數(shù)值計(jì)算_第7章數(shù)值微分和數(shù)值積分

1、第7章數(shù)值微分和數(shù)值積分7.1 數(shù)值微分7.1.1 差商與數(shù)值微分當(dāng)函數(shù)/（X）是以離散點(diǎn)列給出時(shí)，當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜時(shí)，常用數(shù)值微分近似計(jì)算了（1）的導(dǎo)數(shù)/'（X）。在微積分中，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某點(diǎn)上的瞬時(shí)變化率，它是平均變化率的極限；在幾何上可解釋為曲線的斜率；在物理上可解釋為物體變化的速率。以下是導(dǎo)數(shù)/（工）的三種定義形式:I/7hI。k(7.1)Tim72h在微積分中，用差商的極限定義導(dǎo)數(shù)；在數(shù)值計(jì)算中返璞歸真，導(dǎo)數(shù)取用差商（平均變化率）作為其近似值。最簡單的計(jì)算數(shù)值微分的方法是用函數(shù)的差商近似函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即取極限的近似值。下面是與式（7.1）相應(yīng)的三種差商形式的數(shù)值微分公式

2、以及相應(yīng)的截?cái)嗾`差。向前差商用向前差商（平均變化率）近似導(dǎo)數(shù)有：(7.2)其中的位置在'。的前面，因此稱為向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定義。由泰勒展開為+*)=/(而)+-(%)+空飛+方乙！得向前差商的截?cái)嗾`差：RSm&）-/金+?-"而）=-）/（/=。h2向后差商用向后差商近似導(dǎo)數(shù)有:(7.3)與計(jì)算向前差商的方法類似，由泰勒展開得向后差商的截?cái)嗾`差:1二0%-h班飛中心差商用中心差商（平均變化率）近似導(dǎo)數(shù)有：(7.4)/（/卜/（%+尤一/（%一力）2h由泰勒展開7Uo+卜/Go）+4/'ao）+（/）+乙！J：TA/(%)-團(tuán)以0)+八-/

3、肝仁)得中心差商的截?cái)嗾`差:&»=/(%)-2k差商的幾何意義f（%）=linj微積分中的極限定義一加+用一/（%）,表示/S）在'-%處切線的斜率，即圖7.1中直線P的斜率；差商/5+»-(%)表示過（而/）和（幣+如（瓦+*）兩點(diǎn)直線。的斜率，是一條過M的割線?？梢姅?shù)值微分是用近似值內(nèi)接弦的斜率代替準(zhǔn)確值切線的斜率。例7.1給出下列數(shù)據(jù)，計(jì)算TWM口叫1ml獷（0的,0.020.040.060.80.10fW5.065.075.0655.055.055解：.二(5.075.06)/(0.04-0.02)=0.5.'.(5.055.07)/(0.0

4、80.04)=-0.5。0)能(5.05-5.055)/(0.08-0.10)=0.25“008/(/(0.10)-了(0.06)/(0.100.06)=18.75設(shè)定最佳步長在計(jì)算數(shù)值導(dǎo)數(shù)時(shí)，它的誤差由截?cái)嗾`差和舍入差兩部分組成。用差商或插值公式近似導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生截?cái)嗾`差，由原始值%的數(shù)值近似產(chǎn)生舍入誤差。在差商計(jì)算中，從截?cái)嗾`差的逼近值的角度看，MI越小，則誤差也越??；但是太小的MI會(huì)帶來較大的舍入誤差。怎樣選擇最佳步長，使截?cái)嗾`差與舍入誤差之和最小呢？一般對計(jì)算導(dǎo)數(shù)的近似公式進(jìn)行分析可得到誤差的表示式，以中心差商為例，截?cái)嗾`差不超過而舍入誤差可用量人估計(jì)(證明略)，其中0是函數(shù)N的原始值的絕對

5、誤差限，總誤差為*&M-i+6h%，/hg=巴峪-當(dāng)I6酎3專時(shí)，總誤差達(dá)到最小值，即'a(*)可以看到用誤差的表達(dá)式確定步長，難度較大，難以實(shí)際操作。通常用事后估計(jì)方法選取步長k,例如，記為步長等于'2的差商計(jì)算公r1yDQi)-D一<e式，給定誤差界E,當(dāng)時(shí)，2就是合適的步長。12*例7.2對函數(shù)J=g,取不同的步長計(jì)算,觀察誤差變化規(guī)律，從而確定最佳步長。解:h尸。均誤差h誤差0.103.16300.00480.053.1590-0.00080.093.16220.00400.043.15880.00060.083.1613-0.00310.033.1583

