN中有定義，若對任意給定的正數(shù)中有定義，若對任意給定的正數(shù) ，存在，存在0，使得當(dāng)，使得當(dāng)00 xx時，總有時，總有 Axf)(成成立，立，則稱則稱0 xx 時，時， )(xf以以 A 為極限，記為為極限，記為Axfxx)(lim0 五五、無無窮窮小小量量 1 1 無無窮窮小小量量的的定定義義 定定義義 8 8 極極限限為為零零的的變變量量稱稱為為無無窮窮小小量量， 簡簡稱稱無無窮窮小小 說說明明（1 1）數(shù)數(shù)零零是是惟惟一一可可作作為為無無窮窮小小的的常常數(shù)數(shù)

17、. . （2 2） 無無窮窮小小表表達達的的是是量量的的變變化化狀狀態(tài)態(tài)， 而而不不是是量量的的大大小小一一個個量量不不管管多多么么小小，都都不不能能是是無無窮窮小小量量，零零是是惟惟一一例例外外的的即即無無窮窮小小量量是是絕絕對對值值無無限限變變小小且且趨趨于于零零的的量量 四、極限分析定義四、極限分析定義 例例 4 4 自變量自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮?。焊F小：11) 1 (xy；12)2(xy；xy2)3(；xy41)4(. 解解 ( (1 1) ) 因因為為011limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， 11x為為無無窮窮小?。?( (2 2)

18、) 因因為為0) 12(lim21xx，所所以以當(dāng)當(dāng)21x時時， 12 x 為為無無窮窮小小； ( (3 3) ) 因因為為02limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， x2為為無無窮窮小?。?( (4 4) ) 因因為為041limxx， 所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， x41為為無無窮窮小小 2 2 極極限限與與無無窮窮小小量量之之間間的的關(guān)關(guān)系系 設(shè)設(shè)Axfxx)(lim0，即即0 xx 時時，函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，也也就就是是說說Axf)(無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)零零，即即0 xx 時時， Axf)(以以零零為為極極限限，也也就就是是說說0 xx 時時， Axf)(為

19、為無無窮窮小小量量，若若記記Axfx)()(，則則有有)()(xAxf，于于是是有有 定定 理理4 4 ( ( 極極 限限 與與 無無 窮窮 小小 量量 之之 間間 的的 關(guān)關(guān) 系系 ) ) Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是)()(xAxf，其其中中)(x是是0 xx 時時的的無無窮窮小小量量 定定理理 4 4 中中自自變變量量 x的的變變化化過過程程換換成成其其他他任任何何一一種種情情形形,(00 xxxxx ),xx后后 仍仍 然然 成成立立 解解因為因為1)11 (lim1lim)(limxxxxfxxx，而，而xxxxf111)(中的中的x1為為x時的無窮小量，所以，時的

20、無窮小量，所以，xxf11)(為所求極限值與一個無窮小量之和的形式為所求極限值與一個無窮小量之和的形式 3 3 無窮小量的運算性質(zhì)無窮小量的運算性質(zhì) 定定理理 5 5 有有限限個個無無窮窮小小的的代代數(shù)數(shù)和和是是無無窮窮小小量量 說說明明：無無窮窮多多個個無無窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和未未必必是是無無窮窮小小量量. .如如n時時 ，,2,122nn 2nn均均 為為 無無 窮窮 小小 量量 ， 但但21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn. . 例例 5 5 當(dāng)當(dāng)x時時，將將函函數(shù)數(shù)xxxf1)(寫寫成成其其極極限限值值與與一一個個無無窮窮小小量量之

21、之和和的的形形式式 定定理理 6 6 無無窮窮小小與與有有界界量量的的積積是是無無窮窮小小 推推論論 1 1 常常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小的的積積是是無無窮窮小小 推推論論 2 2 有有限限個個無無窮窮小小的的積積仍仍是是無無窮窮小小 說說明明：兩兩個個無無窮窮小小之之商商未未必必是是無無窮窮小小. .如如0 x時時，x 與與 2x 皆皆為為無無窮窮小小，但但由由22lim0 xxx知知 xx2當(dāng)當(dāng)0 x時時不不是是無無窮窮小小 例例 6 6 求求xxx1sinlim20 解解 因為因為0lim20 xx，所以，所以 2x為為x時的無窮小時的無窮小量，又因為量，又因為x1sin1 1，所以，所以x

