第三章測度論

1、第三章測度論總授課時數(shù)14學(xué)時教學(xué)目的引進外測度定義,研究其性質(zhì),由此過渡到可測集本章要點要引導(dǎo)學(xué)生注意外測度與測度之間的重要差異,測度概念抽象,要與具體點集諸如面積體積等概念進行比擬.§1、外測度教學(xué)目的1、掌握外測度的定義及其根本性質(zhì).2、理解區(qū)間及有理點集的外測度及其證實方法本節(jié)要點外測度的定義及其根本性質(zhì).本節(jié)難點外測度的定義.授課時數(shù)4學(xué)時1Riemann積分回憶分割定義域bnaf(x)dx寸mJf()：為Xi=X-Xi_L,積分與分割、介點集的取法無關(guān).幾何意義非負函數(shù)：函數(shù)圖象下方圖形的面積.2新的積分Lebesgue積分,從分割值域入手記Ei=x:y-Efxcyj,y

2、匕cy,那么n(L)a,bf(x)dx二叫:jmEi問題：如何把長度,面積,體積概念推廣？達布上和與下和上積分外包達布上和的極限nf(x)dxlim,二：Mixi|T|0i1下積分內(nèi)填達布下和的極限banf(x)dx=需mJmi"、Lebesgue外測度外包1.定義：設(shè)E=Rn,稱非負廣義實數(shù)Ru±s=R*O0O0m*E=inf£|Ii|:EcIi,Ii為開區(qū)間)i1i-為E的Lebesgue外測度.下確界：(1) E是數(shù)集S的下界,即VxwS,U<x(2) 是數(shù)集S的最大下界,即V名>0,三xwS,使得xM+w°ocom"E=in

3、f£|Ii|:EuIiJ為開區(qū)間cdV®:>02開區(qū)間列Ii,使得EuIi且od*_.*_mE二,11i|三mE；i4即：用一開區(qū)間列Ii“近似替換集合E例1設(shè)E是0,1中的全體有理數(shù),試證實E的外測度為0.證實：由于E為可數(shù)集,故不妨令E=0,1-Q=1,2,3,小A0,作開區(qū)間Ii=(ri-ri小=1,2,3,111QO那么EuuIi且1 1i°o00g2 11i|=z=&,i1i12從而mE<®,再由名的任意性知mE=0思考：1 .設(shè)E是平面上的有理點全體,那么E的外測度為0提示：找一列包含有理點集的開區(qū)間Ii=(ri1,ri1

4、-(ri22,ri2.2i"),(%,ri2).QQ,i=1,2,3,l|2 .平面上的x軸的外測度為0提示：找一列包含x軸的開區(qū)間Ii=(ri-1,ri+1)M(-,),riWZ,i=1,2,3,11(3 .對Lebesgue外測度,我們用可數(shù)個開區(qū)間覆蓋0,1中的有理數(shù)全體,是否這可數(shù)個開區(qū)間也覆蓋0,1(除可數(shù)個點外).注：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列(如Cantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間)2.Lebesgue外測度的性質(zhì)(1)非負性：m*E至0,當(dāng)E為空集時,m*E=0(2)單調(diào)性：假設(shè)AuB,那么m*Am*B證實：能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A,從而能覆蓋B的開區(qū)

5、間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少,相應(yīng)的下確界反而大.*一*(3)次可數(shù)可加性m3An)mAnn1.證實：對任意白0名a0,由外測度的定義知,對每個An都有一列開區(qū)間(即用一開區(qū)間k列近似替換AnIn1,In2,lllInmJM,使得AnUyInm且mAn|Inm|-mAn嬴m12QOoQao從而.An-Inmn1n3m1*0_*|Inm|八'|Inm|M"冬一mAn；n,m1ndmz!n12n1可見ad一一*|_、mAn；n1ao88*m啟An-',|Inmn4md、一.一*由名的任息性,即得m("兒)mAnn1注：(1)一般證實都是從大的一邊開始,由于外測度

6、的定義用的是下確界(2)外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A,B不交也可能不成立(反例要用不可測集),但有：假設(shè)d(A,B)>0那么m(A-B)=m(A)m*(B)當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時候,區(qū)間Ii不可能同時含有A,B中的點從而把區(qū)間列Ii分成兩局部,一局部含有A中的點,一局部含有B中的點.例2對任意區(qū)間I,有m*EJI|.思考：書本中的證實用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣例3Cantor集的外測度為0.證實：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為Ij(n)i=1,2/112n從而2n2n2nnm*(P)<m*(.4I(n)<-|Ii(

