數(shù)學(xué)分析考試大綱

1、數(shù)學(xué)分析考試大綱一、 課程性質(zhì)和目的數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系的一門重要基礎(chǔ)課， 其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想方法和極限論、 單元和多元微積分、 級(jí)數(shù)論、反常積分等方面的系統(tǒng)知識(shí)。它一方面為后繼課程（如微分方程 、實(shí)變函數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 及有關(guān)的泛函分析、微分幾何 等限選課程及普通物理學(xué) 等）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)， 另一方面還對(duì)提高學(xué)生思維能力，開發(fā)學(xué)生智能加強(qiáng)“三基” （基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本技能）及培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立工作能力等起著重要的作用。通過(guò)本課程教學(xué)的主要環(huán)節(jié) （講授與討論、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)等），使學(xué)生對(duì)極限思想和方法有較深的認(rèn)識(shí)和理解， 從而有助于培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義基本觀

2、點(diǎn)及正確理解 數(shù)學(xué)分析的基本概念和論證方法及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。整個(gè)課程注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯及思想方法，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力，在單元函數(shù)和多元函數(shù)相平行的內(nèi)容以單元函數(shù)為主， 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考得到多元函數(shù)的相應(yīng)結(jié)論。二、課程內(nèi)容充分條件，必要條件，充要條件，絕對(duì)值，不等式，函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，周期函數(shù)，奇偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)，數(shù)列極限，數(shù)列極限的性質(zhì)，單調(diào)有界數(shù)列，子數(shù)列，函數(shù)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系， 兩個(gè)重要極限， 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量， 閉區(qū)間套定理，上確界與下確界，確界存在定理，有限覆蓋定理，致密性定理，柯西收斂準(zhǔn)則，連續(xù)，左連續(xù)，右連續(xù)，間

3、斷點(diǎn)，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)，中間值定理，有界性定理， 最大值與最小值定理， 反函數(shù)的連續(xù)性定理， 一致連續(xù)性定理，初等函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則，微分，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，參數(shù)方程求高階導(dǎo)數(shù)，費(fèi)爾馬定理，洛爾定理，拉格朗日定理， 柯西定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，單調(diào)性判別法，極值，凹凸性，拐點(diǎn)，曲線的漸近線，函數(shù)作圖，不定積分，換元法，分部積分法，有理函數(shù)積分法， 三角函數(shù)有理式積分， 無(wú)理函數(shù)的積分， 平面圖形的面積，立體的體積，平面曲線的弧長(zhǎng)，曲線的曲率，上極限，下極限，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂，條件收斂，無(wú)窮乘積，無(wú)窮積分，瑕積分，反常積分的收斂與發(fā)散

4、，反常積分的計(jì)算，柯西主值，函數(shù)列，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，一致收斂，非一致收斂，一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)的收斂域，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)的展開，富里埃級(jí)數(shù)，富里埃級(jí)數(shù)的展開，平面點(diǎn)集，多元函數(shù)的極限， 多元函數(shù)的連續(xù)性， 偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 一階全微分形式的不變性， 高階偏導(dǎo)數(shù)，高階全微分，泰勒公式，多元函數(shù)的極值，隱函數(shù)存在定理，空間曲線的切線與法平面， 曲面的切平面與法線， 條件極值，含參變量的定積分，含參變量反常積分的一致收斂， 含參變量反常積分的分析性質(zhì)， 歐拉積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式，平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件， 第一型曲面

5、積分， 第二型曲面積分，奧高公式，斯托克斯公式。三、 考試要求第一章函數(shù)考試內(nèi)容：函數(shù) 單調(diào)函數(shù) 周期函數(shù) 奇偶函數(shù) 復(fù)合函數(shù)， 反函數(shù) 初等函數(shù)考試要求：（1）正確理解和掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)， 掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式， 了解函數(shù)的四則運(yùn)算， 復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的定義；（2）掌握初等函數(shù)的性質(zhì)了解幾個(gè)常見非初等函數(shù)的定義及性質(zhì)；（3）理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性等，會(huì)對(duì)初等函數(shù)是否具備這些性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證。第二、三章數(shù)列極限與函數(shù)極限考試內(nèi)容：數(shù)列極限數(shù)列極限的性質(zhì)單調(diào)有界數(shù)列數(shù)極限函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量閉區(qū)間套定理上確界

