因式分解含答案

1、因式分解、導(dǎo)入:有兩個(gè)人相約到山上去尋找精美的石頭，甲背了滿滿的一筐，乙的筐里只有一個(gè)他認(rèn)為是最精美的石頭。甲就笑乙：“你為什么只挑一個(gè)??？”乙說：“漂亮的石頭雖然多，但我只選一個(gè)最精美的就夠了?！奔仔Χ徽Z(yǔ)，下山的路上，甲感到負(fù)擔(dān)越來越重，最后不得已不斷地從一筐的石頭中挑一個(gè)最差的扔下，到下山的時(shí)候他的筐里結(jié)果只剩下一個(gè)石頭！啟示：人生中會(huì)有許多的東西，值得留戀，有的時(shí)候你應(yīng)該學(xué)會(huì)去放棄。二、知識(shí)點(diǎn)回顧：1. 運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:(1) a2-b2=(a+b)(a-b);a2土2ab+b2=(a土b)2;332.

2、2、a+b=(a+b)(a-ab+b);3322、(2) a-b=(a-b)(a+ab+b).下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;333222a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);nnn-1n-2n-32n-2n-1、a-b=(a-b)(a+ab+ab+ab+b)其中n為正整數(shù)；nnn-1n-2n-32n-2n-1(3) a-b=(a+b)(a-ab+ab-+ab-b)，其中n為偶數(shù)；_nnn-1n-2n-32n-2n-1(4) a+b=(a+b)(a-ab+ab-ab+b)，其中n為奇數(shù).運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，

3、要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.三、專題講解例1分解因式：5n-1n3n-1n+2n-1n+4333(1) -2xy+4xy-2xy,(2)x-8y-z-6xyz;/±rt/.axi”、cn-1n,4224、解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)ndn9999oonTn22222、2r=-2xy(xn)-2xny+(y)n-1n222=-2xy(xn-y)=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.333(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).例2分解因式

4、：a3+b3+c3-3abc.本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式33223的正確性，現(xiàn)將此公式變形為(a+b)=a+3ab+3ab+ba3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo).解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).說明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為3,33a+b+c

5、-3abc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，貝Ua+b+c=3abc;當(dāng)a+b+c>0時(shí)，貝Ua+b+c-3abc>0,即a+b+c>3abc,而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.如果令x=a3>0,y=b3>0,z=c3>0,則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z.這也是一個(gè)常用的結(jié)論.變式練習(xí)a/rrzT1514I32.1分解因式:x+x+x+-+x+x+1.分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解.解因?yàn)?61514132八x-1=(x-1)(x+x+x+x+x+1),所以說明在本題的分解過程

6、中，用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2. 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例3分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=x3

7、-9x-1+9=(x3-1)-9x+92_=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)，2=(x-1)(x+x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)，2=(x-1)(x+x-8).解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)2_=(x-1)(x+x-8).解法4添加兩項(xiàng)-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)2_=(x-1)(x

8、+x-8).說明因此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種.變式練習(xí)1分解因式：(1) x9+x6+x3-3;(m2-1)(n2-1)+4mn;(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；3322(4)ab-ab+a+b+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.963原式=x+x+x-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(

9、x6+2x3+3).(2) 將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn222=mn-m-n+1+2mn+2mn,2222、=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+mn+1)(mn-m+n+1).將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2422224原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)4_22422=(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)-(x-1)L,八2,.2.222=(x+1)+(x-1)-(x-1)_2_222一22一=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3).(3) 添加

10、兩項(xiàng)+ab-ab.2 3原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).3. 換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的

11、某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰.例4分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了.解設(shè)x2+x=y,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).說明本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試.例5分解因式：(x2+3x+2)

12、(4x2+8x+3)-90.分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,則2原式=y(y+1)-90=y+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).說明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).變式練習(xí)1. 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解設(shè)x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+

13、2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).說明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式.1.雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降藉排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是關(guān)于x的

14、二次三項(xiàng)式.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=x+(2y-3):2x+(-11y+1):=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2&-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2

15、+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是:(1) 用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2) 把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式：(1) x2-3xy-10y2+x+9y-2;(2) x2-y2+5x+3y+4;(3) xy+y2+x-y-2;(4) 6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)原式=(x+y+1)(x-y+4).(3) 原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看

16、成0來分解.原式=(y+l)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似.2. 求根法我們把形如anxn+an-ixn-1+aix+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x),g(x),等記號(hào)表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-3X1+2=0;f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0

17、成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根.定理2的根，則必有p是a。的約數(shù)，q是an的約數(shù).特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4.分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：土1,土2,土4,只

18、有f(2)=23-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根.因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.變式練習(xí)1.分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因?yàn)?的約數(shù)有土1,&#

19、177;3,±9;-2的約數(shù)有土1,+為:所以，原式有因式9x2-3x-2.解9x4-3x3+7x2-3x-24322=9x-3x-2x+9x-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡(jiǎn)化分解過程.總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解

20、了.3. 待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例3分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得m=3n=1.所以原式=(x+2y+