大一下高數(shù)下冊知識點

1、高等數(shù)學下冊知識點空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量線性運算定理1：設向量a乒0,則向量b平行于a的充要條件是存在唯一的實數(shù)入，使b=入a1、線性運算：加減法、數(shù)乘；2、空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；3、利用坐標做向量的運算：設a（ax，ay，az）,b（bx,by,bz）；則ab（axbx,ayby,azbz）,a（ax,ay,az）；4、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：rJx2y2z2；2）兩點間的距離公式：ABWxi）2（y2yi）2仁z）23）方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角,xyz4）方向余弦：coscospcosy5）投影：Prjuaacos，

2、其中為向量a與u的夾角。（二）數(shù)量積，向量積1、數(shù)量積：ab|a|bcos2、向量積:cab大?。簗a|bsin，方向：a,b,c符合右手規(guī)則1)aa02)a/bab0運算律：反交換律baab(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z)02、旋轉曲面：yoz面上曲線C:f(y,z)0,繞y軸旋轉一周：f(y,Jx2z2)0繞z軸旋轉一周：f(Jx2y2,z)03、柱面：F(x,y)0F(x,y)0表示母線平行于z軸，準線為z0的柱面4、二次曲面22xy21)橢圓錐面：a2b2z2x2)橢球面：二ab22z2c2x旋轉橢球面：o2a2x3)單葉雙曲面：二ab22z2c4)雙葉雙曲面

3、:2x2a2y_b22z21c5)橢圓拋物面:2x2a2yb2z6)雙曲拋物面(馬鞍面)2x:a22，7)橢圓柱面：2x2a2匕b218)雙怵面：2x2a2yb219)拋物柱面：2xay(四)空間曲線及其方程F(x,y,z)01、一般方程:G(x,y,z)0xx(t)xacostyy(t),如螺旋線：yasintzz(t)zbt2、參數(shù)方程:3、空間曲線在坐標面上的投影F(x,y,z)G(x,y,z)0O，消去z，得到曲線在面xoy上的投影H(x,y)z0(五)平面及其方程1、點法式方程：A(xx0)B(yV。)C(zz0)0法向量：n(A,B,C)，過點(x°,y°,z&

4、#176;)2、一般式方程：AxByCzD。Xyz.截距式方程：1abc3、兩平面的夾角:ni(A1,B1,C1),%(A2,B2,C2)4、點Po(Xo,y。,z。）到平面AxByCzD（K）空間直線及其方程A1XB1yC1zD1。1、一般式方程：A2xB2yC2zD2。XX。yy。zz。2、對稱式（點向式）力程：mnp方向向量：s(m,n,p)，過點(X。,y。，z。）Xx0mt3、參數(shù)式方程：yy。ntzz。pt4、兩直線的夾角:Si(mm,P1),S2(m,P2)0的距離:直線與平面的夾角:直線與它在平面上的投影的夾角,5、第九章多元函數(shù)微分法及其應用（一）基本概念1、距離，鄰域，內(nèi)點

5、，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、多元函數(shù)：（1）定義：設n維空間內(nèi)的點集D是R的一個非空子集，稱映射f:AR為定義在D上的n元函數(shù)。當n>2時，稱為多元函數(shù)。記為U=f(Xl,X2,Xn),(Xl,X2,Xn)GDo3、二次函數(shù)的幾何意義：由點集D所形成的一張曲面。如z=aX+by+c的圖形為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉拋物線。4、極限：(1)定義：設二元函數(shù)f(p)=f(x,y)的定義域D,p0(x0,y0)是D的聚點D,如果存在函數(shù)A對于任意給定的正數(shù)8，總存在正數(shù)5，使得當點p(x,y)CDCU(p0,S)時，都有If(p)-A

6、I=If(x,y)-AI<£成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(x,y)-(x0,y0)時的極限，記作多元函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)的定義5、有界閉合區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質：(1)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。6、偏導數(shù)：設有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點。把y固定在y0而讓x在x0有增量相應地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對x/y的偏增量)如果包與&/兇之比當M0/京，0時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y

7、)在(x0,y0)處對x/y的偏導數(shù)記作f(x0x,y0)f(x0,y0)fx(x0,y0)啊07、混合偏導數(shù)定理：如果函數(shù)的兩個二姐混合偏導數(shù)fxy(x,y)和fyx(x,y)在Dfff8、方向導數(shù)：Tcoscos其中內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二姐混合偏導數(shù)必相等。為l的方向角。9、全微分：如果函數(shù)z=f(x,y)在(x,y)處的全增量&=f(xyy)-f(x,y)可以表示為&=A+B/ly+o(p)，其中A、B不依賴于M,肖，僅與x,y有關，當P此時稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處可微分，A&+B熠稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)處的全微分，記為(二)