6、與下確界有限覆蓋定理致密性定理柯西收斂準(zhǔn)則子數(shù)列函兩個(gè)重要極限確界存在定理考試要求：（1）理解和掌握數(shù)列極限的“ -N”定義；（2）會(huì)用數(shù)列極限的“ -N ”定義證明極限的存在性； （3）掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，并會(huì)證明；（4）會(huì)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算、單調(diào)有界定理、兩邊夾定理、歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則證明極限的存在性； （5）會(huì)運(yùn)用極限的四則運(yùn)算、 單調(diào)有界定理、夾逼定理、歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則求數(shù)列的極限； （6）會(huì)運(yùn)用歸結(jié)原則、 柯西收斂準(zhǔn)則證明極限不存在； （7）正確理解和掌握函數(shù)極限的嚴(yán)格定義，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；（8）會(huì)用極限的嚴(yán)格定義解決有關(guān)問(wèn)

7、題和證明極限的存在性，對(duì)極限不存在的含意會(huì)敘述并能正確理解； （9）掌握無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的定義，掌握無(wú)窮小量階的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；（ 10）會(huì)用四則運(yùn)算性質(zhì)、 復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)、兩個(gè)重要極限來(lái)計(jì)算函數(shù)極限；（ 11）理解閉區(qū)間套定理、確界存在定理、有限覆蓋定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則的條件和結(jié)論， 理解這些定理的含意及其關(guān)系， 熟練掌握各定理的證明方法。第四章 連續(xù)函數(shù)考試內(nèi)容：連續(xù) 左連續(xù) 右連續(xù) 間斷點(diǎn) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)中間值定理有界性定理最大值與最小值定理反函數(shù)的連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理初等函數(shù)的連續(xù)性考試要求：（1）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)） ，區(qū)間上函

8、數(shù)連續(xù)的概念、 間斷點(diǎn)及其分類等概念；（2）對(duì)一般的函數(shù)， 特別是初等函數(shù)會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型； （3）掌握函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的局部性質(zhì)；（ 4）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) （有界性定理、 最大值與最小值定理、介值定理、反函數(shù)的連續(xù)性定理、 一致連續(xù)性定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)；（ 5）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明思路和證明方法； （6）熟練掌握一致連續(xù)的概念，并會(huì)證明函數(shù)在某區(qū)間上的一致連續(xù)性與非一致連續(xù)性；（7）了解初等函數(shù)的連續(xù)性，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)求極限。第五章 導(dǎo)數(shù)和微分考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則微分微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分參數(shù)方程求高階導(dǎo)數(shù)考試要求：（1）理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何、物理

9、意義； （2）掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；（3）熟練掌握求導(dǎo)運(yùn)算的四則運(yùn)算法則、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及初等函數(shù)求導(dǎo)公式；（4）會(huì)求參數(shù)方程所決定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； （5）會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程； （6）理解高階導(dǎo)數(shù)的定義， 熟記幾個(gè)重要基本函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式；（7）理解函數(shù)微分的概念， 了解一階微分形式的不變性的含意及高階微分不具有微分形式的不變性。第六章 微分中值定理及其應(yīng)用考試內(nèi)容：費(fèi)爾馬定理 洛爾定理 拉格朗日定理 柯西定理 洛必達(dá)法則 泰勒公式 單調(diào)性判斷法 極限 凹凸性 拐點(diǎn) 曲線的漸進(jìn)線函數(shù)作圖考試要求：（1）熟練掌握微分學(xué)中值定理的條件，結(jié)論和證明方法；（ 2）能用中值定理解決一些證

