實(shí)驗(yàn)Z變換離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布和頻率分析

1、實(shí)驗(yàn)三Z變換、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布和頻率分析實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求離散時(shí)間信號(hào)的z變換和z反變換;學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)；學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與其時(shí)域特性的關(guān)系;學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB進(jìn)行離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析。、實(shí)驗(yàn)儀器：電腦一臺(tái),MATLAB6.5或更高級(jí)版本軟件一套。實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析(一)離散時(shí)間信號(hào)的Z變換1.利用MATLAB實(shí)現(xiàn)z域的部分分式展開式MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供了一個(gè)對(duì)F(Z)進(jìn)行部分分式展開的函數(shù)residuez(),其調(diào)用形式為：r,p,k=residuez(num,den)式中，num和den分

2、別為F(Z)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，r為部分分式的系數(shù)向量，p為極點(diǎn)向量，k為多項(xiàng)式的系數(shù)向量【實(shí)例3-1】利用MATLAB計(jì)算F(z)的部分分式展開式。解：利用MATLAB計(jì)算部分分式展開式程序?yàn)?部分分式展開式的實(shí)現(xiàn)程序num=18;den=183-4-1;r,p,k=residuez(num,den)2.Z變換和Z反變換MATLAB的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了計(jì)算Z變換的函數(shù)ztrans()ffiZ反變換的函數(shù)iztrans(),其調(diào)用形式為F=ztrans(f)f=iztrans(F)上面兩式中，右端的f和F分別為時(shí)域表示式和z域表示式的符號(hào)表示,可應(yīng)用函數(shù)sym來(lái)實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格

3、式為S=symA式中，A為待分析的表示式的字符申，S為符號(hào)化的數(shù)字或變量。【實(shí)例3-2】求(1)指數(shù)序列anu(n)的Z變換;(2)F(z)=az2的Z反變換。z-a解(1)Z變換的MATLAB程序%Z變換的程序?qū)崿F(xiàn)f=sym('aAn);F=ztrans(f)程序運(yùn)行結(jié)果為：z/a/(z/a-1)可以用simplify()化簡(jiǎn)得到：-z/(-z+a)(2)Z反變換的MATLAB程序%Z反變換實(shí)現(xiàn)程序F=sym('a*z/(z-a)A2');f=iztrans(F)程序運(yùn)行結(jié)果為f=aAn*n(二)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分析1.系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)定義為

4、系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z變換與激勵(lì)的z變換之比，即H(z)YX(z)(3-1)如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)的有理函數(shù)表示式為:(3-2)H=#如:a1zn-a2zn-.anz.an1那么，在MATLAB中系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)就可通過(guò)函數(shù)roots得到，也可借助函數(shù)tf2zp得到,tf2zp的語(yǔ)句格式為：Z,P,K=tf2zp(B,A)其中，B與A分別表示H(z)的分子與分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。它的作用是將H(z)的有理分式表示式轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益形式，即:H(z)=k(z-z)(z-z2)(zf)(z-pi)(z-p2)(z-pn)(3-3)【實(shí)例3-3】已知一離散因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=z0.322z

5、2z0.16試用MATLAB命令求該系統(tǒng)的零極點(diǎn)。解：用tf2zp函數(shù)求系統(tǒng)的零極點(diǎn)，MATLAB源程序?yàn)锽=1,0.32;A=1,1,0.16;R,P,K=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=因此，零點(diǎn)為z=0.32，極點(diǎn)為所=0.8與p2=0.2若要獲得系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點(diǎn)分布圖，可直接應(yīng)用zplane函數(shù)，其語(yǔ)句格式為：zplane(B,A)其中，B與A分別表示H(z)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。它的作用是在Z平面上畫出單位圓、零點(diǎn)與極點(diǎn)【實(shí)例3-4已知一離散因果L系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=±"d'試用MATLAB命

6、令繪出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。解：用zplane函數(shù)求系統(tǒng)的零極點(diǎn)，MATLAB源程序?yàn)锽=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;zplane(B,A),gridonlegend(零點(diǎn)'，極點(diǎn)')title('零極點(diǎn)分布圖')程序運(yùn)行結(jié)果如圖3-1所示?？梢?，該因果系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。等極點(diǎn)分布舀圖3-1零極點(diǎn)分布圖2、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與其時(shí)域特性的關(guān)系與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用類似，在離散系統(tǒng)中，z變換建立了時(shí)域函數(shù)h(n)與z域函數(shù)H(z)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，z變換的函數(shù)H(z)從形式可以反映h(n)的部分內(nèi)在性質(zhì)。我

7、們?nèi)耘f通過(guò)討論H(z)的一階極點(diǎn)情況，來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)時(shí)域特性的關(guān)系?！緦?shí)例3-4】試用MATLAB命令畫出現(xiàn)下列系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖、以及對(duì)應(yīng)的時(shí)域單位取樣響應(yīng)h(n)的波形，并分析系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)對(duì)時(shí)域波形的影響。z(3)H3(z)=2z2-1.2z0.72(1)Hi(z)=zz0.8z(2)H2(z)=z-0.8(6)H6(s)=z1.2（7）H7（z）zz2-2z1.36(4)H4(z)=1(5)H5(z)=2一解：MATLAB源程序?yàn)閎1=1,0；a1=1,-0.8;subplot(121)zplane(b1,a1)title('極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的正實(shí)數(shù)'

