微分幾何試題庫(kù)

1、微分幾何一、判斷題1 、兩個(gè)向量函數(shù)之和的極限等于極限的和（ ）2、二階微分方程 A( u, v)du22 B( u, v)dudv B( u,v)dv 20總表示曲面上兩族曲線 . （）uuuruuur3、若 r (t) 和 s(t) 均在 a,b連續(xù)，則他們的和也在該區(qū)間連續(xù)（ ）uuurt 的每一個(gè)值，4、向量函數(shù) s(t ) 具有固定長(zhǎng)的充要條件是對(duì)于uuuruuurs(t) 的微商與 s(t ) 平行（ ）5、等距變換一定是保角變換 .（）6、連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測(cè)地線一定是最短的.（）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋線 x=cost,y=sint,z=t 在點(diǎn)（ 1

2、，0，0）的切線為 X=Y=Z （ ）uuur9、對(duì)于曲線 s= s(t ) 上一點(diǎn)（ t=t 0）,若其微商是零，則這一點(diǎn)為曲線的正常點(diǎn)（ ）10、曲線上的正常點(diǎn)的切向量是存在的（ ）11、曲線的法面垂直于過(guò)切點(diǎn)的切線（ ）12、單位切向量的模是1（ ）13、每一個(gè)保角變換一定是等距變換（ ）14、空間曲線的形狀由曲率與撓率唯一確定.（）15、坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是F0 ，這里 F 是第一基本量 .（）二、填空題16、曲面上的一個(gè)坐標(biāo)網(wǎng)，其中一族是測(cè)地線17、螺旋線 x=2cost,y=2sint,z=2t,在點(diǎn)（ 1， 0，0）的法平面是 _ y+z=0,.18.設(shè)給出 c1 類曲

3、線 : rr (t) , at b.則其弧長(zhǎng)可表示為br (t ) dtarcos3x,sin3x,cos 2 x ， 0xr13cos x,3sin x,r19、已知 r，則4 ，25sin x,cos x,0 ， r1 4cos x,4sin x,3 ，6，8。525sin 2x25sin 2x20、曲面的在曲線，如果它上面每一點(diǎn)的切點(diǎn)方向都是漸近方向，則稱為漸進(jìn)曲線。21、旋轉(zhuǎn)面 r=(t)cos,(t )sin,(t ) , 他的坐標(biāo)網(wǎng)是否為正交的?_是_(填“是”或“不是”).22、過(guò)點(diǎn)平行于法方向的直線叫做曲面在該點(diǎn)的_法線 _線.23.任何兩個(gè)向量 p, q 的數(shù)量積 p qp

4、q cos( pq)24、保持曲面上任意曲線的長(zhǎng)度不便的變稱為_等距 (保長(zhǎng) )變換 _.25、圓柱螺線的曲率和撓率都是 _常數(shù) _數(shù) (填“常數(shù)”或“非常數(shù)” ).26.若曲線 (c)用自然參數(shù)表示 rr (t) ,則曲線 (c)在 P(s0 ) 點(diǎn)的密切平面的方程是27.曲線的基本三棱形由三個(gè)基本向量和密切平面、法平面、從切平面28.杜邦指標(biāo)線的方程為 Lx 22MxyNy 21r u cosv, u sin v,6 v ， u 0 ， 0v，則它的第一基本形式為29、已知曲面 r2du2(u236)dv 2，第二基本形式為12du dv ，高斯曲率 K36，平均u236(u236)2曲率

5、 H0，點(diǎn) (1,0,0) 處沿方向 du : dv2 的法曲率24處的兩37 ，點(diǎn) (1,0,0)1517個(gè)主曲率分別為6,6。373730、（ Cohn-Voeeen定理）兩個(gè)卵形面之間如果存在一個(gè)保長(zhǎng)映射，則這個(gè)映射一定是R 3 中的合同或?qū)ΨQ。31、球面上正規(guī)閉曲線的全撓率等于零。32.一個(gè)曲面為可展曲面的充分必要條件為此曲面為單參數(shù)平面族的包絡(luò)三、綜合題33求曲線 xt sin t , yt cost, ztet 在原點(diǎn)的密切平面，法平面，切線方程。解： r t sin t, t cost ,te t ,在原點(diǎn)處 t0在原點(diǎn)處切平面的方程為:即XYZ0法平面的方程為 :即YZ0切線方

