疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化

1、疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化幾類常見遞推數(shù)列的教學(xué)隨筆436032湖北省鄂州市葛店高級中學(xué)廖傳堯已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項.第一類方法要求學(xué)生有一定的觀察能力以及足夠的結(jié)構(gòu)經(jīng)驗,才能順利完成，對學(xué)生要求高.第二類方法有定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利求解.在教學(xué)中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項公式的解題方法.類型一：形如an1=an+f（n）,其中f（n）成差的分式形式.一一

2、可移項后疊加相消.為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（an）或可裂項例1:已知數(shù)列an,a=0,nN,解：a口1=a口+(2n1)an1=an+(2n1),求通項公式an*an1=an(2n1)a2a=1a3a2=3、anan1=2n3,an=a1+(a2a)+(a3a2)+,，+(anan1)=0+1+3+5+“，+(2n3)12廠=一1+(2n-3)(n-1)=(n-1)2nN2+3n,求通項公式an練習(xí)1:.已知數(shù)列an,a1=1,nN,an1=an.已知數(shù)列an滿足a1=3,anan1n(n1),nN，求an.二、疊乘相約.類型二：形如皿anf(n).其中f(n)=(mnb)P(mnc)p(p

3、豐0,m乒0,b-c=km,kZ)或a=kn(k乒0)或an冬nkmn(ank豐0,0vm且m例2:已知數(shù)列解：（n+1）anan21,a1=1,annan2+an>0,(n+1)an12nan2+a”1an=。，求a”.1an=0-(n+1)an1nan(an+an)=0an>0an1nann1an>0(n+1)an1nan=0an表aan1n1an2n2an3n1n2n3111nn1n22n練習(xí)2：已知數(shù)列an滿足Sn=2-an(nN*),Sn是a”的前n項和，a2=1,求a”.已知數(shù)列an滿足an1=3nan(nN*),且ai=1，求a”.三、逐層迭代遞推.類型三：形如

4、an1=f(an)，其中f(an)是關(guān)于an的函數(shù).一一需逐層迭代、細(xì)心尋找其中規(guī)律.例3:已知數(shù)列an,a1=1,nN,an1=2an+3n,求通項公式an.解：an1=2an+3nan=2an1+3n-1=2(2an2+3n-2)+3n-1=22(2an3+3面)+2.3n-2+3n-1=2n-2(2a1+3)+2n-3-32+2n-433+2n-534+-+22-3n-3+2-3n-2+3n-1=2n-1+2n-23+2n-3-32+2n-433+22-3n-3+2-3n-2+3n-1n1n133n2n13222練習(xí)3:.右數(shù)列an中，a1=3,且an1=an(泌N)，求通項an.已知數(shù)

5、列an的前n項和Sn滿足Sn=2an+1n,nN，求通項an.四、運(yùn)用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解.可通過倒數(shù)變形類型四：形如anan1=panqan1,(pq乒0).且an0的數(shù)列,為基本數(shù)列問題.111當(dāng)p=一q時，則有：-轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列;an1anp豐一q時，則有:an1qpan1-.同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.p例4：若數(shù)列an中,a1=1,2anan2解:2an1an2又a10,an1-1.anan10,11an2數(shù)列an是首項為-1=1+1n1an21的等差數(shù)列.2.an=-nNnn1，一一，2x練習(xí)4：已知f(n)=3x,數(shù)列an滿足a1=1,an3一、=f(an1)2，求an-

6、類型五：形如an1=pan+q,pq乒0,p、q為常數(shù).當(dāng)p=1時，為等差數(shù)列；當(dāng)p乒1時，可在兩邊同時加上同一個數(shù)X,即an1+x=pan+q+xani+X=p(an+q),令X=X-x=時，有ani+X=p(an+X),ppp1從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列an+q求解.例5:已知數(shù)列an中，a1=1,an=-an1+1,n=1、2、3、，求通項an22 解：an=an1+1an2=0n12)2、，.，1又.a2=-1豐0數(shù)列an-2首項為-1,公比為1的等比數(shù)列.21Can2=-1()即an=2一2nN2練習(xí)5:.已知a1=1,an=2an1+3(n=2、3、4-)，求數(shù)列an的通項.已知數(shù)列an滿

7、足a=1,a2_2an，an1=-an1，求a”類型六：形如an1=pan+f(n),p乒0且p為常數(shù)，f(n)為關(guān)于n的函數(shù).當(dāng)p=1時，貝Uan1=an+f(n)即類型當(dāng)p豐1時，f(n)為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式(an)或指數(shù)和多項式的混合形式.若f(n)為關(guān)于n的多項式(f(n)=kn+b或kn2+bn+c,k、b、c為常數(shù))，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.例6:已知數(shù)列an滿足a1=1,an1=2an+n2,nN求an.解：令an1+Xa(n+1)2+b(n+1)+c=2(an+an2+bn+c)即an1=2an+(2a-aX)n2+(2b-2aX-bX)n+2c-aX-bX-cx比

8、較系數(shù)得:2aax12b2axbx02caxbxcx01a2x,2axb2xaxbxc2xa1+1+2刈+3=7an1+(n+1)2+2(n+1)+3=2(an+n2+2n+3)an=7X2n1(n2+2n+3)nN令bn=an+n2+2n+3貝Ubn1=2bnb1=7二數(shù)列bn為首項為7,公比為2德等比數(shù)列-bn=7X2n1即an+n2+2n+3=7X2n1若f(n)為關(guān)于n的指數(shù)形式(an).當(dāng)p不等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列;當(dāng)p等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.例7：（同例3）若a=1,an=2an1+3n1解：.nJan1o,(n=2、3、4-)，求數(shù)列an的通項anan=2an1+