10、明問(wèn)題； （3）掌握洛必達(dá)法則求極限的方法，了解定理的條件；（4）會(huì)求一些重要函數(shù)的泰勒公式及拉格朗日余項(xiàng)，皮亞諾余項(xiàng)；（5）會(huì)用泰勒公式求極限和求常見函數(shù)的近似值； （6）熟練掌握函數(shù)取得單調(diào)區(qū)間、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)的各充分必要條件；（ 7）對(duì)一般的函數(shù)會(huì)求其單調(diào)區(qū)間、極值、最值、凹凸性、拐點(diǎn)及曲線的漸近線；（8）會(huì)作一般函數(shù)的圖象。第七章實(shí)數(shù)理論簡(jiǎn)介考試內(nèi)容：閉區(qū)間套定理，上確界與下確界，確界存在定理，有限覆蓋定理，致密性定理，柯西收斂準(zhǔn)則以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明?？荚囈螅赫莆崭鞫ɡ淼臈l件和結(jié)論。第八章 不定積分考試內(nèi)容：不定積分 換元法 分部積分法 有理函數(shù)積分法 三角函數(shù)

11、有理式積分 無(wú)理函數(shù)的積分考試要求：（1）掌握原函數(shù)、不定積分的概念； （2）熟練掌握基本積分公式及線性運(yùn)算法則；（3）熟練掌握換元積分法和分部積分法； （4）會(huì)計(jì)算有理函數(shù)的積分，能熟練將三角函數(shù)和幾類常見的無(wú)理函數(shù)化為有理函數(shù)進(jìn)行積分。第九章定積分考試內(nèi)容：定積分 定積分存在的條件 可積函數(shù)類 定積分的性質(zhì) 微積分基本定理 定積分的換元法 分部積分法考試要求：（1）掌握定積分的定義，大、小和的定義及性質(zhì)等； （2）掌握可積的必要條件、 充分條件和證明思路；（3）掌握可積的充分必要條件及證明思路；（ 4）掌握可積函數(shù)類及其證明；（5）掌握微積分基本定理的條件、結(jié)論及應(yīng)用方法；（6）熟練掌握定

12、積分的換元積分法和分部積分法。第十章定積分的應(yīng)用考試內(nèi)容：平面圖形的面積立體的體積平面曲線的弧長(zhǎng)考試要求：（1）熟練掌握平面圖形面積的計(jì)算方法； （2）掌握體積的計(jì)算方法；（3）掌握平面曲線的弧長(zhǎng)的求法，了解曲線的曲率； （4）掌握旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。第十一章反常積分考試內(nèi)容：無(wú)窮積分瑕積分反常積分的收斂與發(fā)散反常積分的計(jì)算考試要求：（1）理解反常積分的概念；（2）會(huì)判斷反常積分的收斂與發(fā)散；（3）掌握反常積分的絕對(duì)收斂與條件收斂； （4）會(huì)利用牛頓萊布尼茲公式、換元積分、分部積分法計(jì)算反常積分。第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：上極限極限數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂條件收斂考試要求：（1）理解上

13、、下極限的定義、性質(zhì)、相互關(guān)系及上、下極限和極限的關(guān)系；（2）深刻理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義及其與數(shù)列收斂的關(guān)系；（3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)及交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散判斷方法， 理解收斂級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的關(guān)系、 性質(zhì)及證明方法；（4）會(huì)用柯西準(zhǔn)則判斷一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性， 特別是級(jí)數(shù)發(fā)散性的判別；（5）了解絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)；（6）了解無(wú)窮乘積的概念與性質(zhì)， 了解無(wú)窮乘積與無(wú)窮級(jí)數(shù)的關(guān)系，了解無(wú)窮乘積的絕對(duì)收斂性。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：函數(shù)列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂非一致收斂一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)考試要求：（1）正確理解函數(shù)列、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂及一致收斂的定義、關(guān)系和性質(zhì)；（2）能熟練地

