北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑(四)

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑四11什么是高階導(dǎo)數(shù)？我們知道函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是而導(dǎo)數(shù)仍是可導(dǎo)的，它的導(dǎo)數(shù)是這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為對(duì)y對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)一般地我們有：函數(shù)yfx的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么稱的導(dǎo)數(shù)為yfx的二階導(dǎo)數(shù)記作相應(yīng)地，把yfx的導(dǎo)數(shù)叫作函數(shù)yfx的一階導(dǎo)數(shù)同樣，假設(shè)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么稱其導(dǎo)數(shù)為yfx的三階導(dǎo)數(shù)記作一般地，假設(shè)n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，那么稱其導(dǎo)數(shù)為yfx的n階導(dǎo)數(shù)記作這里的n稱為導(dǎo)數(shù)的階數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)假設(shè)yfx具有n階導(dǎo)數(shù)，也常說成函數(shù)fx為n階可導(dǎo)由以上高階導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求n階導(dǎo)數(shù)，需要求出n1階導(dǎo)數(shù)，要求n1

2、階導(dǎo)數(shù)，需要求出n2階導(dǎo)數(shù)，要求二階導(dǎo)數(shù)，需要求出一階導(dǎo)數(shù)，因此要求高階導(dǎo)數(shù)，只需要進(jìn)行一連串通常求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可例1 求n次多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù)思路啟迪 首先求出fx的一階、二階、三階等階數(shù)較低的n階導(dǎo)數(shù)，從中找出導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)階數(shù)的關(guān)系可見，每經(jīng)一次求導(dǎo)運(yùn)算，多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次繼續(xù)求導(dǎo)下去，易知：是一個(gè)常數(shù)，由此有即n次多項(xiàng)式的一切階數(shù)高于n的導(dǎo)數(shù)都等于零思路啟迪 要證明這個(gè)等式成立，而在此等式的左邊含有，只要能正確求y對(duì)x的兩階導(dǎo)數(shù)，將y及代入等式左邊并驗(yàn)證其為零即可標(biāo)準(zhǔn)證法例4 求ysinx的n階導(dǎo)數(shù)思路啟迪 求sinx的n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是找出n階導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的關(guān)系，為此我們可以先求出較

3、低n階導(dǎo)數(shù)，從中歸納出導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的關(guān)系即可12怎樣求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？前面所討論的函數(shù)求導(dǎo)方法，函數(shù)都是因變量y已經(jīng)寫成自變量x的明顯表達(dá)式y(tǒng)fx的形式，這樣的函數(shù)稱為顯函數(shù)但有時(shí)我們所遇到的函數(shù)關(guān)系不是明顯地用顯函數(shù)形式表示的情形如方程2x5y10及它們都表示x、y之間的函數(shù)關(guān)系一般地我們把由方程Fx，y0表示的因變量y自變量x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)fx稱為隱函數(shù)對(duì)于隱函數(shù)，有時(shí)可以根據(jù)確定隱函數(shù)關(guān)系的方程找出顯函數(shù)形式y(tǒng)fx，從而可利用前面的求導(dǎo)方法把它的導(dǎo)數(shù)找出來，但有時(shí)要把這個(gè)隱函數(shù)表示成顯函數(shù)的形式是比擬復(fù)雜的，有時(shí)甚至是不可能的，這時(shí)要利用前面的方法求導(dǎo)數(shù)就比擬困難，甚至不可能，因此，我

4、們有必要尋求隱函數(shù)的求導(dǎo)方法實(shí)際上，對(duì)于隱函數(shù)我們不需要把它表示成顯函數(shù)的形式，就可以把它的導(dǎo)數(shù)求出來方法是：將確定隱函數(shù)的方程的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)注意到y(tǒng)表示x的函數(shù)，求導(dǎo)過程中，遇到變量y，把y看中間變量，先對(duì)y求導(dǎo)，再乘以y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)即遇到變量y要利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么這樣，我們可以得到一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解出即可思路啟迪 由于y是x的函數(shù)，可將y寫成x的函數(shù)的形式y(tǒng)x，那么可寫成思路啟迪 由于方程所確定的是y為x的函數(shù)，可將y寫成x的形式y(tǒng)x，那么該方程可寫成于是由隱函數(shù)的求導(dǎo)法那么得標(biāo)準(zhǔn)解法 將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，并利用函數(shù)的求導(dǎo)法那么得13什么是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法？它主要適用于哪些類型函

