專題練習(xí)9 與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題專練

1、與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題專練1、 選擇題1、一個(gè)正方體的表面積和它的外接球的表面積之比是( )ABCD【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體表面積正方體外接球半徑為正方體體對(duì)角線的一半，即正方體外接球表面積本題正確選項(xiàng)：2若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)都相等，其外接球的表面積是，則其側(cè)棱長(zhǎng)為（ ）ABCD【答案】B【解析】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴(kuò)展為正方體的外接球，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e是，所以球的半徑為1，所以正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為2，設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a,則.所以側(cè)棱長(zhǎng)為故選：3如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將，分別沿，折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接

2、球的表面積為ABCD【答案】C【解析】由題可得，均為等腰直角三角形，如圖，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，易得，則幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的表面積為故選C4如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為OE，F(xiàn)，G，H為圓O上的點(diǎn)，ABE，BCF，CDG，ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個(gè)四棱錐當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的表面積為( )ABCD【答案】

3、D【解析】如圖：連接交于點(diǎn)，設(shè)重合交于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，因?yàn)樵撍睦忮F的側(cè)面積是底面積的2倍，則，解得，設(shè)該四棱錐的外接球的球心為，半徑為，則有，因?yàn)?，所?則，解得，外接球的表面積為，故選.5直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，則此三棱柱的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】由直三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r，又由直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，則球心到圓O的球心距d，根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：R2r2+d2，外接球的表面積S4R2故選：C6已知一個(gè)圓柱內(nèi)接于球（圓柱的底面圓周在球面上），若球的體積為，圓柱的高

4、為，則圓柱的體積為（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為R,由題得.設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,由題得所以圓柱的體積為.故選：A7已知、是球表面上的點(diǎn)，平面，則球的表面積為（）ABCD【答案】C【解析】平面，四面體的外接球半徑等于以長(zhǎng)寬高分別，三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的外接球的半徑，即球的表面積故選：C8一個(gè)正方體的表面積等于，則該正方體的內(nèi)切球的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則 正方體內(nèi)切球半徑為棱長(zhǎng)的一半，即體積本題正確選項(xiàng)：9在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6D【答案】B【解

5、析】由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，R2.又2R3，R，Vmax.故選B.10若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、R，則球的表面積為 ()A4(rR)2B4r2R2C4RrD(Rr)2【答案】C【解析】如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1.故球的表面積為D球44Rr.故答案為C。11半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為（ ）ABCD【答案】B【解析】作出過正方體的對(duì)角面的截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為，正方體的棱長(zhǎng)為，那么，

6、在直角中，由勾股定理，得,即，解得，所以半球的體積為，正方體的體積為，所以半球與正方體的體積比為，故選B.12一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長(zhǎng)為2，則該四面體外接球的表面積為（ ）A6B12C32D48【答案】B【解析】由題得幾何體原圖如圖所示，其中SA平面ABC,BC平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,設(shè)SC中點(diǎn)為O,則在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,在直角三角形SBC中，OB=,所以O(shè)A=OC=OS=OB=,所以點(diǎn)O是四面體的外接球球心，且球的半徑為.所以四面體外接球的表面積為.故選：B二、填空題13若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的外接球的表面

7、積為【答案】.【解析】作出圓柱與其外接球的軸截面如下：設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以軸截面的面積為，解得，因此，該圓柱的外接球的半徑，所以球的表面積為.故答案為14已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該三棱錐的外接球的表面積【答案】.【解析】如圖，正三棱錐ABCD中，底面邊長(zhǎng)為，底面外接圓半徑為 側(cè)棱長(zhǎng)為2，BE=1,在三角形ABE中，根據(jù)勾股定理得到：高AE得到球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，O點(diǎn)在AE上，在直角三角形BOE中BOR，EOR，BE1，由BO2BE2+EO2，得R外接球的半徑為，表面積為：故答案為：15已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為 4，底面邊長(zhǎng)為，

8、則該球的表面積為【答案】【解析】如圖，正四棱錐中，為正四棱錐的高，根據(jù)球的相關(guān)知識(shí)可知，正四棱錐的外接球的球心必在正四棱錐的高線所在的直線上，延長(zhǎng)交球面于一點(diǎn)，連接，由球的性質(zhì)可知為直角三角形且，根據(jù)平面幾何中的射影定理可得，因?yàn)?，所以?cè)棱長(zhǎng)，所以，所以，所以故答案為：16一個(gè)倒置圓錐形容器，底面直徑與母線長(zhǎng)相等，容器內(nèi)存有部分水，向容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的鐵球，鐵球恰好完全沒入水中（水面與鐵球相切）則容器內(nèi)水的體積為【答案】.【解析】如圖所示，作出軸截面，由題意，圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，可得，則，所以，記鐵球的半徑為，即，在中，則，所以，因此，所以鐵球所在圓錐的體積為，即.故答案為三、解

9、答題17據(jù)說偉大的阿基米德逝世后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面（1）試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比；（2）假設(shè)球半徑試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.【答案】（1）；（2）圓錐體積，表面積【解析】（1）設(shè)球的半徑為，則圓柱底面半徑為，高為球的體積；圓柱的體積球與圓柱的體積比為：（2）由題意可知：圓錐底面半徑為，高為圓錐的母線長(zhǎng)：圓錐體積：圓錐表面積：18已知一圓錐的母線長(zhǎng)為10，底面圓半徑為6.（1）求圓錐的高；（2）若圓錐內(nèi)有一球，球與圓錐的底面及圓錐的所

10、有母線都相切，求球的表面積.【答案】（1）8（2）【解析】（1）據(jù)題意知，圓錐的高（2）據(jù)（1）求解知，圓錐的高為，設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為，則，所以所以所求球的表面積.19在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值【解析】（1）如圖，球心和在上，過，分別作的垂線交于則由得， （2）設(shè)兩球體積之和為，則= =當(dāng)時(shí)，有最小值當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值20把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離【答案】【解析】由于四個(gè)球半徑相等，故四個(gè)球一定組成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)且正四面體的棱長(zhǎng)為兩球半徑之和2四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的