6、程為即XYZ01134、求曲面 zx3y3 的漸近曲線。解 設(shè) rr u, v, u3v3rrrrr1則 1,0,3u2，0,1,3v2rurv3u2,3 v2,1rurv， nrr|9u49v4| rurv1rrrr0,0,6vruu0,0,6 u ， ruv0 ， rvvrr6u，rrrr6vL n ruu9u49v4M n ruv0 ， N n rvv9u 49v411因漸近曲線的微分方程為即 udu 2vdv2 或uduvdv033C1 或33C2漸近曲線為 u2v2( u)2v 235.求雙曲拋物面 r a(u v), b(uv),2uv 的第一基本形式解: r a(u v), b(

7、uv),2uv,ru a,b,2v,rv a, b,2u.E ru rua 2b24v2 , F ru rva 2b24uv ,36.計(jì)算球面 r( R coscos, R cos sin, Rsin) 的第二基本形式 .解:由此得到= coscos,cos sin, sin ,又由于所以因而得到222dudv解:因?yàn)镋12 ,F 0 ,G12v2c)2v2c)2(u(u所以所以1Ev2v,2Gu2u,122E u 2v2122G u2v 2cc1Gu2u,2Gv2v222Eu2v 2222G u 2v2cc38、已知曲面的第一基本形式為 I v(du 2dv2 ) ， v 0，求坐標(biāo)曲線的測(cè)

8、地曲率。解 EG v ， F0 ， Gu0 ， Ev1u-線的測(cè)地曲率v-線的測(cè)地曲率guEv12EG2v vgvGu02GE39、問(wèn)曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線嗎？為什么？答：曲面上曲線的切向量沿曲線本身平行移動(dòng)的充要條件是曲面上的曲線是測(cè)地線 .iirr du1r du2事實(shí)上，設(shè): uu( s) (i1,2) ，則的切向量為r1dsr2ds1 du， a2du2111ij， Da2da22 ij記 ads， Dadaij aduij a dudsi , ji , j的切向量 rD rrDa 10, Da 20則曲線沿平行移動(dòng)0為測(cè)地線40.求證在正

9、螺面上有一族漸近線是直線,另一族是螺旋線 .解:因?yàn)閞 ucosv,u sin v, bv,由于 LN0, 所以 ,正螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng),則一族漸近線是這是螺旋線 ,另一族漸近線是這是直線 .41、設(shè)空間兩條曲線和 C 的曲率處處不為零，若曲線和 C 可以建立一一對(duì)應(yīng)，且在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，求證曲線和 C 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.rrrrrrrr證 設(shè)知，: rr (s) ，: rr (s) ，則由 /從而 rr0， rrrrrr)rds r0 ， d(0dsdsrrconstant ，即cos r , rC這表明曲線和 C 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線夾固定角.42、證明 r (t) 具有固定

10、方向的充要條件是證明 :必要性設(shè) r (t)(t)e ( e 為常單位向量 ),則所以r (t )r ( t )0充分性 : r (t)(t) e(t) ( e(t) 為單位向量函數(shù) ),則r (t)(t )e(t )(t )e (t) ,因?yàn)?r (t )0, 于是(t )0 ,當(dāng) r (t )r ( t )0 ,從而有即 e(t) / e (t ) ,因?yàn)?e(t)e (t ) (根據(jù) e(t)1 ),因此 e (t )0 即 e(t ) 為常向量 ,所以有固定方向43、給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一點(diǎn)處的副法向量和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角 . 求證是一條平面曲線 .證 設(shè)rru( s),