6、-0.00010.073.16070.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.15500.0032表中數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)步長力從0.10減少到0.03時(shí)，數(shù)值微分誤差的絕對值從0.0048減少到0.0001,而隨著力的進(jìn)一步減少，誤差的絕對值又有所反彈，表明當(dāng)步長k小于0.03時(shí),舍入誤差起了主要作用。在實(shí)際計(jì)算中是無法得到誤差的準(zhǔn)確數(shù)值的，這時(shí)以最小為標(biāo)準(zhǔn)確定步長，本例中取為=0.04。7.3.1 插值型數(shù)值微分對于給定的/（工）的函數(shù)表，建立插值函數(shù)'（刁，用插值函數(shù)隊(duì)工）的導(dǎo)數(shù)近似函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為插設(shè)廝產(chǎn)°，用為4司上的節(jié)點(diǎn)，給定

7、（M/a）,i=QL、N,以國人瑞值點(diǎn)構(gòu)造插值多項(xiàng)式4（1），以4W的各階導(dǎo)數(shù)近似了k）的相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)，即/(x)=4W=w/Wi/=4=£/;八怎)i-0八引”±4/j=oJ4i-0(7.5)誤差項(xiàng)為:公（就+1）!馬H/源*1)f，5+1)1埼例7.3給定（4，/（%，尸。，12,并有工廠再二再一刷=&,計(jì)算解：作過；1.二：一”一的插值多項(xiàng)式:與包苦工21）/氏)/名(琦+。一/+工F)將1-I代入/(X)得三點(diǎn)端點(diǎn)公式和三點(diǎn)中點(diǎn)公式：，(%)=(-3/(/)+4/寸(演)2h/(可)=!(-/(/)+/(/)2h()=占(/(/)-4/(&)+3/(

8、演)2h利用泰勒(Taylor)展開進(jìn)行比較和分析，可得三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差是°(我)。類似地，可得到五點(diǎn)中點(diǎn)公式和五點(diǎn)端點(diǎn)公式：/(/)=!/(/-2用-曠(%-A)+8/(+A)-/(+2A)12h八砌=!/（/）+4寸&+%-36/（%+2田12A+16抬+3胡_"8+4朗+齊值,出+明7.3.2 樣條插值數(shù)值微分把離散點(diǎn)按大小排列成"%E,用期關(guān)系式構(gòu)造插值點(diǎn)氏危）力川2了的樣條函數(shù)S（x）:當(dāng)“I則/'（為產(chǎn)網(wǎng)，當(dāng)工E（品/）時(shí)，可用S部/'（X）計(jì)算導(dǎo)數(shù)。7.2數(shù)值積分在微積分中用牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式計(jì)

9、算連續(xù)函數(shù)J的定積分：三尸3）一營（。）但是，當(dāng)被積函數(shù)是以點(diǎn)列（»（%）六以2廣,那的形式給出時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)/Q）刑Rfl/必的原函數(shù)尸難以得到時(shí)，例如J1,則無法用牛頓一萊布尼茲積分公式計(jì)算。有時(shí)當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)過于復(fù)雜時(shí)，也不宜套用積分公式計(jì)算積分，而應(yīng)采用數(shù)值積分公式計(jì)算定積分。在微積分中，定積分是黎曼（Rimann）和的極限，它是分割小區(qū)間長度趨于零時(shí)的極限，即一的飛d站飛川聞在數(shù)值積分公式中，只能用有限項(xiàng)的和近似上面的極限，通常由函數(shù)在離散點(diǎn)函數(shù)值的線性組合形式給出。記"力w既s粉在本章中，用/（力表示精確積分值，用400表示近似積分值，稱為積分節(jié)點(diǎn)，4稱為積

10、分系數(shù)。確定40）中積分系數(shù)a的過程就是構(gòu)造數(shù)值積分公式的過程。怎樣判斷數(shù)值積分公式的效果？代數(shù)精度是衡量數(shù)值積分公式優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)之一。定義7.1（代數(shù)精度）記見方上以仇），尸。,12，加為積分節(jié)點(diǎn)的數(shù)值積分公式若滿足小小“）工（力=。/",卜盟而“產(chǎn)”o,則稱，M具有朋階代數(shù)精度。由此可知當(dāng)4U）具有選階代數(shù)精度時(shí)，對任意的朋階多項(xiàng)式都有/，。插值型數(shù)值積分對給定的被積函數(shù)在見封上的點(diǎn)列（4危）j叩,2廣,那作拉格朗日插值多項(xiàng)式4，以05腦近似計(jì)算J：小燦即£40）石=£*48/Q沁=£口辦大）記y母數(shù)值積分誤差，也就是對插值誤差的積分值"

