3.1數系的擴充

1、3.1 3.1 數系的擴充數系的擴充 請同學們回顧一下，到目前為請同學們回顧一下，到目前為止，我們學過了哪些數集？止，我們學過了哪些數集？溫溫 故故 社會生活社會生活自自然然數數無無理理數數分分數數負負數數度量單位正方度量單位正方形的對角線長形的對角線長測量、分配中測量、分配中的等分的等分為了刻畫相反為了刻畫相反意義意義 的量的量？為了計數的需要為了計數的需要？數學內部發(fā)展的需要數學內部發(fā)展的需要(1)(1)在自然數集內解方程在自然數集內解方程x+2=0 (2)(2)在整數集內解方程在整數集內解方程3x-2=0(3)(3)在有理數集內解方程在有理數集內解方程x2-2=0 方程方程 x2= -1

2、 的的解解探探 索索 無解無解 添加添加負整數負整數，在整數集內方程的根為，在整數集內方程的根為x= =- -2 2無解無解添加添加分數分數，在有理數集內方程的根為，在有理數集內方程的根為x= =_ 23無解無解添加添加無理數無理數，在，在實數集內實數集內方程的根為方程的根為x= =2方程方程 x2= -1 的的解解探探 索索 現(xiàn)在我們就引入這樣現(xiàn)在我們就引入這樣 （1 1）； （2 2） i 知新知新 動動 動動 手手 實數實數0與與單位單位 i 進行加、減、乘、除進行加、減、乘、除 運算可得到哪些數？運算可得到哪些數？ 實數實數2與與單位單位 i 進行加、減、乘、除進行加、減、乘、除 運算

3、可得到哪些數？運算可得到哪些數？ 實數實數2 2、 單位單位 i 進行加、減、進行加、減、 乘、除運算可得到哪些數？乘、除運算可得到哪些數？3abi動動 動動 手手23,23,2 32,3,23 ,322 ,3 ,(23)iiiiiii(3)(3)實數實數2 2、 單位單位 i 進行加、減、進行加、減、 乘、除運算，可得到哪些數？乘、除運算，可得到哪些數？3復數的概念復數的概念形如形如a+bi(a,bR)的數叫做的數叫做復數復數 biaz ),(RbRa 復數的代數形式復數的代數形式全體復數所形成的集合叫做全體復數所形成的集合叫做復數集復數集，通常用字通常用字母母z表示表示.一般用字母一般用字

4、母C表示表示. .知新知新 復數復數z= 能否表示實數？能否表示實數？討討 論論(0)b虛數虛數（純虛數純虛數（a=0且且b0）z= (0)b實數實數1、若、若a=0,則則z= 2、若、若z= ,則則a=0判判斷斷（假）（假）（真）（真）故故a=0是是z= 必要不充分必要不充分NZQRC 15451545年意大利有名的數學年意大利有名的數學 “怪杰怪杰” 卡丹卡丹 第一次開第一次開始始 討論討論負數開平方的問題負數開平方的問題，當時復數被他稱作，當時復數被他稱作“詭辯詭辯量量”. .幾乎過了幾乎過了100100年，年，笛卡爾笛卡爾才給這種才給這種“虛幻之數虛幻之數”取了一取了一個個名字名字虛數

5、但是又過了虛數但是又過了140140年，年，歐拉歐拉還是說這種數還是說這種數只是存在于只是存在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用i i（imaginaryimaginary，即虛幻，即虛幻的的 縮寫）來表示它的單位縮寫）來表示它的單位. .后來德國數學家后來德國數學家高斯高斯給出了復給出了復數的定義，并把復數與直角坐標平面內的點一一對應起數的定義，并把復數與直角坐標平面內的點一一對應起來來1831837 7年，愛爾蘭數學家年，愛爾蘭數學家哈密頓哈密頓用有序實數對（用有序實數對（a,b)a,b)定義了復數及其運算，并說明復數的加、乘運算滿足定義了復數及其運算，并說明復數的加、乘運算滿足實數的運算

6、律實數的運算律. .這樣歷經這樣歷經300300年的努力，數系從實數系向年的努力，數系從實數系向閱讀：復數系是怎樣建立的？閱讀：復數系是怎樣建立的？復數系的擴充才得以大功告成復數系的擴充才得以大功告成. .復數集C實數集R虛數集虛數集純純虛虛數數集集思考思考 復數集與實數集、虛數集、純虛數集復數集與實數集、虛數集、純虛數集之間有什么關系？之間有什么關系？想一想想一想 如果兩個復數相等，那么它們應滿如果兩個復數相等，那么它們應滿足什么條件呢？足什么條件呢？(), , ,a b c dRdicbia acbd復數相等復數相等00ab思考思考知新知新 若若0()abia bR、2-3i06i實部實部

7、虛部虛部分類分類2i虛數虛數2134例例 1: 1: 完成下列表格（分類一欄填完成下列表格（分類一欄填實數、虛數或實數、虛數或純虛數純虛數）i34212-3虛數虛數00實數實數06純虛純虛數數-10實數實數實數實數m取什么值時，復數取什么值時，復數 是（是（1 1）實數）實數 ？ （2 2）虛數）虛數 ？ （3 3）純虛數）純虛數 ? (4) 0 ? (4) 0 ?(1)(1)zm mmi例例 2:2: ()2(25) (3)x yxy ixx yi ,Ryx.yx 與與2523xyxxyxy23yx例例 3:3: 小結小結 N N Z Z Q Q R RC C負整數分數無理數負整數分數無理數虛數虛數1 1、數的發(fā)展歷程數的發(fā)展歷程2 2、虛數單位虛數單位 3 3、復數分類復數分類= = (0)b虛數虛數(0)b實數實數(a=0且b0時為純虛數）4 4、復數相等復數相等(), , ,a b c dRdi