22、x1sin2仍為仍為0 x時的無窮時的無窮小量，所以小量，所以 01sinlim20 xxx. . 1 1 無無窮窮大大量量的的定定義義 定定義義 9 9 在在自自變變量量 x 的的某某個個變變化化過過程程中中，若若相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值的的絕絕對對值值)(xf無無限限增增大大， 則則稱稱)(xf為為該該自自變變量量變變化化過過程程中中的的無無窮窮大大量量( (簡簡稱稱為為無無窮窮大大) )；如如果果相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf ( (或或)(xf) )無無限限增增大大， 則則稱稱)(xf為為該該自自變變量量變變化化過過程程中中的的正正( (或或負(fù)負(fù)) )無無窮窮大大 如 果 函 數(shù)如

23、果 函 數(shù))(xf是是0 xx 時 的 無 窮 大 ， 記 作時 的 無 窮 大 ， 記 作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的正無窮大，記作時的正無窮大，記作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的負(fù)無窮大，記作時的負(fù)無窮大，記作)(lim0 xfxx 對于自變量對于自變量 x 的其的其他變換過程中的無他變換過程中的無窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量可用類似的方法描可用類似的方法描 六、無窮大量六、無窮大量述述 值值得得注注意意的的是是，無無窮窮大大量量是是極極限限不不存存在在的的一一種種情情形形，這這里里借借用用極極限

24、限的的記記號號，但但并并不不表表示示極極限限存存在在 例例 x1是是 0 x時的負(fù)無窮大量；用記號表示為時的負(fù)無窮大量；用記號表示為 ,1lim0 xx 2x是是x時的正無窮大量，用記號表時的正無窮大量，用記號表示為示為 2limxx. . 2 2 無無窮窮大大與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系 定理定理 7 7 ( (無窮大與無窮小的關(guān)系無窮大與無窮小的關(guān)系) ) 在自變量在自變量的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮小的倒數(shù)為無窮大 例例 7 7 自自變變量量在在怎怎樣樣的的變變化化過過程程中中，下下列列函函數(shù)數(shù)為為無

25、無窮窮大大： (1) (1) 11xy； (2)(2) 12 xy； (3) (3) xyln； (4)(4) xy2 解解 ( (1 1) )因因為為0) 1(lim1xx， 即即1x時時 1x為為無無窮窮小小量量，所所以以11x為為1x時時的的無無窮窮大大量量； ( (2 2) ) 因因為為0)121(limxx，所所以以x時時121x為為無無窮窮小小量量，所所以以12 x為為x時時的的無無窮窮大大量量； (3) (3) 由右圖知，由右圖知， 0 x時，時，xln，xxlnlim0 x時 ，時 ，xln， 即， 即xxlnlim 所以，所以， 0 x 及及x時，時，xln都是無窮大量；都是

26、無窮大量； O y x 1 x y ln 思考題思考題 在在Axfxx)(lim0的定義中，為何只要求的定義中，為何只要求)(xf在在的的0 x的某個空心鄰域的某個空心鄰域),(0 xN內(nèi)有定義？內(nèi)有定義？ xxxsinlim是否存在，為什么？是否存在，為什么？ ( (4 4) )因因為為02limxx，即即x時時x2為為無無窮窮小小量量，因因此此xx221為為x時時的的無無窮窮大大量量； 一、極限運算法則一、極限運算法則二、兩個重要極限二、兩個重要極限三、無窮小的比較三、無窮小的比較第二節(jié)極限的運算第二節(jié)極限的運算設(shè)設(shè))(limxf及及)(limxg都都存存在在（假假定定x在在同同一一變變化