11、力=工4右?？ü荆?。-項(xiàng)辦&（力=口聞，小，、口口一刈歐對一般的函數(shù)4sHo，但若/是一一個(gè)不高于R次的多項(xiàng)式，由于"+"=。，因此，«階插值多項(xiàng)式型式的數(shù)值積分公式至少有n階代數(shù)精度。例7.4建立他可上節(jié)點(diǎn)為瓦=0，!=。5內(nèi)=2的數(shù)值積分公式。a解：由(0-05)(0-2)2x-0)(x-2)(O.5-OX0.5-2)9(釬0)上0紜.5(2-0)(2-0.5)9得以數(shù)值積分公式:4。)=；-3/(0)+16/(0.5)+5/牛頓-柯特斯（Newton-Cote'積分把積分區(qū)間見分成月等分，記步長為n,取等分點(diǎn)及二峨”QL作為數(shù)值積分節(jié)點(diǎn)，

12、構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式4W,取由此得到的數(shù)值積分稱為牛頓柯特斯積分。下面可以看到，牛頓-柯特斯積分系數(shù)和積分節(jié)點(diǎn)以及積分區(qū)間無直接關(guān)系，系數(shù)固定而易于計(jì)算。梯形積分以5加）和0J。）為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造線性函數(shù)L,有工了（力小左（£0）以那么，aodx=-(b-a)=(b-a)ccCD=1盧）=1提取公因子0一公后，得到牛頓柯特斯積分的組合系數(shù)："2,12,它們已與積分區(qū)間沒有任何關(guān)系了。jy人冷”/十枷ha丁?。?Y【/g）Ti記2（7.6）7.2)。稱7（/）為梯形積分公式。它的幾何意義是用梯形面積近似代替積分值（圖y圖7.2梯形積分怎樣確定梯形積分公式的代數(shù)精度？我們可以取

13、/=兀月驗(yàn)證取時(shí),有1（力=（dx=b-q7U卜C/+/尸=Q+D7-。乙I乙即：一八取J二工時(shí)，有4力=（蕨=-TS="（加）+/©）=好S+句="22z取/二d時(shí),有3A3-h-a.15=r/以=*虧c/+/=7v)窗3乙得梯形求積公式具有一階代數(shù)精度。梯形積分公式的誤差：>2)=3)+孕(玄"氣仆由得因?yàn)椤?幼。一留在4句上不變號，由積分中值定理得到梯形求積公式的截?cái)嗾`差:(7.7)辛普森(Simpson)積分對區(qū)間作二等分，記%二。,為=(。+3/2,跖二。以(&J),(5+"2J(a+8)/2)和山/。為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次

14、插值函數(shù)4(工)，那么，有£4右二J：/(%)乜/+爾疝/)辦，=源_g-g+8)/2)(工-8)-Iaxk(a-(a+占)/2)(1-J)=：(占-浦三g-g理64='4心=-(b-4)=(b鼻)力h6的=自辦=；Q“)=(Aa)cf)C儼=15=fd?）計(jì)算得到積分組合系數(shù)：°6,16,p*)dx4G7力a+b(7.8)S（f）稱為辛普森或拋物線積分公式。它的幾何意義是用過三點(diǎn)的拋物線面積近似代替積分的曲邊面積（圖7.3）。代入到"J）和Mf）中，可以得到分別將/=1,K,/d初=平口）+4/得卜&）=/"）表明辛普森公式對于次數(shù)不超

15、過三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，*（/）具有三階代數(shù)精度。因此可設(shè)一個(gè)三次多項(xiàng)式滿足條件:駒=/（或盼用）計(jì)算得到誤差為：.字（號卜W于是有&"S-s=(/。-哨)+昭卜昭)"a=s=?%+4舄產(chǎn)+晌ii故辛普森求積公式的截?cái)嗾`差：鳥(力=/(7)-g)=fl_G4!/，（盯）+5V得先工-否2880嚴(yán),或<rj<b(7.9)牛頓-柯特斯積分系數(shù)口等分區(qū)間見句，取等分點(diǎn)為積分節(jié)點(diǎn),J；=a+兩=0,卜'禽，其中以區(qū)危）廣0工2'酒為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值函數(shù)4（1）。dx、/”)(7產(chǎn)ni!(«-i)I+1）atT）（E一阿誠其中出二，虱力小

