隨機變量數字特征

1、Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse*1第四章隨機變量的數字特征習題課荽教學目的：學習隨機變量的數字特征，要求理解數學期望與方差的定義，掌握它們的性質與計算；理解獨立于相關的概念；會求協方差與相關系數；了解高階矩的概念；了解切比雪夫不等式與大數定律。英教學重點：掌握數學期望、方差、標準差、切比雪夫不等式、各階原點矩與中心矩、協方差與相關系數的概念和計算。膈教學難點：掌握運用定義與性質計算隨機變量及其函數的數字特征。掌握常用的分布的數字特征與其分布參數間的關系。蟆講授內容荽一.回顧知識蝴(一).隨機變量的數學期望的概念與

2、性質神i.離散型隨機變量的數學期望設離散型隨機變量的分布律為Q0Q0px=xi=pi(i=1,2,.).若無窮級數Zxipi絕對收斂，則稱無窮級數工xipi為idi1隨機變量X的數學期望或均值。蠅2.連續(xù)型隨機變量的數學期望設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若反常積分1%xf(x)dx絕對收斂，則稱此反常積分的值為隨機變量X的數學期望或均值，記為EX或E(X)，即EX=fxf(x)dx.菱3.隨機變量的數學期望的性質設C是常數，則有EC=C;敷設X是隨機變量，C是常數，則有E(CX)=CE(X);#設X和Y任意兩個隨機變量，則有E(X土Y)=E(X)士E(Y);期設隨機變量X與Y相互獨立

3、，則有E(XY)=E(X)E(Y).節(jié)4.一個隨機變量函數X的函數Y=g(X)的數學期望聿設X是離散型隨機變量，其概率分布為px=x=p(i=1,2,.),如果無窮級數Zg(xi)pi絕對收斂，則隨機變量Y=g(X)的數學期望為i1qQE(Y)=Eg(x)八一g(Xi)R.i1勘設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),若反常積分f%(x)f(x)dx絕對收斂，則隨機變量Y=g(X)的數學期望為E(Y)=Eg(x)=J-g(x)f(x)dx.蟆5.二維隨機變量(X,Y)的函數Z=g(X,Y)的數學期望蜜設二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布為pX=x，Y=y=用，OOQOi,j=1,2,.,如

4、果無窮級數g(x,yi)Pij絕對收斂，則隨機變量Z=g(X,Y)的數j4i=1qQqQ學期望為E(Z)=Eg(X,Y)-Hg(x,yi)Pj.j£i£設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率分布為f(x,y),若反常積分00UUg(x,y)f(x,y)dxdy絕對收斂，則隨機變量Z=g(X,Y)的數學期望為E(Z)=Eg(X,Y)=j：g(x,y)f(x,y)dxdy.肆(二).隨機變量方差的概念及性質裊1.方差及標準差的概念設X是一個隨機變量，若EX-E(X)2存在，則稱之為X的方差，記為D(X)，即D(X)=EXE(X)2.方差的算術平方根"D(X)稱為X的均方

5、差或標準差，記為記為o(X),即XE(X)d(X)=qD(X).稱X=J()為X的標準化隨機變量,此時又D(X)*E(X)=0,D(X)=1.肄2.方差的計算公式D(X)=E(X2)-E(X)2節(jié)3.方差的性質腿(1).C是常數，則D(C)=0.箍(2).設X是隨機變量，C是常數，則有D(X+C)=D(X).冗(3).設X是隨機變量，C是常數，則有D(CX)=C2D(X).輻(4).設隨機變量X和Y相互獨立，則有D(X比)=D(X)+D(Y).劇三).常見隨機變量的數學期望和方差*1.如果X(01),即PX=i=pi(1p)j(i=0,1)，則E(X)=p,D(X)=p(1-p).2.如果XB

6、(n,p),貝UE(X)=np,D(X)=np(1-p).展3.如果XP(?J,則E(X)=九，D(X)=九.蝸4.如果X服從幾何分布，既PX=K=p(1-p)k,，k=1,2,川,0cp<1,則11-pE(X),D(X)2p.PP*5.如果XU(a,b),則E(X)=b,D(X)=(b-a).2121_1肅6.如果XE(K),則E(X)=-,D(X)=712.2.2賺7.如果XN(N產)，則E(X)=N,D(X)=仃.胤四).切比雪夫不等式設隨機變量X的數學期望和方差都存在，則對任意給定的WA0,總有PX-EX之句M1DX或PXEX牛之1=.切比雪夫不等式給zz出了在隨機變量 X的分布

7、未知，而只知道E(X)和D(X)的情況下估計概率PX-EX|<&的界限.募(五).協方差覆1.協方差的概念設(X,Y)是二維隨機變量，如果E(XEX)(YEY)存在，則稱它為隨機變量X與Y的協方差，記作Cov(X,Y)，既Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY).曹2.協方差的計算公式對任意兩個隨機變量X和Y,有芍(1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)襖(2)D(X_Y尸DXDY-2Cov(X,Y)冗3.協方差的性質芾Cov(X,Y)=Cov(Y,X);蒞(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b是常數)；羈(3)Cov(XiX2,Y)=Cov(X

8、i,Y)Cov(X2,Y).蠅(六).相關系數肆1.相關系數的概念如果X,Y的方差都不等于零。則稱CovjX/Y)為隨機變,DX；DY量X與Y的相關系數，記為PXY，即PXY=CoviXH.如果,DX,DYD(X)D(Y)=0,則；xy=0.蔻2.相關系數的性質前Pxy|M1;蓬(2)PXY|=1的充分必要條件是，存在常數a,b,使得PY=aX+b=1.聿3.對于隨機變量X與Y,下面四個結論是等價的薄(1)Cov(X,Y)=0；(2)X與Y不相關；螃(3)EXY=EXEY;(4)D(XY)=DXXY.量(七).隨機變量的矩設(X,Y)是二維隨機變量.如果E(XkYl)存在，則稱E(Xk)為X的