27、化過過程程中中） ，則則有有下下列列運運算算法法則則： 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下下面面我我們們來來證證明明法法則則，其其他他證證法法類類同同 一、極限運算法則一、極限運算法則證證 設(shè)設(shè)BxgAxf)(lim,)(lim，則知，則知 BxgAxf)(,)(（ ，都是無窮小量）都是無窮小量） 于是于是 )()()()(BAABBAxgxf 由由無無窮窮小小的的性性質(zhì)質(zhì)知知 BA仍仍為為無無窮窮小小，再再由由極極限限

28、與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系，得得 )()(limxgxfAB= =)(lim)(limxgxf 例例 求求) 143(lim22xxx 解解 514lim3lim) 143(lim22222xxxxxxx 例例 求求2342lim221xxxx 解解 因因 為為05)23(lim21xx, , 所所 以以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 例例 求求45127lim224xxxxx 解解 當(dāng)當(dāng)4x時時，分分子子分分母母都都為為，故故可可約約去去公公因因式式 （4x） .3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxx

29、xxxxxxxxxx例例 4 4 求求2332lim22xxxxx. . 解解 32213312lim2332lim2222xxxxxxxxxx 一一般般地地 ., 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx當(dāng)當(dāng)當(dāng)例例 5 5 求求下下列列函函數(shù)數(shù)極極限限： ( (1 1) ) )1113(lim31xxx；( (2 2) ) xxx11lim0； ( (3 3) )31coslimxxxx. . 解解 (1) (1) 當(dāng)當(dāng)1x時時, ,上式兩項極限均為不存在上式兩項極限均為不存在( (呈現(xiàn)呈現(xiàn)形式形式),),我們可以先通分我們可以先通分, ,再求極限再求極限

30、. . . 112lim)1)(1 ()1)(2(lim)1)(1 ()1 (3lim)1113(lim212122131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx(3) (3) 因為當(dāng)因為當(dāng)x時時, , xxcos極限不存在極限不存在, ,也不能直也不能直接用極限法則接用極限法則, ,注意到注意到xcos有界有界( (因為因為|cos|x1 1),),又又 , 01lim1lim23xxxxxxxx( (2 2) ) 當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,分分子子分分母母極極限限均均為為零零( (呈

31、呈現(xiàn)現(xiàn) 00形形式式) ), ,不不能能直直接接用用商商的的極極限限法法則則, ,這這時時, ,可可先先對對分分子子有有理理化化, ,然然后后再再求求極極限限. . 根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質(zhì)根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質(zhì), ,得得 . 01coslim1coslim33xxxxxxxx小結(jié)：小結(jié)： (1 (1) )運用極限法則時運用極限法則時, ,必須注意只有各項必須注意只有各項極限存在極限存在( (除式除式, ,還要分母極限不為零還要分母極限不為零) )才能適用；才能適用； ( (2 2) )如如果果所所求求極極限限呈呈現(xiàn)現(xiàn) 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用極極限限法法則

32、則, ,必必須須先先對對原原式式進進行行恒恒等等變變形形( (約約分分, ,通通分分, ,有有理理化化，變變量量代代換換等等) )，然然后后再再求求極極限限 ( (3 3) )利利用用無無窮窮小小的的運運算算性性質(zhì)質(zhì)求求極極限限. . 1. 1. 1sinlim0 xxx 證明證明 作單位圓如下圖所示作單位圓如下圖所示, ,取取xAOB (rad)(rad), ,于于是 有是 有 ：BC,sin xABx, ,xADtan. . 由 圖 得由 圖 得OADOABOABSSS扇形, , 即即 xxxtan2121sin21 得得 xxxtansin, ,從從而而 有有1sincosxxx. .