14、運(yùn)用魏爾斯特拉斯（ Weierstrass）判斷法，阿貝爾（ Abel）判斷法和狄里克萊（ Dirichlet ）一致收斂判斷法；（3）理解函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)。第十四章 冪級(jí)數(shù)考試內(nèi)容：冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的展開考試要求：（1）理解冪級(jí)數(shù)的概念及其性質(zhì)； （2）會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域；（ 3）熟練掌握一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式； （4）會(huì)利用冪級(jí)數(shù)求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)考試內(nèi)容：平面點(diǎn)集多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性考試要求：（1）掌握三維空間中點(diǎn)集的一系列概念； （2）深刻理解一元函數(shù)與多元函數(shù)的極限連續(xù)及重極限、累次極

15、限的區(qū)別和聯(lián)系；（3）會(huì)證明平面點(diǎn)集的閉矩形套定理、致密性定理、 有限覆蓋定理；（4）掌握求多元函數(shù)極限的基本方法；（5）對(duì)比一元函數(shù)， 正確理解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并要求會(huì)證明。第十七章多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容：偏導(dǎo)數(shù)全微分方向?qū)?shù)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一階全微分形式的不變性高階偏導(dǎo)數(shù)高階全微分泰勒公式多元函數(shù)的極值考試要求：（1）掌握二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分的定義，并能熟練地求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)證明函數(shù)在一點(diǎn)是否可微；（2）能熟練掌握二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在、 可微、連續(xù)之間的關(guān)系：（3）理解二元函數(shù)的中值定理和泰勒公式； （4）會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的極值；（5）掌握方向?qū)?shù)的概

16、念，并會(huì)計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)沿某一方向的方向?qū)?shù)。第十八章隱函數(shù)理論與應(yīng)用考試內(nèi)容：隱函數(shù)存在定理 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 條件極值考試要求：（1）會(huì)求由一個(gè)方程或方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；（ 2）會(huì)求空間曲線的切線與法平面； （3）會(huì)求曲線的切線平面與法線；（ 4）會(huì)求條件極值（只要求含有兩個(gè)條件的極值問(wèn)題） 。第十九章含參量積分考試內(nèi)容：含參變量的定積分 含參變量反常積分的一致收斂 含參變量反常積分的分析性質(zhì) 歐拉積分考試要求：（1）掌握含參量的定積分的概念與性質(zhì)，并會(huì)利用含參量的定積分的性質(zhì)計(jì)算某些含參量的定積分； （2）掌握含參量的反常積分收斂和一致收斂的概念及兩者的區(qū)

17、別， 會(huì)判斷一些反常積分收斂和一致收斂性；（3）掌握含參量的反常積分的分析性質(zhì)， 并會(huì)利用含參量的反常積分的分析性質(zhì)計(jì)算某些含參量的反常積分的值： （4）掌握 r 函數(shù)與 B 函數(shù)的關(guān)系，了解 r 函數(shù)與 B 函數(shù)的其它表示形式，并會(huì)利用 r 函數(shù)與 B 函數(shù)及其它們之間的關(guān)系計(jì)算某些積分。第二十、二十二章曲線積分與曲面積分考試內(nèi)容：第一型曲線積分第二型曲線積分格林公式平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第一型曲面積分第二型曲面積分奧高公式斯托克斯公式考試要求：掌握第一型曲線積分、第二型曲線積分、第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義、性質(zhì)及計(jì)算公式。第二十一章重積分考試內(nèi)容：二重積分三重積分考試要求：（1）二重積分的可積性的討論只要求學(xué)生理解其基本思想；（ 2）掌握二、三重積分的定義以及利用累次積分計(jì)算它們的方法； （3）理解二重積分的變量替換定理的內(nèi)容，會(huì)用變量替換計(jì)算某些二重積分，特別要求會(huì)用極坐標(biāo)變換、 反常極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分， 會(huì)計(jì)算某些簡(jiǎn)單的反常二重積分；（4）理解三重積分的變量替換定理的內(nèi)容，會(huì)用變量替換計(jì)算某些三重積分， 特別要求會(huì)用柱面坐標(biāo)變換、 球面坐標(biāo)變換和反常球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分； （5）了解重積分在幾