8、;)subplot(122)impz(b1,a1,30);gridon;figureb2=1,0;a2=1,0.8;subplot(121)zplane（b2,a2）title（'極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)數(shù)'）subplot(122)impz(b2,a2,30);gridon;figureb3=1,0;a3=1,-1.2,0.72;subplot(121)zplane(b3,a3)title('極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的共鑰復(fù)數(shù)')subplot(122)impz(b3,a3,30);gridon;figureb4=1,0;a4=1,-1;subplot(121)zplane

9、(b4,a4)title('極點(diǎn)在單位圓上為實(shí)數(shù)1')subplot(122)impz(b4,a4);gridon;figureb5=1,0;a5=1,-1.6,1;subplot(121)zplane(b5,a5)title('極點(diǎn)在單位圓上的共鑰復(fù)數(shù)')subplot(122)impz(b5,a5,30);gridon;figureb6=1,0;a6=1,-1.2;subplot(121)zplane(b6,a6)title('極點(diǎn)在單位圓外的正實(shí)數(shù)')subplot(122)impz(b6,a6,30);gridon;figureb7=1,

10、0;a7=1,-2,1.36;subplot(121)zplane(b7,a7)title('極點(diǎn)在單位圓外的共鑰復(fù)數(shù)')subplot(122)impz(b7,a7,30);gridon;程序運(yùn)行結(jié)果分別如圖32的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示(a)(b)1.5101050-0.5510152025n(samples)(c)(d)(e)15010050510152025n(samples)2000RealPariuOJde?EE6m£-MOJdIlEIUBmuu-umdIlEcBImE_(f)極點(diǎn)在單位圓外的共輛復(fù)數(shù)5口5O.tran-t

11、?EU_6E£-(g)圖3-2系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布與其時(shí)域特性的關(guān)系從圖3-2可知，當(dāng)極點(diǎn)位丁單位圓內(nèi)時(shí)，h(n)為哀減序列；當(dāng)極點(diǎn)位丁單位圓上時(shí)，h(n)為等幅序歹0;當(dāng)極點(diǎn)位丁單位圓外時(shí)，h(n)為增幅序歹0。若h(n)有一階實(shí)數(shù)極點(diǎn)，貝Uh(n)為指數(shù)序歹0;若h(n)有一階共鑰極點(diǎn)，貝Uh(n)為指數(shù)振蕩序列；若h(n)的極點(diǎn)位丁虛軸左邊，貝Uh(n)序列按一正一負(fù)的規(guī)律交替變化。(三)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特性分析對(duì)于因果穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)，如果激勵(lì)序列為正弦序列x(n)=Asin(no)u(n),貝U系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為yss(n)=A|H(4®)|sinn。+中

12、(o)u(n)。其中，H(e)通常是復(fù)數(shù)。離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為H(e)=|H(e略)|ejV(3-4)其中，|H(ej°)|稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的幅頻特性；憐)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)的相頻特性；i.2二H(ej°)是以缶s(切s=丁，若零T=1,切s=2兀)為周期的周期函數(shù)。因此，只要分析H(ej°°)在|缶巨兀范圍內(nèi)的情況，便可分析出系統(tǒng)的整個(gè)頻率特性。MATLAB提供了求離散時(shí)間系統(tǒng)頻響特性的函數(shù)freqz，調(diào)用freqz的格式主要有兩種。一種形式為H,w=freqz(B,A,N)其中，B與A分別表示H(z)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量；N為正整數(shù)，默

13、認(rèn)值為512;返回值w包含0,兀范圍內(nèi)的N個(gè)頻率等分點(diǎn)；返回值H則是離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(e)在0兀范圍內(nèi)N個(gè)頻率處的值。另一種形式為H,w=freqz(B,A,N,'whole'與第一種方式不同之處在丁角頻率的范圍由0,兀擴(kuò)展到0,2兀。2【實(shí)例3-4】用MATLAB命令繪制系統(tǒng)H(zZ0.96Z0.9028的頻率響應(yīng)z-1.56z0.8109曲線。解：利用函數(shù)freqz計(jì)算出H(e)，然后利用函數(shù)abs和angle分別求出幅頻特性與相頻特性，最后利用plot命令繪出曲線。MATLAB源程序?yàn)閎=1-0.960.9028;a=1-1.560.8109;H,w=freqz(b

14、,a,400,'whole');Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(211)plot(w,Hm),gridonxlabel('omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude')title('離散系統(tǒng)幅頻特性曲線')subplot(212)plot(w,Hp),gridonxlabel('omega(rad/s)'),ylabel('Phase')title('離散系統(tǒng)相頻特性曲線')程序運(yùn)行結(jié)果如圖3-3所示。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、計(jì)算X(z)=離散系統(tǒng)幅頻特性曲段6423ZIMU6R51離散系統(tǒng)相頻特性曲線234&67ffl(rads)圖3-3離散系統(tǒng)頻響特性曲線1_J2_A(1-0.9z)(10.9z)|z|>0.9的Z反變換。提示：b=1;a=poly(0.90.9-0.9);r,p,k=residuez(b,a)0.250.50.25因此得到X(z)=7|z|0.91-0.9z(1-0.9z)1