33、D A B C O x 二、兩個重要極限二、兩個重要極限上上述述不不等等式式是是當(dāng)當(dāng)20 x時時得得到到的的, ,但但因因當(dāng)當(dāng) x用用x代代換換時時xcos, ,xxsin都都不不變變號號, ,所所以以 x為為負(fù)負(fù)時時, ,關(guān)關(guān)系系式式也也成成立立. . 因因為為1coslim0 xx, ,又又11lim0 x, ,由由極極限限的的夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則知知介介于于它它們們之之間間的的函函數(shù)數(shù)xxsin當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,極極限限也也是是 1 1. . 這這樣樣就就證證明明了了1sinlim0 xxx. . 說明： （說明： （1 1）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)）這個重要極限主要解決含有三角函

34、數(shù)的的00型極限型極限 （2 2）為了強調(diào)其一般形式）為了強調(diào)其一般形式, ,我們把它形象地寫成我們把它形象地寫成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一變量方框代表同一變量) ) 例例 6 6 求求xxx4sin3sinlim0. . 003040sin3sin343limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 7 7 求求20cos1limxxx. . 解解 2122sinlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx 解解例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 203030co

35、s1sincos1lim)cos1 (tanlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxx 由例由例 7 7 知知)0(21cos12xxx, , 故故21sintanlim30 xxxx. . 解解2 2. . e11limxxx 解解釋釋說說明明：列列出出xx11的的數(shù)數(shù)值值表表( (如如下下表表) )，觀觀察察其其變變化化趨趨勢勢. . 1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718xx11x從從上上表表可看出可看出, ,當(dāng)當(dāng)x無限增大時無限增大時, ,函數(shù)函數(shù)xx11變化的變化的大致趨勢大致趨勢, ,可以

36、證明當(dāng)可以證明當(dāng)x時時, , xx11的極限確實存的極限確實存在在, ,并且是一個無理數(shù)并且是一個無理數(shù), ,其值為其值為718282828. 2e , ,即即 e11limxxx說明： （說明： （1 1）此極限主要解決）此極限主要解決 1型冪指函數(shù)的極限型冪指函數(shù)的極限 （2 2）它可形象地表示為）它可形象地表示為 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一變量框代表同一變量) ) 例例 9 9 求求xxx31lim. . 解解 所 求 極 限 類 型 是所 求 極 限 類 型 是1型型 , , 令令ux3, , 則則ux3. . 333311lim 1lim 1lim1exuuxuux

37、uu 例例 1010 求求2lim 1xxx. . 解解 所求極限類型是所求極限類型是 1型型. . 22221lim 1lim1e .2xxxxxx例例 1 11 1 求求2lim3xxxx. . 解解 所所求求極極限限類類型型是是 1型型, ,令令uxx1132, ,解解得得3 ux. .當(dāng)當(dāng)x時時, , u. .于于是是 332111limlim 1lim 1lim 1e.3xuuxuuuxxuuu 定定義義 設(shè)設(shè)某某一一極極限限過過程程中中, , 與與 都都是是無無窮窮小小, ,且且 Clim（C為為常常數(shù)數(shù)）. . (1)(1)若若0C，則稱，則稱 是比是比 高階的無窮小，記成高階的

38、無窮小，記成)(ao ( (此時，也稱此時，也稱 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小) ) (2)(2)若若0C， 則稱， 則稱 與與 是同階無窮小， 特別地，是同階無窮小， 特別地，若若1C，則稱，則稱 與與 是等價無窮小，記為是等價無窮小，記為 例例如如，1sinlim0 xxx即即)0(sinxxx； 12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 三、無窮小的比較三、無窮小的比較 定定理理 設(shè)設(shè),) 1 (aa； ),(lim)2(或Aa 則則)(limlim或Aaa ).(limlimlimlimlimlim或Aaaaaaaaa 證證例例 1212 求求xxx5sin2t

39、anlim0 解解 當(dāng)當(dāng)0 x時時，xx22tan, ,xx55sin, ,所所以以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx例例 1 13 3 求求30sintanlimxxxx 解解 因因為為當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,xx sin, ,221cos1xx, ,所所以以 3330002301sin1tansinsin (1 cos )coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxx常常用用的的幾幾個個等等價價無無窮窮小小代代換換 當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,有有 2sin ,tan ,arcsin ,arctan11 cos,ln(1) ,e1 ,2

40、111.2xxxxxxxxxxxxxxxx 思考題思考題1.1.下列運算錯在何處：下列運算錯在何處： ; 01coslim01coslimsinlim1cossinlim) 1 (0000 xxxxxxxxx22222lim(2)lim.2lim(2)xxxxxxx 2 2. .兩兩個個無無窮窮大大的的和和仍仍為為無無窮窮大大嗎嗎? ?試試舉舉例例說說明明. . 一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)性是自然界中各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，連續(xù)性是自然界中

