定積分的換元積分法與分部積分法一

1、授課課題定積分的換元積分法與分部積分法（一）教學(xué)目標(biāo)和要求掌握定積分的換兀積分法與分部積分法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)定積分的換元積分法定積分的分部積分法教學(xué)方法情景教學(xué)法教學(xué)手段板書(shū)PPT授課時(shí)間第9周課時(shí)累計(jì)34教學(xué)過(guò)程教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容時(shí)間分配一，復(fù)習(xí)引入(1) 前面學(xué)習(xí)了定積分的求解方法也與原函數(shù)有關(guān)并且掌握了定積分的直接積分法新課：二、換元積分法定理假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a.b上連續(xù).函數(shù)x(t)滿足條件：(1) ()a.()b-(t)在.(或.)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).且其值域不越出ab則有:f(x)dx=.'f：(t).(t)dt這個(gè)公式叫做定積分的換元公式,證明由假設(shè)知f(x)在區(qū)間a.b

2、上是連續(xù).因而是可積的f(t)(t)在區(qū)間.(或.)上也是連續(xù)的.因而是可積的.假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù).貝U:f(x)dxF(b)F(a),另一方面.因?yàn)?F(t)(t).所以F(t)是f(t).f(t)(t)dtF(hJLF(t)(t)f(t)(t)的一個(gè)原函數(shù).從而)-F()F(b)-F(a)因此:f(x)dx=；f(t)(t)dt例1計(jì)算fA2x2dx(a>0),解(a2-x2dxpx*'nt02acostacostdt2=a?jcostdt=；IE02(1cos2t)dt時(shí)間分配教學(xué)步驟及教學(xué)內(nèi)容111c2sin2t(2£a2、a2_x2-.a2_a

3、2sin2t=acostdxacost當(dāng)xa時(shí)t=ZL2例2計(jì)算02cos5xsinxdx,解令tcosx.則552cos5xsinxdx=-02cos5xdcosx令COSX蕓05151611-1tdt=otdt=(6t0=6當(dāng)x0時(shí)t1當(dāng)x=2時(shí)tnn2cos5xsinxdx=_jcos5xdcosx-1cos6x3-1cos61cos60=1.606266例3計(jì)算，Jsin3x-sin5xdx,3解qsin3x-sin5xdx=Qsin2x|cosx|dx二3-3=02sin2xcosxdx-】sin2xcosxdx2二3-3二4一5=02sin2xdsinx!.：sin2xdsinx=

4、*訥2刈0-3苻刈二二2-(-2)505255;3cosx、.sin3x-sin5x=,.sin3x(1-sin2x)=sin2x|cosx|在0,上|cosx|cosx在?，冗上|cosx|例4計(jì)算f尊口dx.0、2x1t2T,+2-2t一tdt=21(t2+3)dt=2；tF3=1(皓+9)-(1均彳.232333,2x="1dxtdt當(dāng)x0時(shí)t1當(dāng)x4時(shí)t例5證明：若f(x)在_aa上連續(xù)且為偶函數(shù).則&f(x)dx=20f(x)dx.a0a證明因?yàn)閒(x)dx=f(x)dx+f(x)dx._a'，_a0而匕f(x)dxaf()dt=0f(-t)dt=ff(x)

5、dx.所以<f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dxaaa=0f(-x)f(x)dx=2f(x)dx=20f(x)dx.若f(x)在-aa上連續(xù)且為奇函數(shù).問(wèn)ff(x)dx=?.a若f(x)為奇函數(shù).則f(x)+f(x)0.從而；f(x)dx=；f(-x)f(x)dx=0.例6若f(x)在0.1上連續(xù).證明(1)pf(sinx)dx=(f(cosx)dx；(2)xf(sinx)dx=*2f(sinx)dx,0證明(1)令x=*t.貝U02f(sinx)dx=gfsin(3t)dtIT耳=02fsin(t)dt=02f(cosx)dx(2)令x=-t.貝U0xf(sinx)dx=-ga-t)fsin(兀一t)dt=0(mt)fsin(觀-t)dt=0料T)f(sint)dt=二0f(sint)dt-0tf(sint)dt-一0f(sinx)dx0xf(sinx)dx.所以0xf(sinx)dx=20f(sinx)dx.例7設(shè)函數(shù)f(x)=X；：*八.計(jì)算ff(x2)dx.pC16sX-1<x<01解設(shè)x2=t.則1f(x2炒=打睥=匕出+黑玲t(yī)-01t221141-ttan2j-2e0-tan2-2e2設(shè)x2t則dxdt當(dāng)x1時(shí)t4時(shí)t2作業(yè)布置P