量綱分析模型

1、求：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)關(guān)于周期t的模型。量綱分析法來構(gòu)造模型、根本概念：在表達(dá)一個(gè)物理量時(shí)，總是用數(shù)和量這兩個(gè)概念在一起來度量該物理量的某種屬性， 因此，許多物理量都是有量綱的，例如：質(zhì)量的量綱是：克g；千克kg速度的量綱是：厘米/秒；公里/時(shí)熱量的量綱是：卡def：量綱：在對(duì)物理對(duì)象進(jìn)行分析時(shí)用來表示物理特性的量稱之為量綱，例如：長(zhǎng)度、密度、速度等。用數(shù)學(xué)公式描述一個(gè)規(guī)律時(shí)，等號(hào)兩端都必須保持量綱的一致。def：量綱分析：在量綱一致的原那么下，分析物理量之間關(guān)系的一種方法稱為量綱分析。例如：用數(shù)學(xué)公式描述一個(gè)物理規(guī)律時(shí)等式兩邊必須保持量綱的一致，同時(shí)也保持單位的一致。def：量綱分析法：用量綱分析法來

2、建立數(shù)學(xué)模型的一種方法。def：根本量綱：在物理學(xué)或力學(xué)中有一些物理量的量綱是根本的，其他物理量的量綱 可以由這些根本量綱推導(dǎo)出來，這些根本的量綱叫根本量綱，例如：力學(xué)中根本量綱為：m 質(zhì)量，丨長(zhǎng)度，t 時(shí)間，分別記成：M , L，T，其他量綱可由此推出來。例如：速度V二LT '；加速度a二LT '，力f二MLja珂MLT 冷珂MLT 丁有些物理常數(shù)也有量綱，例如：萬有引力定律f = K miP2中的引力常數(shù)K的量綱r也可推出來：MLT =Km2L =K二M L3T° =ML3T0 0 0 def :無量綱常數(shù)，記為=1, =LMT二、量綱分析法建模的例子 ：先從實(shí)例

3、討論出發(fā)，再給出一般方法。例1 ：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)模型：質(zhì)量為m的小球，系在長(zhǎng)為丨的線的一端，重力F =mg作用下作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，解：1：將可能與t有關(guān)的物理量 m, I, g用關(guān)系式 ® O ®(l, m, g)表示出來。2 用量綱分析法來確定 ; 假定1的形式表示為t = I ：1m 2g 3其中，：無量綱比例系數(shù),:i i =1,2,3為待定常數(shù)。那么2的量綱表達(dá)式為:都用根本量綱表示:：1 3M：2T?3T二L ：1M：2LT：3-L由等式兩邊量綱一致的原那么可知:id 匕3 =01 3C(2 = 0_孔=1有唯一解:->2 = 0,_3(3)將3代入2有:t.此與力學(xué)定

4、律得到結(jié)果是一致的。說明：1為什么1式要以2特殊形式出現(xiàn)，而不出現(xiàn)三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，這是因?yàn)椋喝绻承┪锢砹咳鐇, X2J| |出現(xiàn)如下形式的函數(shù)關(guān)系：sinxFx/, e於匚川，那么 Rxj必須是無量綱的。因?yàn)槭侨呛瘮?shù)角度數(shù)，因而sinxFx2：2, e心都是無量綱的，那么不能用量綱分析方法得到模型形式或者說：這些無量綱的量都包括在無量綱比例系數(shù)中去了因而量綱分析法無法得到無量綱量的具體形式。2 一般說來，單擺作簡(jiǎn)諧擺動(dòng)應(yīng)考慮小球偏離平衡位置的初始角度r ,但因他是無量綱量，所以它的影響可反映在系數(shù)'內(nèi)，即為'G1，用更精確方法知道，'C1是以二為參量的

5、第一類橢圓積分，當(dāng)很小時(shí)，其值近似等于2二。例2:利用量綱分析法：從萬有引力定律中推出開普勒第三定律，即，行星運(yùn)行周期T的平方與其橢圓軌道長(zhǎng)半軸的三次方成正比，即：T2 =kl3，或T2二13：設(shè)行星運(yùn)動(dòng)周期t，橢圓軌道長(zhǎng)半軸為l，太陽行量的質(zhì)量為 m，萬有引力常數(shù)K.求：運(yùn)行周期t的關(guān)系式模型。解：1 設(shè)周期t,長(zhǎng)半軸I，太陽行星質(zhì)量 m ,萬有引力常數(shù) K之間關(guān)系為：I, t, m, k =0 12 為使用量綱分析方法將1寫成I ：1t：2m：3K " 無量綱常數(shù)，不是圓周率23對(duì)2式量綱分析得量綱表達(dá)式為：LFTFM：3M 'l't'F =L0M0T0

6、34 據(jù)等式兩邊量綱一致的原那么有：對(duì)L:3：4=0對(duì)M : 3 - ： 4 =04對(duì)T:：2-2：4=0對(duì)4式的秩Rank =3，變量個(gè)數(shù)為4,所以根本解組為 4-3 = 1個(gè)不妨取為：宀=3,2 - -2,3 - -1,用4 1 -1 5其中，任?。?為自由變量并令4=15將5代入2得到模型為：即: t2二l3，即開普勒第三定律，而歷史上由開普勒第三定律的觀測(cè)數(shù)據(jù)出發(fā)，推出萬有引力定律。說明：6式中比例系數(shù)中仍有質(zhì)量m，并沒有推出開普勒第三定律中比例系數(shù)是絕2323對(duì)常數(shù)的結(jié)論：即：T二kl ,但已得到比例關(guān)系：t二丨三、二定理由例2可知利用量綱分析把 4個(gè)有量綱的量表示為 1個(gè)無量綱的量