16、=5-/）卡一司）西44）*%）也L（公一片）（石-切（石-西-1）（公一天辿）（石一/）令x=a+廊通=口+防，代入上式得hdtA£(i-1),(i-j+1)(/-L1)(£-用).J7產(chǎn)這里稱.；一',(7.10),(/-s+1)口-j_0(t-fi)dt為牛頓-柯特斯系數(shù)可見在取等距節(jié)點(diǎn)時(shí)，積分系數(shù)ci與積分節(jié)點(diǎn)和積分區(qū)間無直接關(guān)系，只與插值的節(jié)點(diǎn)總數(shù)有關(guān)，而在例7.3中的積分系數(shù)是待定系數(shù)，這就簡化了數(shù)值積分公式，而不必對每一組插值節(jié)點(diǎn)xi都要計(jì)算一組相應(yīng)的積分系數(shù)ai。在公式（7.10）中取力=1,可算出梯形積分系數(shù)；取火=2,可算出辛普森積分系數(shù)。在表7

17、.1中列出力從1到6的牛頓-柯特斯系數(shù)。從表中可以看出牛頓-柯特斯系數(shù)具有對稱性。田，二丁吧1222646163S3Si夕3S479016452E164579G5192SS2596251442514425981928B641S40935g2203410592S093541S407.2.3求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義7.2lim若,則稱求積公式'""卻也，是收斂的。一一單韓任3一龍）T0一，一八，一一一定義中的為7缶包含了。右內(nèi)閨J,通常都要求計(jì)算積分的求積公式是收斂的。穩(wěn)定性是研究計(jì)算公式空餌）有誤差為時(shí),入的誤差是否增長，現(xiàn)設(shè)/?！浚`差記為&T/（%）Y

18、l"QLr）。定義7.3對任給S）0，只要&=|/-彳B茹=01/）,就有匕"）融則稱求積公式是穩(wěn)定的O4（力=蔣/國）Z-0力=£厘Jnrn1、定理7.1若求積公式1的系數(shù)47貝-UJ，則求積公式是穩(wěn)定的。證明由于四。,aT/2K鼠】=。工M,故有I4S，忖力%(/-初，=S(b-4)14)于是對VQ°,弘"只要4T式砧-力«8就有I4SYM0F)。故求積公式是穩(wěn)定的。7.3復(fù)化數(shù)值積分由插值的龍格現(xiàn)象可知，高階牛頓-柯特斯積分不能保證等距數(shù)值積分系列的收斂性，同時(shí)可證（略）高階牛頓-柯特斯積分的計(jì)算是不穩(wěn)定的。因此，實(shí)際計(jì)

19、算中常用低階復(fù)化梯形等積分公式。復(fù)化梯形積分把積分區(qū)間分割成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間%,，訃上用梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來，稱為復(fù)化梯形公式。復(fù)化梯形公式用若干個(gè)小梯形面積逼近積分k比用一個(gè)大梯形公式效果顯然更好，如圖7.4所不。這種作法使我們想起定積分定義，即它為被積函數(shù)無限分割的代數(shù)和。這也正是計(jì)算定積分最樸素的算法。八幻圖7.4復(fù)化梯形公式積分視圖復(fù)化梯形積分計(jì)算公式_b-a對備力作等距分割，有低,為="次"QL/，于是火力=）燦冬:在4，%上,«-1(L門（如觸）+/（孀）力哈則有1"-1I1#TI?=8+-Z/w-記改等分

20、的復(fù)化梯形公式為口力或7,有1”111丁乜。）=&打+£加+謫）+/d上（7.11）,根據(jù)均值定理，當(dāng)fECa,b時(shí)，存在附加有力©W©X.La(7.由此看到復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差按照好或者,的速度下降，事實(shí)上，可以證明，只要/(x)在(見切上有界并黎曼可積，當(dāng)分點(diǎn)無限增多時(shí)，復(fù)化梯形公式收斂到積分對于任給的誤差控制小量£0,有就有禺KE,式中卜表示取其最大整數(shù)。復(fù)化辛普森積分把積分區(qū)間分成偶數(shù)等分2炳，記n=2明，其中胃+1是節(jié)點(diǎn)總數(shù)，冊是積分子區(qū)間的總數(shù)。記四，由-a-Q,L渣，在每個(gè)區(qū)間孫姐）上用辛普森數(shù)值積分公式計(jì)算，則得到復(fù)化辛普森公式

