圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)練習(xí)

1、考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念-1、圓的定義2、圓的幾何表示：以點(diǎn)。為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓O”考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義(1)弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)(2)直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)/一(3)半圓(口、(4)弧、優(yōu)弧、劣弧c r'j 口圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧?；∮梅?hào)“c”表示，以 a, B為端點(diǎn)的弧記作“病”，讀作“圓弧AB” 或“弧 AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個(gè)字母表示)；小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩 個(gè)字母表示)考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1:(1)平分弦

2、(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過(guò)圓心垂直于弦直彳4 平分弦I 知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱性1、圓的軸對(duì)稱性2、圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?？键c(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等

3、，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心 距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。考點(diǎn)六、圓周角定理及其推論1、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1: 也相等。 推論2: 推論3: 形?？键c(diǎn)七、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心O的距離為d,則有:d<y點(diǎn)P在。O內(nèi)；d=y點(diǎn)P在。O上

4、；d>y點(diǎn)P在。O外?？键c(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓1、過(guò)三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。考點(diǎn)九、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：如果。的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,那么:直線l與。相交u d<r；直線l與。相切u d=r；直線l與。相離u d>r；考點(diǎn)十、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在。中，二.四邊ABCD是內(nèi)接四邊形2C +/BAD =18

5、0* /B+/D =180。 DAE 二，C4一、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件:過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：= MN _LOA且MN過(guò)半徑OA外端 MN是。的切線2、性質(zhì)定理:推論1:推論2:切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)考點(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng) 相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩

6、條切線 .PA=PB; PO 平分 NBPAA考點(diǎn)十三、圓幕定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，;弦AB、CD相交于點(diǎn)P,b二 PA PB= PC PD推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑 所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，二.直徑AB_LCD ,b2 CE = AE BE2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交 點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在。中，: PA是切線，PB是割線PA2=PC PB3、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條 割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如右圖)。即：在。中，:

7、PB、PE是割線PC PB = PD PE考點(diǎn)十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦如圖：0102垂直平分AB。即：.。01、。02相交于A、B兩點(diǎn):0102垂直平分AB考點(diǎn)十五、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：(1)公切線長(zhǎng)：RtAOQzC 中，AB2 =CO： =JdO22 -CO22 ；(2)外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和考點(diǎn)十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，考點(diǎn)十七、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓

8、的位置關(guān)系2、圓心距3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么兩圓外離=d>R+r兩圓外切:二d=R+r兩圓相交=R-r<d<R+r (R>r)兩圓內(nèi)切 =d=R-r (R>r)兩圓內(nèi)含 二d<R-r (R>r) 4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的 連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。考點(diǎn)十八、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧， 就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接

9、正多邊形， 這個(gè)圓就 是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正三角形在。中 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在R6BOD進(jìn)行：O D B D O B1二 3; : 24、正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 RtAOAE中進(jìn)行，OE: AE:OA=1:1:我：5、正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtiOAB中進(jìn)行，SAB:OB:OA=1: .3:2.考點(diǎn)二十、正多邊形的對(duì)稱性1、正多邊形的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性注：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，考點(diǎn)二十一、弧長(zhǎng)和扇形面積1、弧長(zhǎng)公式n。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為l ="180 no 12、扇形面積公式 5扇= HR = 1R360213、圓錐的

10、側(cè)面積 S='l,2nr=nrl2其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑?？键c(diǎn)二十二、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。(2) ABC, /C=90° , AC=b BC=a AB=g 則內(nèi)切圓的半徑 r= a + bc 02，一一 1 (3) $ AB(=-r(a +b +c),其中a, b, c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。精選考題考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用1 .運(yùn)用圓與角(圓心角，圓周角)，弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題例 如圖，A、R C是。上的三點(diǎn)，/ AOC=100 ,則/ ABC的度數(shù)為().A. 30。B .

11、 45°C. 50。D. 60 j2 .利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例3】 已知。的半徑為3cm, A為線段OM勺中點(diǎn)，當(dāng)OA滿足：(1)當(dāng)OA=1cnW,點(diǎn) M與。的位置關(guān)系是 .(2)當(dāng)OA=1.5cm時(shí)，點(diǎn) M與。O的位置關(guān)系是 .(3)當(dāng)OA=3crnW,點(diǎn)M與。O的位置關(guān)系是 .【例4】。的半徑為4,圓心 O到直線l的距離為3,則直線l與。的位置關(guān)系是A.相交B .相切C .相離 D.無(wú)法確定【例 5】 兩圓的半徑分別為3cm和4cm,圓心距為 2cm,那么兩圓的位置關(guān)系是3 .正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算72cnx求正六邊形的半徑，邊心距和面積【例6】已

12、知正六邊形的周長(zhǎng)為4 .運(yùn)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【例71 如圖，矩形ABCM, BC=2 DC=4,以AB為直徑的半圓 。與DC相切于點(diǎn) E,則陰影部分的面積為 (結(jié)果保留叮).5 .運(yùn)用圓錐的側(cè)面弧長(zhǎng)和底面圓周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【例8】 已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是 .考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見(jiàn)類型1 .利用垂徑定理解題垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過(guò)圓心2 .利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解題【例2】 如圖，在。的內(nèi)接 ABC中，CD是AB邊上的高，求證：/ ACD= OCB.3 .利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角關(guān)系解題圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【例3】如圖，四邊形ABCM圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若/ C= 45° , AB=廣， 則點(diǎn)B到AE的距離為 .4 .判斷圓的切線的方法及應(yīng)用判斷