7、，得出量綱分析法 的一般步驟：先給出兩個(gè)定理。Thi :二定理設(shè)有n個(gè)物理量x2,川，xn之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系與量綱單位選 取無關(guān)的物理定律X1, X2, HI, Xn =0 1其中：X1, X2, III, Xm m W n是有根本量綱的物理量，Xm+, Xm七，III, Xn可由這些基:1, 2 JH,二“的關(guān)系,本量綱表示，那么1式可以表示為n-m個(gè)無量綱量:：二 1,二 2,川，二 n_m =0因?yàn)橛闪烤V的齊次原那么，物理量Xi,X2, |l,Xm m< n可以用n-m線性無關(guān)的向量表示出來。Th2 : Th1的推廣設(shè)有(1)(為，X2,川,XJ =0其中有m是有根本量綱Xi,

8、X2, lil, Xm，且x i =1,2川|n的量綱可表示為:XiF； Xjj=1(i =1,2,Hl,n)假設(shè)矩陣 B=0jn呦的秩為r RankB = r ，那么1可表示為:'-C：1,二 2, IH,二n J =0其中點(diǎn)s s=1， 2,., n-r是無量綱量，且可表示為:二s 八 X：®i =1:i (s)是方程組BT =0的根本解ns =1, 2,川，n -r即為模型C2S%(s) =III0n(s)Remark : Th1, Th2統(tǒng)稱二定理，按照-定理，量綱分析方法的一般步驟：四、量綱分析法建立數(shù)學(xué)模型的根本步驟：1 將與問題有關(guān)的有量綱的物理量變量和常數(shù)記做

9、X1, X2, IH, Xn，按照物理定義確定此問題的根本量綱并記成X1, X2,川，Xm2 將所有物理量用根本量綱表示，即令：nIT X：1i =1二待定，二為無量綱量，將 xi的量綱用根本量綱表示為:Xi劃Xj(i =1,2,n; j =1,2,m)j4(2)-ij利用已有的物理知識(shí)確定3利用2得到1 式的量綱表達(dá)式n m :IT Xjij )：i 十i 4即:n'、jXj=0(3)4 解線性方程組:ji=0 (j =1,2, III,m)(4)'叫1。1 +卩21。2 +川 + En&n =0耳2% + 卩22。2 +川 * Pn2。n = 0j min.：1m1

10、m2 Jll ：nmn =0假設(shè)方程組4: R二r，那么有向量有n - r個(gè)根本解,并記上述的n - r解為:f (s)、a；a2IIIGra n /s =1,2, |(, n r那么得到X2,川,Xn之間n-r個(gè)關(guān)系式:nI丨Xii T(s = 1,2|l n, r(5)其中二s為無量綱量。5 寫成模型的統(tǒng)一形式'(二1,二 2,川，s =0舉例說明上述步驟:例3不可壓縮粘性流體在管道內(nèi)的穩(wěn)定流動(dòng)模型。解：此問題涉及的物理量有：管長(zhǎng)：I流速：V，流體密度：，管道兩端壓強(qiáng)：p，流體粘性系數(shù) ，重力加速度g。 根本量綱仍為L(zhǎng), M, T，求各物理量之間的關(guān)系式。解：確定根本量綱將各物理量

11、用根本量綱表示出來;I珂LV二LT，流體密度:丁 ML 重力加速度:壓強(qiáng):粘性系數(shù):_2g <lt2p二ML'TpJ珂MLTI "心：6 +并設(shè)：由量綱一致的原那么，將上式求上式的量綱表達(dá)式。(*)即:得方程組:L：1LT J：2MLJ3：3MLJT：4MLJT ：5LT '> =0L亠：2：3-：5 亠：6 抽：3 亠：4 亠 5 丁2一：5，： 6 = °* >2 -33 -4 -5 *6 =0勺+勺+叫-«22g42%=0解上述方程組得:秩R=3，.有6-3=3個(gè)根本解就構(gòu)成了根本解組。上述方程組有根本解組如下:令得根本解為

12、:依1、«2-2«3-1«41%02 1。3令«5=1得根本解為®丿1。丿0"令«5=0得根本解為巴6丿J丿%-1口2-1 ( 2 )口3-1OL (=口40«51S丿1<0丿S'1 、«2-24( 3 )«30a =«40«50J5得到n -r = 6 -3 =3個(gè)關(guān)于各關(guān)系的數(shù)學(xué)模型：將 ?代入式得:lVPV2?即：模型I將m代入*式得:0 - 2I-.IV p即：I V '"二二 2 或2 模型 n，二 2 為 Re ynold 數(shù)將才代

13、入*，得IVJ即IV勺二二3或£3模型叭二3為Froude數(shù)。ig上述三個(gè)模型均為液體力學(xué)的根本關(guān)系。故得到'-二 1，二 2，二 3= 0即：p lVp V2'(=,一)=0、二ig或P 二V2 “ (二 2,二 3)或2lVp V2p=V2f(-p,廠) 卩l(xiāng) g五、建模技巧與思考1 根據(jù)物理量量綱一致的原那么，用量綱分析法來建立模型，是設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、做模型模擬 的根底。2量綱分析法建模的步驟：1°找出與解與關(guān)的物理量，并確定根本量綱2°將所有物理量用根本量綱表示n(* )3°由二定理，令 |丨“-i呂n _并將上式量綱表示為根本量綱表達(dá)式:m 7行IT xji-0j mn4°解線性方程組：%冷=0i=1假設(shè)Rank