8、 性質1、函數(shù)可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關系：偏導數(shù)連續(xù)微分法2）復合函數(shù)求導：鏈式法則1）定義:若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，則zzuzvzuyvy然后解方程（組），xuxvxy3）隱函數(shù)求導：兩邊求偏導,（三）應用1、極值1）無條件極值:求函數(shù)zf（x,y）的極值fx解方程組ffy求出所有駐點，對于每一個駐點（xo,y。），令Afxx(x0,yo),fxyMyo),Cfyy(xo,y。)，若ACB20,A0,函數(shù)有極小值,若ACB20,A0,函數(shù)有極大值;若ACB20,函數(shù)沒有極值;若ACB20,不定。2)條件極值：求函數(shù)zf(x,y)在條件(x,y

9、)0下的極值令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函數(shù)Lx0解方程組Ly0(x,y)02、幾何應用1)曲線的切線與法平面xx(t)曲線：yy，則上'占八、M(x0,y0,z°)(對應參數(shù)為t°)處的zz(t)xx°yy。zz0切線方程為：x(t°)y(t°)z(t°)法平面方程為x(t°)(xx°)y(t°)(yy°)z(t0)(zz0)2)曲面的切平面與法線曲面：F(x,y,z)0,則xx0法線方程為：Fx(x°,y0,z0)(一)二重積分1、定義：f(x,y

10、)dlim02、性質：(6條)3、幾何意義：曲頂柱體的體積。上一點M(x0,y0,z。)處的切平面方程為:yy0zz0Fy(x0,y0,z°)Fz(x0,y0,z°)第十章重積分nf(k,k)1）直角坐標2)極坐標i(x)y2（x）axb1(y)x2(y)cyd(x,y)(x,y)（二）三重積分1、定義:f(x,y,z)dvnlimf(k,k,k)vk0k12、性質:3、計算:1)直角坐標f(x,y,z)dvdxdyDz2(x,y)zi(x,y)Eg2)f(x,y,z)dv柱面坐標bdzaDZf(x,y,z)dxdy“先二后cos3)sin球面坐標f(x,y,z)dvf(c

11、os,sin,z)dddz（三）應用曲面S:zf(x,y),(x,y)D的面積:第十二章無窮級數(shù)（一）常數(shù)項級數(shù)1、定義：1）無窮級數(shù)：UnU1U2U3Unn1n部分和：SnukU1U2U3Un,正項級數(shù)：Un,Un0n1交錯級數(shù)：（1）nUn,Un0n12）級數(shù)收斂：若nimSnS存在，則稱級數(shù)Un收斂，否則稱級數(shù)Un發(fā)散3）絕對收斂：Un|收斂，則Un絕對收斂；條件收斂：Un收斂，而|Un|發(fā)散，則Un條件收斂。定理：若級數(shù)|Un|絕對收斂，則Un必定收斂。2、性質：1）級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)后，不影響級數(shù)的收斂性；2）級數(shù)an與bn分別收斂于和s與（T,則（anbn）收斂且，其

12、和為s+（T3）在級數(shù)中任意加上、去掉或改變有限項，級數(shù)仍然收斂；4）級數(shù)收斂，任意對它的項加括號后所形成的級數(shù)仍收斂且其和不變。5）必要條件：級數(shù)Un收斂即limUn0.n正項級數(shù):Un,Un0n11)定義:1imSnnS存在；2)Unn1收斂Sn有界；3)比較審斂法：Un,Vn為正項級數(shù)，且UnVn(n1,2,3,)若Vn收斂，貝UUn收斂；若Un,J®Vn發(fā)散n1n1n1n1比較法的推論：Un,vn為正項級數(shù)，若存在正整數(shù)m，當nm時,UnkVn，而,n收斂，則Un收斂；若存在正整數(shù)m,當nm時，UnkVn，而Vn發(fā)散，則Un發(fā)散.做題步驟：找比較級數(shù)(等比數(shù)列，調(diào)和數(shù)列，p級數(shù)1/nP);比較大??；是否收斂。4) 比較法的極限形式：設Un,n為正項級數(shù)，(1) 若V1(01)，而Vn收斂，則收斂；(2) 若nim0或啊奪，而Vn發(fā)散，則Un發(fā)散.VnVnn1n1比值法：Un為正項級數(shù)，設!im二二1,則當11時，級數(shù)Un收斂；則當11時，級數(shù)昂發(fā)散；當11時，級數(shù)斗可能收斂也可能發(fā)散.根值法：Un為正項級數(shù)，設lim1,則當11時，級數(shù)Un收斂;則當l1時，級數(shù)Un發(fā)散；當l1時，級數(shù)Un可能收斂也可能發(fā)散8）極限審斂法：為正項級數(shù)，若nimnUn0或nimnUn,則級數(shù)Un發(fā)散；若存在p1，使得limnPUnl（0l），則級數(shù)Un收斂.ndn1n1交錯