11、 vv(s) ，其中 s 是的自然參數(shù)，記: rr (u,v) ， : ur rrrr rrrcos，兩邊求導(dǎo)，得r d n，r ,n ，則 rnnr0rrd srrrrr r由，即d n d r r， 因此r d nr dr0 .為曲率線知 d n / d rd s/nrd snrd sd s若0 ，則為平面曲線；r r若 n0 ，則因 為曲面r rr rrnnn0 ，所以 d n上的一條曲率線，rr. 而故 d nn d rrr為平面曲線 .0，即 n 為常向量 . 于是44、求圓柱螺線 R（ t） a cost, a sin t, bt 在 t處的切線方程。3r (t) a cost ,

12、 a sin t,bt ,解 asin t, a cost, b,r (t )r,3 a,b3223t時(shí)，有 r ( )3 a, a , b.3322所以切線的方程為即如果用坐標(biāo)表示，則得切線方程為即45、求雙曲螺線 r a cosh t, asinh t, at 從 t=0 起計(jì)算的弧長(zhǎng)。解： r a cosh t ,a sinh t , at,r a sinh t , a cosh t, a從 t=0 起計(jì)算的弧長(zhǎng)為t2 sinh 2 ta2 cosh2 tadtatt2 (sinh2 t1)a 2 cosh2 t dt=a0t2 cosh2 ta2 cosh2 t dta02a sinh

13、 t.46、求球面 r R coscos, R cossin , Rsin 的第一基本形式。r R cos cos, R cos sin, R sin , 可得出解：由 rR cossin, R coscos,0,rR sincos,R sinsin, R cos,由此得到曲面的第一類基本量因而47、曲面上一點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲面在點(diǎn)所有方向在法曲率中的最大值和最小值。證明設(shè) k1k2 (如果 K1K 2 , 可以交換坐標(biāo)u和 v)，由歐拉公式知于是因此同樣又可以得到由此即這就是說(shuō)，主曲率k2 , k1 是 kn 法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式為IE ( u ) du 2

14、G (u ) dv 2 。求證：（ 1） u-曲線是測(cè)地線；（ 2） v-曲線是測(cè)地線，當(dāng)且僅當(dāng)Gu (u)0證明： u 曲線的方程為 dv0.由得到所以代入劉維爾公式得因此得到 u曲線是測(cè)地線 。（2）若 u曲線為測(cè)地線，由得 d0,則有2 ds0 001ln G sin，1Eu即49、 R 3 中全體合同變換構(gòu)成一個(gè)群，稱為空間合同變換群。證明：因?yàn)椋?）空間兩個(gè)合同變換的組合還是一個(gè)空間合同變換；（2）空間三個(gè)合同變換的組合滿足合里律；（3）恒同變換 I : xixi (i1,2,3) 與空間任何合同變換T 的組合 ITTIT , 因此 I 對(duì)于空間合同變換的組合來(lái)說(shuō)是單位元素；（4）空

15、間任何合同變換一定有逆變換，而且這個(gè)逆變換還是空間合同變換。50、沿曲線面上一條曲線平行移動(dòng)時(shí)，保持向量的內(nèi)積不變。證明：沿曲線（ C）給出兩個(gè)平行的向量場(chǎng)，在曲面上取正交坐標(biāo)網(wǎng)（u1 , u 2 , 則 ）所以51、設(shè)曲線 (C ) : rr t是具有周期的閉的正規(guī)平面曲線， 如果把參數(shù)換成自然參數(shù)，/則它的周期是 L0 rt dt,L 的閉曲線的周長(zhǎng) .證明s tt/dtrt0=/tt/rdtr t dt ,0因?yàn)閞tr t，所以我們得到s tt/Lr t dt L s t ,0所以有r sLr s tLr s tr s tr s .52、對(duì)于空間簡(jiǎn)單的、正規(guī)閉曲線，至少存在一條切線與給定的方向l 正交 .證明取 l 為坐標(biāo)系的 z 軸方向 .設(shè)曲線 C 的自然參數(shù)表示是因而單位切向量為?a sx s , y s , z s.根據(jù)微積分中值定理，存在s0 0, L , 使得?z Lz