5、數(shù)的求導(dǎo)？對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是將函數(shù)yfx兩端取絕對(duì)值由于求導(dǎo)之后絕對(duì)值同時(shí)去掉，因此常把取絕對(duì)值這一步省略，認(rèn)為fx為正值，即lnfx有意義然后再兩端取對(duì)數(shù)取自然對(duì)數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)形式比擬簡(jiǎn)單這時(shí)我們就把它化成隱函數(shù)，然后再求出它的導(dǎo)數(shù)這種把顯函數(shù)取對(duì)數(shù)化成隱函數(shù)再求導(dǎo)的方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法它常用于由假設(shè)干因式的積、商或根式組成的函數(shù)和冪指函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的優(yōu)點(diǎn)是：它把積變成和，把商變成差，把冪指變成積易知，和差的求導(dǎo)運(yùn)算要比乘、商的求導(dǎo)運(yùn)算簡(jiǎn)單具體步驟如下：1兩端取絕對(duì)值常略去之后，再取自然對(duì)數(shù)2等式兩端分別對(duì)自變量求導(dǎo)舉例如下思路啟迪 在前面我們利用恒等式求出了該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在此我們將利用隱函

6、數(shù)求導(dǎo)法求它的導(dǎo)數(shù)這里可將等式兩端取對(duì)數(shù)首先把它變成隱函數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法標(biāo)準(zhǔn)解法 兩端取對(duì)數(shù)lnygxlnfx，兩端對(duì)x求導(dǎo)思路啟迪 該函數(shù)是由兩個(gè)函數(shù)的商構(gòu)成，而商的分子和分母都是由三個(gè)函數(shù)的積所構(gòu)成，假設(shè)直接利用商與積的求導(dǎo)法那么就比擬麻煩，但假設(shè)借助于兩端取對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法就比擬簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)解法 兩端取對(duì)數(shù)lnylnx1lnx2lnx3lnx4lnx5lnx6,兩端對(duì)x求導(dǎo)14怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性？我們知道，如果函數(shù)fx在區(qū)間a，b內(nèi)是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)fx在區(qū)間a，b具有單調(diào)性，區(qū)間a，b稱為fx的單調(diào)區(qū)間那么怎樣利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的單調(diào)性呢？設(shè)函數(shù)

7、fx在a，b可導(dǎo)，那么曲線yfx處處有切線如圖3-4，曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角是銳角，即這時(shí)函數(shù)在a，b是增函數(shù)如圖3-5曲線上每點(diǎn)的切線與x軸正向的夾角為鈍角，即此時(shí)函數(shù)fx在a，b是減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yfx在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，如果對(duì)任意的點(diǎn)xI，有那么fx在I內(nèi)是增函數(shù)，假設(shè)對(duì)于任意的點(diǎn)xI，有那么fx在I內(nèi)為減函數(shù)思路啟迪 利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性，首先要求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)在哪些范圍內(nèi)是正值，哪些范圍內(nèi)是負(fù)值，從而確定出函數(shù)的增減區(qū)間即當(dāng)x，13，時(shí)，fx是增函數(shù)即當(dāng)x1，3時(shí)，fx是減函數(shù)圖3-6即當(dāng)x，0時(shí)，fx是增函數(shù)即當(dāng)x0，時(shí)fx是減函數(shù)如圖3-7分析上面的例題，當(dāng)

8、x<1或x>3時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)1<x<3時(shí)，fx單調(diào)減少，而當(dāng)x1或x3時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)單調(diào)增加；當(dāng)x>0時(shí)，fx單調(diào)減少，而當(dāng)x0時(shí)，這說明使點(diǎn)x可能是fx單調(diào)增加與單調(diào)減少的分界點(diǎn)因此討論可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，我們也可以按照以下步驟去作：即求出fx的導(dǎo)數(shù)，解出使的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將fx的定義域分成假設(shè)干個(gè)區(qū)間，然后在各個(gè)區(qū)間上判別的符號(hào)，從而可得fx在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性后兩步可用一個(gè)表格來完成列表由上表可知：fx在1與1，上是單調(diào)增加的；在1，1上是單調(diào)減少的15怎樣利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的極值？函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的任意點(diǎn)的函數(shù)值