21、，記為£（/）。復(fù)化辛普森積分計(jì)算公式而。4v&=?（勺）+v（w+/（巧Q）-察/©）M-12為凡（力=工/勺）+4/（勺G+，（%）i.06工J席林一11=-/+42乂。+1）+2三/）+f（b）31，M7（7.13）,在每個(gè)積分區(qū)間為復(fù)化辛普森積分公式，它是/（X）在【工*均上采用辛普森積分公式疊加而得。下面用圖7.5顯示復(fù)化辛普森積分計(jì)算公式中節(jié)點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系，取竺上提出因子6后，三個(gè)節(jié)點(diǎn)的系數(shù)分別是1,4,1;將4個(gè)積分區(qū)間的系數(shù)按節(jié)點(diǎn)的位置累加，可以清楚地看到，首尾節(jié)點(diǎn)的系數(shù)是1,奇數(shù)點(diǎn)的系數(shù)是4,偶數(shù)點(diǎn)的系數(shù)是2。工口工1吃%工7q1411411411

22、41142424241圖7.5復(fù)化辛普森積分系數(shù)復(fù)化辛普森公式的截?cái)嗾`差設(shè)fa,b,在馬上的誤差為z!&oU因此，-駕沙©2ooU=土之2880城；,(b-180/M力=-，咐1句即180K（7.14）1與復(fù)化梯形公式類似，誤差的截?cái)嗾`差按照44或者n的速度下降?？梢宰C明，只要了（1）在（口出）上有界并黎曼可積，當(dāng)分點(diǎn)無限增多時(shí)，復(fù)化辛普森公式收斂到積分A/）=門否Ja。max聞力I4對任給的誤差控制小量E0,只要就有區(qū)KE。(/)=國康例7.5求d，計(jì)算中要求有5位有效數(shù)字。用復(fù)化梯形和復(fù)化辛普森求積公式的分點(diǎn)應(yīng)取多少？解：/=/由復(fù)化梯形誤差公式得到：ucn一力區(qū)富思12

23、Hl2n2計(jì)算出n=67.3,復(fù)化梯形公式至少要在1°11.00等分n=68。由復(fù)化辛普森誤差公式，有IS*”邛券28Go加213、m=+1=2在復(fù)化辛普森公式中取L2或存二4。7.3.3復(fù)化積分的自動(dòng)控制誤差算法復(fù)化積分的誤差公式表明，截?cái)嗾`差隨分點(diǎn)出的增大而減小，對于給定的誤差量E,用估計(jì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的界的方法可計(jì)算出冊。用誤差公式計(jì)算滿足精度的分點(diǎn)數(shù)，像是在做一道計(jì)算導(dǎo)數(shù)上界的微積分習(xí)題(如例函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)界，也就無法確定分點(diǎn)數(shù)7.5所示)。但是在實(shí)際運(yùn)算中，一般難以估計(jì)出n。在計(jì)算中常用誤差的事后估計(jì)方法，即用然Ycnl估計(jì)誤差工I。T2n(f)的計(jì)算公式對定積分P",

24、取分點(diǎn)制二1,計(jì)算得京力=?C/+（劭取分點(diǎn)n=2,計(jì)算得b-a_ab這里，的2?？梢钥吹剑Φ闹凳枪づc新增分點(diǎn)電）的組合。取分點(diǎn)n=4,計(jì)算得ba邛力二丁廣(/61)+/(金)這里,工1=；S+），均=（+與乙乙同理,計(jì)算ZU）時(shí)只要在工U）的基礎(chǔ)上計(jì)算新增分點(diǎn)"危）的值再做組合,如圖7.6所示。一般地，每次總對前一次的小區(qū)間分半，分點(diǎn)加密一倍，并可充分利用老分點(diǎn)上的函數(shù)值，每次只需計(jì)算新增分點(diǎn)的和。h_b-a對，上力等分，評邦，則有f1%1X記【4,如】上的中點(diǎn)為則19«zi11一吟/，加）立/（初）書1上i-1二2jiji晅11*MH/J入口（7.15）"力

25、=:（口力+即力）鼻（力噢£義）其中仁*。加4+機(jī)£/（"-叫）或一類似地，可得積分節(jié)點(diǎn)為n,2為的辛普森求積公式的關(guān)系式:(7.16)&K/)=：EC/)T(4%式力-%)262-0其中:由誤差公式：1（力Y（力與電力"©1Cj人力一與C/）二一黑g（1M-112»-1分別為圍及2片個(gè)點(diǎn)上的均值,可視尸為廣,于是由©二煤八種弧"”/(力-W)W-以/)上式表明Uf）的誤差大約是誤差的4倍。一4力-4（力（力Y）或一(7.17)由此得到啟發(fā)，對任給的誤差控制量e>o,要in/）-4"）K&#

