實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)

1、第六講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)數(shù)是隨著客觀實(shí)際與社會(huì)實(shí)踐的需要而不斷擴(kuò)充的.從有理數(shù)到無理數(shù)，經(jīng)歷過漫長曲折的過程，是一個(gè)巨大的飛躍，由于引入無理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，這樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就建立了對(duì)應(yīng)的關(guān)系.由于引入開方運(yùn)算，完善了代數(shù)的運(yùn)算.平方根、立方根的概念和性質(zhì)，是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ).平方根、立方根是最簡單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有以下重要性質(zhì)：1.有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分?jǐn)?shù)凸的形式；無理數(shù)是p無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)9的形式，這里p、q是互

2、質(zhì)的整數(shù)，且p0.2. P有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例題求解【例1】假設(shè)a、b滿足3而5b3=7,則S=2我3b的取值范圍是.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思路點(diǎn)撥運(yùn)用而、|b的非負(fù)性，建立關(guān)于S的不等式組.注：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.但是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對(duì)角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴(yán)重地沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見解，這一事件在數(shù)學(xué)史上稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī).希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒有被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

3、的信徒所接受，相傳畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死.【例2】設(shè)a是一個(gè)無理數(shù)，且a、b滿足ab-a-b+1=0,則b是一個(gè)（）A.小于0的有理數(shù)B.大于0的有理數(shù)C.小于0的無理數(shù)D.大于0的無理數(shù)（武漢市選拔賽試題）思路點(diǎn)撥對(duì)等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，建立a或b的關(guān)系式.【例3】已知a、b是有理數(shù)，且（1巫）a（1箜）b2-1-J30求a、b的值.32412420思路點(diǎn)拔把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.【例4】（1）已知a、b為有理數(shù)，x,y分別表示5的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2=1,求a+b的值.（南昌市競賽題）設(shè)x為一實(shí)數(shù)，x

4、表示不大于x的最大整數(shù)，求滿足77.66x=77.66x+1的整數(shù)x的值.（江蘇省競賽題）思路點(diǎn)撥（1）運(yùn)用估算的方法，先確定x,y的值，再代入xy+by2=1中求出a、b的值；運(yùn)用x的性質(zhì)，簡化方程.注：設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則x表示不大于x的最大整數(shù)，x又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質(zhì)：（1）x1<x<x假設(shè)y<x,則y<x假設(shè)x為實(shí)數(shù)，a為整數(shù)，貝Ux+a=x+a.【例5】已知在等式axbs中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：cxd（1）當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；（2）當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是無理數(shù).（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

5、思路點(diǎn)撥（1）把s用只含a、b、c、d的代數(shù)式表示；（2）從以下基本性質(zhì)思考：設(shè)a是有理數(shù)，r是無理數(shù)，那么a+r是無理數(shù)；假設(shè)a乒0,則ar也是無理數(shù)；r的倒數(shù)1也是無理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運(yùn)用分式的性質(zhì)，對(duì)a、b、c、d取值進(jìn)行詳r細(xì)討論.注：要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾.學(xué)力訓(xùn)練1.已知x、y是實(shí)數(shù)，J3x4y26y90,假設(shè)axy3xy,則a=（2002年個(gè)數(shù)的平方根是a2b2和4a6b13,那么這個(gè)數(shù)是.3. 方程Jxy|5Jy180的解是.4.請(qǐng)你觀察思考以下計(jì)算過程:

6、112=121,712111;同樣.1112=12321,J12321111;由此猜想52345678987654321.（濟(jì)南市中考題）如圖，數(shù)軸上表示1、北的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A.<21B.1<2C.2<2D.422（江西省中考題）已知x是實(shí)數(shù)，則&dxJ的值是（）111A.1B.1C1D.無法確定的（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）7.代數(shù)式&VT2的最小值是（）A.0B.1而C.1D.不存在的8. （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）假設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足（ab2）2Jb2a30,求2b+a1的值.9. （山西省中考題）細(xì)心觀察

7、圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.（Ji）212,Si£；（曲）213,S2;而2122%3&云；（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OAio的長；（3）求出Si2+S22+S32+S2io的值.（煙臺(tái)市中考題）4,0,貝Ua(b+c)=已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足labV2bcc2c111.設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程(23)x(32)y40，那么x-y的值是2412. （“希望杯邀請(qǐng)賽試題）設(shè)a是一個(gè)無理數(shù)，且a、b滿足ab+ab=1,貝Ub=.13. （四川省競賽題）已知正數(shù)a、b有以下命題：假設(shè)a=1,b=1,則Vab1；假設(shè)a,b方，則va

8、b；假設(shè)a=2,b=3,則Vab;假設(shè)a=1,b=5,則Jab3.2根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，假設(shè)a=6,b=7,則據(jù).（黃岡市競賽題）已知：1a1,那么代數(shù)式-|a的值為（）aaA.當(dāng)B.£C.扃D括（重慶市競賽題）設(shè)x表示最接近x的整數(shù)（x豐n+0.5,n為整數(shù)），則%/2+/T3+<37+J100101的值為（）A.5151B.5150C.5050D.5049（“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題）設(shè)a<b<0,a2b24ab，則-b的值為（）abA.V3B.<6C.2D.314. （全國初中數(shù)學(xué)競賽題）假設(shè)a、b、c為兩兩不等的有理數(shù)，求證：J。一JJ為有

9、理數(shù).:（ab）2（bc）2（ca）218.某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質(zhì)量，當(dāng)把鐵塊放在天平左盤中時(shí),稱得它的質(zhì)量為300克，當(dāng)把鐵塊放在天平的右盤中時(shí)，稱得它的質(zhì)量為900克，求這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量.(安徽省中考題).19. 閱讀下面材料，并解答以下問題：在形如ab=N的式于中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：已知a和b,求N,這是乘方運(yùn)算，已知b和N,求a,這是開方運(yùn)算.現(xiàn)在我們研究第三種情況；已知a和N,求b,我們把這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算.定義：如果ab=N(a>0,a乒1,N>0),貝Ub叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN.(1) 例如：因?yàn)?3=8,所以log28=3;

10、因?yàn)?-3=-，所以log2-=3.88根據(jù)定義計(jì)算：log381=;log33=;log3l=;如果logx16=4，那么x=.(2) 設(shè)ax=M,ay=N,貝UlogaM=x;logaN=y(a>0,a乒1,N>0,M,N均為正數(shù)).用logAM,logAN的代數(shù)式分別表示logaMN及l(fā)ogaM,并說明理由.N20. (泰州市中考題)axb設(shè)y,a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù).求證：cxd(1) 當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；(2) 當(dāng)bc豐ad時(shí)，y是無理數(shù).設(shè)ABC的三邊分別是a、b、c,且a2c28b24ab4bc0,試求AABC的形狀.【例求解】21+Sj>

11、02y】4H河解得一虧WK至«1逸E因4點(diǎn)無再畋.故。一1/0.WI巾一1=。.博方=】（卜+*T+）+（-#-耳pjf*9J1MJ巳即尋式餐患甫因?yàn)??！?amp;是有震敷，所以va+-r*-2T1'°4-u-r5frL壽-°，5/號(hào)£W£ifaM解得<b=4二-ft4(1>72<5-77<3»Aj2iy-3-yr.Voj-y-t-Ay1=i,Z.d»2*<3-/7)+*(3-77>'=K®(-：fl-6i)y7Zu66。iI第博iJ»Jfc=*&quo

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