9、都要小如圖3-8，這時(shí)，我們稱函數(shù)在點(diǎn)O取極小值而函數(shù)在點(diǎn)O附近的任意點(diǎn)x，都有，即函數(shù)在點(diǎn)O的值要比它附近的每一點(diǎn)的函數(shù)值都要大如圖3-9，這時(shí)，我們就說在點(diǎn)O取極大值一般地，設(shè)函數(shù)fx在點(diǎn)附近內(nèi)有定義，假設(shè)對(duì)點(diǎn)附近的每一點(diǎn)x，都有，我們就稱它為fx在點(diǎn)取極大值，是fx在點(diǎn)處的極大值，記作稱為函數(shù)fx的極大值點(diǎn)如果對(duì)點(diǎn)附近的所有點(diǎn)x，都有，我們就稱函數(shù)fx在點(diǎn)取極小值，是fx在點(diǎn)處的極小值，記作稱為函數(shù)fx的極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，在點(diǎn)O的值是0，即在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x<0時(shí)，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)x>0時(shí)，導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)O

10、取極小值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是在點(diǎn)O的左側(cè)，即當(dāng)x<0時(shí)，有導(dǎo)數(shù)；在點(diǎn)O的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，有導(dǎo)數(shù)函數(shù)在點(diǎn)O取極大值一般地，當(dāng)函數(shù)fx在點(diǎn)的附近可導(dǎo)時(shí)，我們判別函數(shù)fx在點(diǎn)處取極大小值的方法是：1假設(shè)在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)那么是極小值2假設(shè)在點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)那么是極大值從上面的討論，我們可以看到，假設(shè)fx在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)取極值，那么有，即可導(dǎo)的極值點(diǎn)滿足但是滿足的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如，在O點(diǎn)處的值，但O不是fx的極值點(diǎn)一般地，我們求函數(shù)極值的步驟是：判別函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)在每個(gè)根兩側(cè)的符號(hào)，并根據(jù)的符號(hào)確定fx在是否取極值思路啟迪 求出并令得其根等，用將函數(shù)的定義域分成假設(shè)干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上用的符號(hào)列出y的增

11、減性所以，當(dāng)x1時(shí)，有極小值；當(dāng)x1時(shí)，有極大值列表16怎樣利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值？對(duì)于實(shí)際問題該怎樣解決？在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多、“收益最大、“用料最省、“本錢最低和“效率最高等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸納為求某函數(shù)的最大值或最小值問題如圖311，在閉區(qū)間a，b上，對(duì)于a，b，都有fxfb，fb就稱為fx在a，b上的最小值；對(duì)于a，b，有就稱為fx在a，b上的最大值一般地，設(shè)fx在區(qū)間I上有定義，假設(shè)存在點(diǎn)，使對(duì)每一點(diǎn)xa，b都有，那么稱fx在I上有最大值，記為M，即；假設(shè)存在點(diǎn)，使對(duì)每一點(diǎn)xa，b都有，那么稱函數(shù)f

12、x在I上有最小值，記為m即一般地，假設(shè)yfx在a，b上連續(xù)，那么fx在a，b上必有最大值與最小值但函數(shù)yfx在開區(qū)間a，b內(nèi)連續(xù)，那么不一定有最大值與最小值如在0，內(nèi)連續(xù)，但fx在0，內(nèi)沒有最大值與最小值從圖311可以看出，假設(shè)函數(shù)的最小值在區(qū)間a，b的內(nèi)部間取得，那么必在極小值點(diǎn)取得；假設(shè)函數(shù)的最大值在區(qū)間a，b的內(nèi)部取得，那么必在極大值點(diǎn)取得最大值與最小值也可能在端點(diǎn)取得，而在極值的討論中，我們可以看出，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，極值點(diǎn)可能在使的點(diǎn)x處取得因此，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，它的最大值與最小值假設(shè)在區(qū)間的內(nèi)部取得，只可能在使得的點(diǎn)取得根據(jù)以上分析，假設(shè)fx在a，b上連續(xù)且可導(dǎo)，那么求fx在a，b上的最大值與最小值的步驟為：2將fa,fb，進(jìn)行比擬，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值思路啟迪 因?yàn)樗o函數(shù)在3，4上可導(dǎo)，所以，只需把的點(diǎn)與端點(diǎn)的值比擬而可得出比擬可得，函數(shù)fx在x4取得它在3，4上的最大值f4142；在x1取得它在3，4上的最小值f17對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題而言，如果在a，b內(nèi)部的根只有一個(gè)，而從實(shí)際含義分析知在a，b內(nèi)一定有最大值或最小值存在那么一般來說，就是所要求的最大值或最小值例2 一木材有直