7、n)|<-n=->0yi133故mP=0注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集,有限并,可數(shù)并仍為零集作業(yè)：P751,2練習(xí)題1如果將外測度的定義改為“有界集E的外測度是包含E的閉集的測度的下確界.是否合理？2設(shè)AcB=.,問在什么條件下有*m(AB)=mB3對于有界集EUR1,是否必有m*E<依？4設(shè)E是直線上的一有界集,m*E>0,那么對任意小于m*E的正數(shù)c,恒有子集日,使mE1=c§2可測集合教學(xué)目的1、深刻理解可測集的定義,學(xué)會用Caratheodory條件驗證集合的可測性2、掌握并能運用可測集的性質(zhì).本節(jié)要點學(xué)會用Caratheodory條件驗證

8、集合的可測性.本節(jié)難點用Caratheodory條件驗證集合的可測性.授課時數(shù)4學(xué)時Lebesgue外測度(外包)00o0m*E=inf£|L|:Eu廿I"且I為開區(qū)間i4JoQ°O_、,_._.*_._*_V®>0,三開區(qū)間列Ii,使得EuIi且mE<z|Ii|<mE+ei=1即：用一開區(qū)間列“近似替換集合EoaCO次可數(shù)可加性(即使An兩兩不交)mQAn)<ZmAnn1n一、可測集的定義假設(shè)VTuRn,有mt=mT(TcE)+m*(TcEc)(Caratheodory條件),那么稱E為Lebesgue可測集,此時E的外測度稱為

9、E的測度,記作mE.注：Lebesgue開始也是利用外測度與內(nèi)測度相等定義可測集,但此方法對處理問題很不方便,故我們采用上述方法.例1：零集E必為可測集證實：VTuRn,有mTWmTcE)+m*(TcEc)三m*(E)+m*(T)<m*(T)tt>、illill*C'.八從而m什=m*(TcE)+m(TcEc)即E為可測集.二、Lebesgue可測集的性質(zhì)(1)集合E可測(即VTuRn,有mT=m*(TcE)+m*(TcEc)AVAuE,BuEc,有m*(AuB)=m=A)+m(B)證實：(充分性)VTuRn,令慶=丁門e,B=TcEc即可(必要性)令T=AuB(2)假設(shè)A

10、,B,A可測,那么下述集合也可測00Q0Ac,A=B,A,nB,ABA,2AiWiW即可測集類關(guān)于差,余,有限交和可數(shù)交,有限并和可數(shù)并,以及極限運算封閉；假設(shè)Acb=0,那么VTURn,有m(T-(A-B)=m(T-A)m*(T-B)注：上式由前面可測集的等價刻畫馬上可得假設(shè)A兩兩不交,那么(測度的可數(shù)可加性)00oOm(-Ai)='mA假設(shè)A,B可測,A二B,mA<那么有可減性m(BA)=mB-mA證實：由可測集的定義：VTuRn有m*T=m*(T,nE)+m*(TcEc)易知Ac可測假設(shè)AuB可測已證實,那么易知AcB=(AcuBc)c,AB=AcBc也可測.二二n1假設(shè)當(dāng)

11、A為兩兩不交時,2A可測已證實,那么通過令Bn=-=A可把一般情形轉(zhuǎn)化i4i=1n為兩兩不交的情形,通過取余即可證實oai1下面證實假設(shè)A,B可測,那么AuB可測證實：VT仁Rn,有mT<m(T-(A-B)m*(T-(A一B)c)缶*缶*<(m(1)m(2)(m(3)m(4)*4=m(13(旬mQ(3)(眄測)*_.=m(1)=(2)=(3)u(4)(A可測)*=m(T)從而mT=m(T一(A-B)m*(T-(A-B)c)O0下面證實假設(shè)A兩兩不交,那么m(=A)=£mAi1i1證實：VTURn,有nnn二二m沖=m*(Tc(EA)+m*(Tc(匕A)c)之m*(Tc(：

12、A)+m*(TC(工A)c)n二二='、m(T-A)m*(T一(三A)c)i11從而8oOmT_'、m(T-A)m*(T一(一A)c)之m(Tc(；A)+m*(Tc(0A)c)(*)I1IQOQ0另外顯然有mTwm(T一(A)m(T一(：A)c)qQqQ從而ha可測,并用t=a代入(*)式,即得結(jié)論nn例2：設(shè)0,1中可測集AA,川,An滿足條件mmAn-1,那么cA必有正測度.iwynnn證實：m(14A)=m(_A)c)c)=m(0,1(yA)c)nn=m(0,1；Ac)=m(0,1)-m(：Ac)n-1m(0,1-A)I4nn=1-%(1-mA)=mA-(n-1)011y