26、163;,只需用”）-ZSK33即可，而用禺”）F（劉作為控制手段簡單直接，序列工,在計(jì)算機(jī)上也不難實(shí)現(xiàn)。復(fù)化積分的算法描述從數(shù)值積分的誤差公式可以看到，截?cái)嗾`差隨分點(diǎn)力的增長而減少，控制計(jì)算的精度也就是確定分點(diǎn)數(shù)為。在計(jì)算中不用數(shù)值積分的誤差公式確定分點(diǎn)數(shù)并的理論模式，而用尺FK%作為控制，通過增加分點(diǎn)自動(dòng)滿足精度的方法稱為數(shù)值積分公式的自動(dòng)積分法。即在計(jì)算中構(gòu)造序列1%小，”,直到I4航一7.6節(jié)。計(jì)算，由分點(diǎn)數(shù)自動(dòng)控制積分值的誤差，并取/吃。卜面描述復(fù)化數(shù)值積分公式的自動(dòng)控制誤差算法，詳細(xì)程序和算例請看本章.輸入：誤差控制精度e=eps;初始分點(diǎn)值H二斷。.計(jì)算力分點(diǎn)的復(fù)化梯形積分4,7

27、2乜T1=T2+100/迭代計(jì)算中T1和T2分別表示工和4a.while|T1-T2|>eT1=T2H=Hn/_直卬加點(diǎn)八）T2=（T1+H）/2H=h/2,n=2n將區(qū)間一分為二endwhile.輸出積分值T2。在自動(dòng)控制誤差算法中初始分點(diǎn)值不宜過小，以防假收斂。.3.4龍貝格（Romberg）積分z；國（力FS）f）、由前面得到的關(guān)系式（7.17）,可以將3作為與八J）的修正值補(bǔ)充到,141°沈提高到°優(yōu)5力+4”)T)=V4=用其結(jié)果是將梯形求積公式組合成辛普森求積公式，截?cái)嗾`差由是計(jì)算方法這種手段稱為外推算法。外推算法在不增加計(jì)算量的前題下提高了誤差的精度,中

28、一種常用手法。不妨對況凡再做一次組合。由2880(2(b-a)-UJ4（力-萼*。-力戒得到1（力-號式力（力）4力理£$鼠力-5gC/)=Q(/)復(fù)化辛普森公式組成復(fù)化柯特斯公式，其截?cái)嗾`差是。（爐）。同理對柯特斯公式進(jìn)行組合:得到具有7次代數(shù)精度和截?cái)嗾`差是。優(yōu)）的龍貝格公式:還可以繼續(xù)對凡做上去。為了便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)龍貝格算法，將統(tǒng)一用表示，列標(biāo)j=1,2,3,分別表示梯形、辛普森、柯特斯積分，行標(biāo)表示分點(diǎn)數(shù)后產(chǎn)或步長乜。龍貝格計(jì)算公式:&廣=23對每一個(gè)上J從2做到k,一直做到I%,“一I小于給定控制精度停止計(jì)算。龍貝格算法龍貝格算法按表7.2元素的行序進(jìn)行運(yùn)算，上

29、一行和本行的元素。對上面的算法進(jìn)一步優(yōu)化，對每44卜&和"在計(jì)算中每個(gè)元素只用到令；在每計(jì)算一行元素后，要將k行可將計(jì)算定義在兩行元素之間,上。表7.2龍貝格算法計(jì)算元素順序表&%之1%.%1.輸入?yún)^(qū)間端點(diǎn)aJ,精度控制值0,循環(huán)次數(shù)M,定義函數(shù)，取n=lh=b-a.+徹2for二=2to二（&蟲+%£/0+-嘰）/2/%=/"forj=2tok%廣&皿+（%”）/（仍7）0用廠&退出循環(huán)）4.輸出7.4重積分計(jì)算在微積分中計(jì)算二重積分是用化為累次積分的方法進(jìn)行的。計(jì)算二重?cái)?shù)值積分也是計(jì)算累次數(shù)值積分的過程。為了簡化問題，我