41、各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的連續(xù)增長等連續(xù)增長等 函數(shù)的增量函數(shù)的增量 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy在點在點 0 x的某鄰域上有定的某鄰域上有定義， 當(dāng)自變量義， 當(dāng)自變量 x由由 0 x變到變到xx0時， 函數(shù)時， 函數(shù) y相應(yīng)由相應(yīng)由)(0 xf變到變到)(0 xxf，函，函 數(shù)相應(yīng)的增量為數(shù)相應(yīng)的增量為 )()(00 xfxxfy. . O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其幾幾何何意意義義如如右右圖圖 所所示示 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函

42、數(shù)的連續(xù)性定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點 0 x的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，如果自變量的增量如果自變量的增量0 xxx趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即也趨于零，即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在點在點0 x是連續(xù)的是連續(xù)的 由于由于y也寫成也寫成)()(0 xfxfy，所以上述定義，所以上述定義 1 1中表達式也寫為中表達式也寫為 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 說說明明：函函數(shù)數(shù))(xf在在點點 0 x連連續(xù)續(xù)，必必須須同

43、同時時滿滿足足以以下下三三個個條條件件： ( (1 1) ) )(xf在在點點 0 x的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述極限值等于函數(shù)值上述極限值等于函數(shù)值)(0 xf 如如果果上上述述條條件件中中至至少少有有一一個個不不滿滿足足，則則點點 0 x就就是是函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點點 定定義義 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若)()(lim00 xfxfxx，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù) 定義定義 3 3 ( (間斷點的分類間斷點的分類) )

44、 設(shè)設(shè) 0 x為為)(xf的一個間的一個間斷點，如果當(dāng)斷點，如果當(dāng)0 xx 時，時， )(xf的左、右極限都存在，的左、右極限都存在，則稱則稱0 x為為)(xf的第一類間斷點；否則，稱的第一類間斷點；否則，稱 0 x為為)(xf的的第二類間斷點第二類間斷點 對第一類間斷點對第一類間斷點還有還有 ( (1 1) )當(dāng)當(dāng))(lim0 xfxx與與)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等時時，稱稱 0 x為為)(xf的的跳跳躍躍間間斷斷點點； ( (2 2) )當(dāng)當(dāng))(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值時時，稱稱0 x為為)(xf的的可

45、可去去間間斷斷點點 若若)(lim0 xfxx，則則稱稱 0 x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點，無無窮窮間間斷斷點點屬屬第第二二類類間間斷斷點點 例例 1 1 設(shè)設(shè) 21,1,1xxf xxx，討討論論)(xf在在1x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解 因為因為 1lim)(lim211xxfxx , , 2) 1(lim)(lim11xxfxx, , 即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖 7 7）. . 例例 2 2 設(shè)設(shè) 4,01,0 xxfxxx，討討論論)(xf在在0 x處處的的連連續(xù)續(xù)性性

46、 解因為解因為0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所以所以0 x是是)(xf的第一類間斷點，且為的第一類間斷點，且為可去間斷點 （如下頁圖可去間斷點 （如下頁圖 8 8）. . O x y 2 1 1 圖圖7 7 O x 1 y 圖圖 8 8 例例3 3 2)1(1)(xxf在在1x處處 沒沒 有有 定定 義義 ， 且且21)1(1limxx，則則稱稱1x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點 如如果果)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)每每一一點點都都是是連連續(xù)續(xù)的的，就就稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)若若)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)連

47、連續(xù)續(xù)，在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù)，在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù). . 連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形是是一一條條連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的曲曲線線 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處右連續(xù)處右連續(xù), 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處左連續(xù)處左連續(xù). 1 1 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)于分段求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性 2 2 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若若)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)， 則則 )()(lim00 xfxfxx ， 即即求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的極極限限，可可歸歸結(jié)結(jié)為為計計算算函函數(shù)數(shù)值值 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 例例 3 3 求求極極限限)ln(si