9、k階原點矩；稱E(X-EX)k(k=2,3,111)為X的k階中心矩；稱E(XkYl)(k,l=1,2,111)為X與Y的k+l階混合原點矩；稱E(X-EX)k(Y-EY)'(k,l=1,2,|)為X與Y的k+l階混合中心矩.妨從上述定義看出：數學期望EX是X的一階原點矩，方差DX是X的二階中心矩。協方差Cov(X,Y)是X與Y的混合二階中心矩.艘二，典型例題選講1 .2 .蟻設隨機變量X£(1),記丫=max(X,1)，則E(Y)=_.薇【分析】如果先去求Y的密度fY(y),則計算量很大.直接用隨機變量函數的數學期望的定義式，有E(Y)=Emax(X,1)=max(x,1)

10、f(x)dx,其中f(x)為指數分布的密度函數，ee-xx0且f(x)=產,0,所以0,x<0,F0E(Y)=max(x,1)f(x)dx=max(x,1)0dx，imax(x,1)e*dx、一二'，、，：'''01-x_x_1妨=edx，xedx=1-e2e=1e.013 .4 .薄設隨機變量X和Y相互獨立，且XN(1,2),YN(3,4)，則隨機變量Z=2X+3Y+5的概率密度f(z)=聿【分析】因為兩個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性函數仍然服從正態(tài)分布，所以1.TZ=-2X*3Y+5服從正態(tài)分布.要求f(z)=1e2，,則需確定參數2二。的值.又E(Z

11、)=%D(Z)=仃2,因此歸結為求E(Z)和D(Z).根據數學期望和方差的性質及E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=-3,D(Y)=-4,可得E(Z)=E(-2X3Y5)=-2E(X)3E(Y)5=-6,D(Z)=D(-2X3Y5)=4D(X)9D(Y)=44.因此Z的概率密度為1z,£)2f(Z)F .不eF1(z6)2:e88,z-R.2.22二5.6.蝴設盒子中裝有m個顏色各異的球，有放回的抽取n次，每次1個球.設X表示n次中抽到的球的顏色種數，則EX=.八工二，人1,n次中抽到過第i種顏色的球(i=1,III)nt螂【分析】令Xi=i，則0,否則X=Xi+X2+|+Xm,事

12、件“Xi=0”表示n次中沒有抽到第i中顏色的球，由1n于是有放回的抽取，n次中各次抽取結果互不影響，因此有PXi=0=(1-)n,m1n_m_m1nPXi=1-1-(1-)n,EX=EXi)-EXi=m1-(1-)n.m7ym4. 設ye'x ") f(x, y)=八0,隨機變量(X,Y)聯合概率密度為x0,y0其他(2)放求X與Y的相關系數；(4)襖令Z=XY,求Z的數學期望與方差.膂【解法】首先11算X,Y的邊緣密度fX(X) =-bo.f (x,y)dy =yex y)dy,0,x 0e：=x < 0.0,x 0x< 0yefY(y)；f(x,y)dx=0,

13、(2)肄計算得知,對任何x,y,都有fX(x)fy(y)=f(x,y),因此X與Y獨立，從而其相關系數：XY=0.(4)蒲根據X,Y,的邊緣概率密度可以求出它們的數字特征：EX=xe/dx=1;EY=y%-ydy=2;oo2二2/213jEX=J0xedx=2;EY=(0yedy=6；由(1)知X與Y獨立，因此X2與Y2也獨立.于是肄EZ=E(XY)=EXEY=2,螞EZ2=E(XY)2=E(X2Y2)=26=12,量故DZ=EZ2(EZ)2=8.膈5.將長度為L的棒隨即折成兩段，則較短的數學期望為犀【分析】設X為這點到左端的距離，Y為較短段的長，則XU(0,L)，且1X,X<1L2膀E

14、(Y)=21L-X,X-L2崛于是EY=Eg(X)=8g(x)f(x)dx1L.L1、.L用=2xdx,Il(L-x)dx=L02L4蒂6.設Xi,X2,HIXi2是取自總體X的一個簡單隨機樣本，EX=N,DX。2.記Yi=Xi+|+X8,Y2=X5+|+Xi2，求丫1與丫2的相關系數袂【分析】根據簡單隨機樣本的性質，X1,X2|X12相互獨立且與總體X同分布，于是有EXi=N,DXi=。2,DX,i=j:2,i=jCov(Xi,Y),)，i,j=1,2,|12.0,i=j0,i-二jDYi=D(XiHIXg)=DXi|l|DXg=8二2,DY2=D(X5hiX12)=DX5IIIDX12=802,X)薇c(omY)Yl什1(C+io8V,十x=Cov(X5,X5)Cov(X6,X6)Cov(X7,X7)Cov(X8,X8)2裂=4；-，展于是丫1與丫2的相關系數為二 _Cov(Y1,K)4二2,DY、, DY2832 .8；= 0.5以下無正文僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途tojibkoAJiajiioAeakpTOpwenojibsymaisaidyHeHMiac,1eaob團hhhaoji>kheiHcnojib3OBaTbCHbKOMMepnecKHxuejiax.Forpersonaluseonlyinstudyandresearc