30、們僅討論矩形域上的二重積分。有很多非矩形域上的二重積分可作變換將其轉(zhuǎn)換到矩形域上。（7.20）其中：a,b,r,d是常數(shù)，（兀J）在。上連續(xù)。像在微積分中一樣，將二重積分化為累次積分:J：j/H，y）dydx-口。（斕（7.21）重積分的復(fù)化梯形公式對區(qū)間見b和r,磯分別選取正整數(shù)/口n,在X軸和y軸上分別有步用復(fù)經(jīng)梯形公式計(jì)算，計(jì)算中將X當(dāng)作常數(shù)，有17w/（麓加）十/（"招）(7.22)I/上>1再將了當(dāng)作常數(shù)，在I方向上計(jì)算式（7.23）中每一項(xiàng)的積分，有AA11前T-f/（五見冰與W/（%，兒）+”（/，尤）+»（厘）2m乙!.i$h（11M-i1f八曷居）血

31、）“（加片）+尸（/，居）+力（而乂）2h3uJ（2（/X）心=11H-l-/)+?(%*)+£/?)3Ni-lii3rjT7/(%j。+9(/M+力(力)/j-ij.i/彳（/&，%）+/（1w+/乂）+$g，六）'L+j-1+/-I+ZJ*1土±IJSM+EE/（布乃”般££%了（小刀）=丁丁積分區(qū)域的4個(gè)角點(diǎn)的系數(shù)是1/4,4個(gè)邊界的系數(shù)是1/2,內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的系數(shù)是1。誤差:(d-c)(b-d)12必M（"墨）+止,dx97鏟回（詞和（詞在積分區(qū)間內(nèi)。例子7.6用復(fù)化梯形公式計(jì)算二重積分122工卜心+9粒，取心hO.25。解

32、：J（XJ）如表7.3所示:表7.3/（XJ）數(shù)值表X1.001.251501.75200QW0.841471。9需呢50.9974950.98398609032970250,373575。,9668270.9993660.9709320,鴕153口加0.9密兆5口,997鉆口北39360.90929701,7780730.750.9993660.970如0.3®1530.737319034TM51.000.9092970.77S073059S4720.331661014112打的數(shù)值如表7.4所示:表7.4Jj'數(shù)值表X口123401/41/21/2IQU411/21111

33、/221/21111/231/2111in41/41/21/21/21/4f；£in(*'+y)力dr=0,25x0,25fl-(0.841471+0.909297+0.909297+0,14112)+j(0.948985+0.997495+0.983936)(0,778073+0.598472+0.381661)+；(0.873575+0.948985+0999966)+(0.88153+0778073+0.547265)+(0.966827+0.999966+0.970932+0,997495+0.983986+0.909297+0,970932+0.38153+0.73

34、7319)=0.873601f1f2stn(zJ+y)dydxmJl的準(zhǔn)確值是0.886176o二重復(fù)化辛普森求積公式對區(qū)間璃耳和k分別冊等分和n等分，在x軸和y軸上分別有步長m,n均為偶數(shù)類似于二重復(fù)化梯形公式推導(dǎo)，得£辦加=穹（44）記,，.心-，=回,5,=(14,2j4,2,4)%5EV八0_1)/一1)E(J)=180/名（心公+好咨（萬次ay（詞和麗）在積分區(qū)間內(nèi)。按例7.6的化分區(qū)間，%的值如表7.5所示:表7.5pr123401424114168164228482341681644142417.5i高斯（Gauss）型積分公式介紹對插值型積分公式在牛頓-柯特斯積分公式

35、中要求節(jié)點(diǎn)是等距的，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算積分系數(shù)的公式規(guī)則相同，缺點(diǎn)是制約了求積公式的代數(shù)精度。可以證明：當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)1H為偶數(shù)時(shí)，求積公式具有丹-1階的代數(shù)精度；當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)月為奇數(shù)時(shí)，求積公式具有月階的代數(shù)精度。如果我們不預(yù)先指定求積節(jié)點(diǎn)4的位置，4和權(quán)系數(shù)q都作為待定的常數(shù)，能否適當(dāng)?shù)卮_定它們，以提高積分公式的代數(shù)精度？回答是肯定的。2R個(gè)待定常參數(shù)，需要2用個(gè)方程來確定，取一個(gè)函數(shù)組：。，及，戶,這一組函數(shù)構(gòu)成了2片-1次多項(xiàng)式的基，任一小于等于2依-1次的多項(xiàng)式，都可以用這組函數(shù)的線性組合來表示。如果某一積分公式，對這組函數(shù)都能精確積分，則此積分公式就有2w-1次代數(shù)精度。L工f/右*cj（）十