9、3n1-令an+xX3n=2(an1+x><3n1)得an=2an1xX3n1nx=-1an3n=2(an13n1)又a13=-23n是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列.an3=-2-2n1即an=3n-2nn£N例8:數(shù)列an中,a1=5且an=3an1+3n-1(n=2、3、4-)試求通項an.an3(an1-2)3n令-xX3n=3數(shù)列an3n=-2-2解:an23nx=-1an=3an1+-1an_n12是公差為1的等差數(shù)列.ai12+(n31)=5-1-2+(n1)=n+1an=(n1)3n2neN若f（n）為關(guān)于n的多項式和指數(shù)形式（an）的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項

10、式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式.例如上面的例8.練習(xí)6:.已知數(shù)列an中a1=1,an1=3an+n,nN;求an的通項.設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n12an1(nN且n>2.證明：對任意n>1an=13n+(-1)n12n+(-1)n2nao5類型七：形如an2=pan1+qan(pq乒0,p、q為常數(shù)且p2+4q>0),可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.例9:已知數(shù)列an中a1=1,a2=2且an2an12an,nN;求an的通項.解：令an2+xan1=(1+x)a”"2anan2+xan1=(1+x)(an1+/an)令x=-x2+x-2=0x=1或-2當(dāng)x=1時,an2+

11、an1=2(an1+an)a2+a=1+2=3數(shù)列an1+an是首項為3且公比為2的等比數(shù)列.an1+an=32n1當(dāng)X=-2時，an2-2an1=-(an1-2an),而a2-2a1=0-an1-2an=0由、得練習(xí)7:已知：ai=2,a2=，an2身a=1an,(n=1、2、3、),求數(shù)列(an)33的通項.已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、，根據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項.五、數(shù)列的簡單應(yīng)用例10:設(shè)棋子在正四面體ABCD勺表面從一個頂點移向另外三個頂點時等可能的.現(xiàn)拋擲骰子，根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動，若投出的點數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶投了三次骰子，棋子恰巧在頂點B的概率

12、是多少？投了四次骰子，棋子都不在頂點B的概率是多少？投了四次骰子，棋子才到達(dá)頂點B的概率是多少?分析：考慮最后一次投骰子分為兩種情況最后一次棋子動；最后一次棋子不動.解：事件投一次骰子棋子不動的概率為1.一，.一，,-;事件投一次骰子棋子動且到達(dá)頂點B的2.投了三次骰子，棋子恰巧在頂點B分為兩種情況.最后一次棋子不動，即前一次棋子恰在頂點B;.最后一次棋子動，且棋子移動到B點.pi,則棋子不在頂點B的概率為（1-Pi）.所以,投了i+1次骰子，棋子恰好在頂點B的概率：Pi1=:piX+(1-pi1)冶i=1、2、3、4、2611111213-pi1=匚+_知i-p1=-=-p2=：p3=632

13、36954設(shè)投了i次骰子,棋子恰好在頂點B的概率為.投了四次骰子，棋子都不在頂點B,說明前幾次棋子都不在B點，應(yīng)分為兩種情況最后一次棋子不動；最后一次棋子動，且不到B點.概率為：pi1=pix1+2pix-X(1-21-)3i=1、2、3、4、-即：pi1=56pi1115.54又-p1=+沖-)=p4=（一）22366設(shè)投了i次骰子，棋子都不在頂點B的概率為pi,則投了i+1次骰子，棋子都不在頂點B的B;說明前三次棋子都不在B點，最后一次棋子動且.投了四次骰子，棋子才到達(dá)頂點到達(dá)頂點B.設(shè)其概率為P則：p=113=1X)3=您23661296答：(略).數(shù)，棋子移動到另外一個頂點.若棋子初始

14、位置在頂點A,則:例11:用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層用去了剩下.如果第九層恰好磚塊的一半多一塊，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊用完，那么一共用了多少塊磚?分析：本題圍繞兩個量即每層的磚塊數(shù)aj和剩下的磚塊數(shù)S，關(guān)鍵是找出aj和S的關(guān)系式，通過方程（組）求解.)則bg=0,解：設(shè)第i層所用的磚塊數(shù)為aj,剩下的磚塊數(shù)為bi（i=1、2、3、4、且設(shè)b0為全部的磚塊數(shù)，依題意，得a=b0+21,a21=頊+1,2ai=bi1+2又bi1=ai+bi聯(lián)立得bi1-bi=bi1+1即bi=1b2211gbi+2=二（bi1+2)bg+2=（二）（b0+221

15、i1-12)b0+2=2X29b0=1022球在甲的手中.若傳了n次球，球在甲手中的概率為an;球在乙手中的概率為bn.（n=1、2、3、4、）.問傳了五次球，球恰巧傳到甲手中的概率若傳了n次球，試比較球在甲手中的概率a5和乙手中的概率b5分別是多少?an與球在乙手中的概率bn的大小.練習(xí)8:十級臺階，可以一步上一級，也可以一步上兩級；問上完十級臺階有多少種不同走法?.三角形內(nèi)有n個點，由這n個點和三角形的三個頂點，這n+3個點可以組成多少個不重疊（任意兩個三角形無重疊部分）的三角形?.若開始時.甲、乙、丙、丁四人傳球，球從一人手中傳向另外三個人是等可能的傳球次數(shù)無限多時，球在誰手中的概率大?參考答案練習(xí)1：(1).an=l(3n-1).an=-2n練習(xí)2:(1).an=n-1.ann(n1)3亍練習(xí)3：.an=32（提示：可兩邊取對數(shù)）.an=-2n2+(-1)3練習(xí)4:an=-n練習(xí)5：an=2n1-3an練習(xí)6：可得a1+(n+1)+=3(a2n+n+)24練習(xí)7:an=3-2n從而a_74_n>