13、單調(diào)可測集列的性質(zhì)假設(shè)An是遞增的可測集列,那么m(lIm與)=lImmAn二ni.(2)假設(shè)An是遞減的可測集列且mA工-,那么m(limAn)=lImmAn-n工二注：(1)左邊的極限是集列極限,而右邊的極限是數(shù)列極限,(2)中的條件mA依不可少,如An=n,二qQ注：(2)假設(shè)An是遞減集列,limAnAnn-n1oO假設(shè)An是遞增集列,11mAi=8nl：n1oO-A=A-(A-A)-HI-(AnA)-HIn1假設(shè)AB可測,AUB,mA一,那么m(BA)=mBmA作業(yè)：P755,6練習(xí)題1設(shè)m'tn.,能否斷定E可測？能否斷定E的任一子集可測?O02設(shè)En是可測集列,且

14、3;mEn<y,那么m布En=0nJn：3證實：任意點集E的外測度等于包含它的開集G的測度的下確界,即m*E=infmG:EuG,G為開集4設(shè)A,B是R的子集,A可測,證實等式mA一BmA-B=mAmB§3可測集類教學(xué)目的1、熟悉并掌握用開集、閉集、G型集、F仃型集刻畫可測集的幾個定理,弄清可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.2、了解一些集合可測的充要條件.本節(jié)要點可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.本節(jié)難點可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.授課時數(shù)4學(xué)時一、可測集例1區(qū)間I是可測集,且mI=|I|注：1零集、區(qū)間、開集、閉集、G型集可數(shù)個開集的交、F仃型集可數(shù)個閉集的并.B

15、orel型集粗略說：從開集出發(fā)通過取余,取交或并有限個或可數(shù)個運算得到都是可測集.2開集、閉集既是Gj型集也是F仃型集；有理數(shù)集是F仃型集,但不是Gg型集；無理數(shù)集是G每型集,但不是F仃型集.有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點集的并,而單點集是閉集；通過取余G&型集與F仃型集相互轉(zhuǎn)化并與交,開集與閉集互換二、可測集與開集、閉集的關(guān)系1假設(shè)E可測,那么V®>0,存在開集G,使得E匚G且mG-E<名即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集可測集“差不多就是開集或閉集,從而可測集根本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并.(2)假設(shè)E可測,那么V8>0,存在閉集F,使得FuE且m(EF)&

16、lt;e證實：(1)當(dāng)mE<時,由外測度定義知0000一一一*.*>0,存在開區(qū)間列Ii,使得Eu曰Ii且mEE£|Ii|WmE+E-i丑oO88令G=212那么G為開集,EuG,且E<mG<Zmli<Z|Ii|<mEi-i=1i4從而(這里用到mE<一)m(GE)=mGmE<名(2)當(dāng)mE="時,這時將E分解成可數(shù)個互不相交的可測集oOE=：Ei(mE:二二)對每個Ei應(yīng)用上述結(jié)果,存在開集Gi,使得EiuGi且m(Gi巳)<QO令G=Gi,那么G為開集,EuG,且i1m(G-E)=mJG-二E)=m(二(G-二EJi

17、iiii=ii=i<m(.JGi-Ei)<-m(G-Ei)-<；tyi=i2i假設(shè)(1)已證實,由Ec可測可知Ve>0,存在開集G,使得Ec仁G且m(GEc)<名.取F=Gc,那么F為閉集FuE且cccccccm(E-F)=m(E-F)=m(E)-F)=m(F-E)=m(G-E)；例2設(shè)E仁Rn,假設(shè)Vs>0,三開集G,使得EuG且m-GE)<w,那么E是可測集.1一1證實：對任息的一,二Gn(開集),使得E仁Gn且m(Gn-E)<-nnoO令O=2Gn,那么o是Gs型集且EuO1.m(O-E),(Gn-E),n=1,2,3JI|n故m(O-E)

18、=0從而E=0(OE)為可測集.例3：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體,試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集.E=1,2/3,小開集：G=.,(Pi-2t1,Pi271)閉集：空集.例4：設(shè)E為0,1中的無理數(shù)全體,試各寫出一個與E只相差一小測度集的開集和閉集.開集：(0,1)qQ閉集：F=0,1-己(一寸,號)三、可測集與Gg集和F仃集的關(guān)系(1) .假設(shè)E可測,那么存在G型集0,使EuO且m(0E)=0可測集可由G百型集去掉一零集,或F仃型集添上一零集得到.(2) .假設(shè)E可測,那么存在F仃型集H,使HuE且m(E-H)=0證實：假設(shè)(1)已證實,由Ec可測可知三G型集0,使得Ec匚0且m(0Ec)=0取H=0c,那么H為F仃型集,HUE且cccccc_cm(E-H)=m(E.H)=m(E)一H戶m(H-E)=m(0-E)=0(1).假設(shè)E可測,那么存在G型集0,使EuO且m(OE)=011證實：對任息的一,存在開集Gn,使得EuGn且m(Gn-E)<-nnqQ令0=cGn,那么0為Gb型集,且E=0n1"m(0-E)<m(Gn-E)4n=1,2,34M故m(0-E)=0例5：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體,試各寫出一個與E只相差一零測度集的G型集或F仃型集.G§