36、"/（町）例7.7計(jì)算求積系數(shù)口也2和求積節(jié)點(diǎn)十，使得-1八*至少具有3階代數(shù)精度。解：按照求積公式的代數(shù)精度定義，分別令=,得方程組：白T+勺1=|JHx=24畫+匚？電=xdx=0渴F4=,產(chǎn)虬=|1c1入；+/"齊"o解方程組得：求積公式:，=/（-057735）+/（0,57735）按例7.7的方式，構(gòu)造更高階的代數(shù)精度的求積公式，生成求積系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)的方程組并無困難，而求解該方程組則無一定的章法可循。一般地，通過計(jì)算正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)。當(dāng)取積分節(jié)點(diǎn)為正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí)，則節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是月的求積公式具有2以-1階的代數(shù)精度。并稱積分節(jié)點(diǎn)為正交多項(xiàng)式

37、的零點(diǎn)的數(shù)值積分公式為高斯型積分公式。為了一般性，考慮積分1=,加（工）（工）右其中網(wǎng)（用2。）稱為權(quán)函數(shù)。當(dāng)取=1時(shí)，即是普通的積分。對于不同的權(quán)函數(shù)協(xié)（1）選定的節(jié)點(diǎn)也不相同。如何構(gòu)造高斯型積分公式呢？對給定的見司及權(quán)函數(shù)見X）,由施密特（Schmidt）正交化過程作出正交多項(xiàng)式月涓田（X）；解出正交多項(xiàng)式£（工）的/個(gè)零點(diǎn)MMJ1耳，這個(gè)力個(gè)零點(diǎn)就是積分節(jié)點(diǎn)；以這些節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值多項(xiàng)式，計(jì)算積分系數(shù)i=1,2,/其中K）是拉格朗日插值基函數(shù)。高斯型求積公式為ac/）=S4i-l高斯型積分公式的優(yōu)點(diǎn)是它的代數(shù)精度高，特別是對無窮區(qū)間或瑕積分更有效，但計(jì)算正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)即積分節(jié)點(diǎn)有

38、一定的工作量，好在數(shù)值學(xué)家們已算出一些特定的函數(shù)的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)，在計(jì)算中我們可以查表直接得到這些數(shù)值。本章并不構(gòu)造各種高斯型積分公式，有關(guān)的詳細(xì)內(nèi)容請參考有關(guān)的教材。卜面給出=-1,1上，取權(quán)函數(shù)顧）=1的高斯型積分。取1,1上權(quán)函數(shù)的=1的正交多項(xiàng)式為勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式:1爐衿廣"7力，在LU2nax高斯-勒讓德n=2,4,5相應(yīng)的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)表如下:用42T飛=-0.5773503,勺=0.57735031.0000000,1.00000004工I為=-0.8611363,1=-0.3399810=0.3399810,=0.86113630.347854

39、8,0.65214520.6521452,0.34785485x1=x5=0.9061798-x2=x4=0.538469S=0.00.2369269,0.23692690.4786287,0.47862870.5688889要計(jì)算一般區(qū)間川上的積分必，只需作變量代換122則有可用高斯積分求積，即b-ab-a&U片7Q（g）=丁£仁（公）例7.8應(yīng)用兩點(diǎn)高斯-勒讓德積分公式計(jì)算解:I=(0.5773503)2cos(-0.5773503)+(0.5773503)2cos(0.5773503)=0.558608例7.9應(yīng)用兩點(diǎn)高斯-勒讓德積分公式計(jì)算41+小。解：11令22,得

40、到積分2。+/8)=0.786885例7.10證明不存在拆，工式上=12使求積公式的代數(shù)精度超過2片-1次。證明：只要能找到一個(gè)2程次多項(xiàng)式，使求積公式兩邊不相等即可。用反證法，假定存在求積系數(shù)和節(jié)點(diǎn)取及演12”）使求積公式對任何2四次多項(xiàng)式/精確成立?，F(xiàn)取/=或,口（了皿代入求積公式左端得工靖（力公o而公式右端£純了=W做”;。i-1,故右端與左端不相等，與假設(shè)矛盾，說明不存在2耳次代數(shù)精度的求積公式，故高斯型求積公式是具有最高代數(shù)精度的求積公式。7.6程序示例1、=h/+訪)+/9)程序7.1復(fù)化梯形公式12u2J的自動(dòng)控制誤差算法。算法描述輸入甑b,a的值，定義/；n=m,k=(b-a)h.fi膽1T2=S)+>>(1+冽+力i2z2).T1=T2+100while