平面向量中的三角形四心問題

1、i平面向量中的三角形四心問題向量是高中數(shù)學(xué)中引入的重要概念，是解決幾何問題的重要 工具。本文就平面向量與三角形四心的聯(lián)系做一個(gè)歸納總結(jié)。在給出結(jié)論及證明結(jié)論的過程中， 可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱性與推論的 相互關(guān)系。一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。 重心到頂點(diǎn)的距離與 重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。在重心確定上，有著名的 帕普斯定理。結(jié)論1:若G為/ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則GA GB GC = 6二G是三角形的重心證明：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則2GD二GB GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線B

2、E,CF上故G為厶ABC的重心B2結(jié)論2:1一 若P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，貝U PG (PA PB PC)3=G是厶ABC的重心一i -一證明：PG=彳併人PB PC)u-* -* -* =GA GB GC = 0 =G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。結(jié)論3:若H為厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心證明：HAHB二HB HC= HB (HA-HC) = 0二HBAC = 0= HB AC同理，有HA CB,HC一AB故H為三角形垂心(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC)

3、 = 03結(jié)論4:2 2 - 2 2 2 - 2若H為丄ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，貝UHA BC = HB AC = HC AB=H是厶ABC的垂心2 2 -2 2 2 2證明：由HA BC = HB CA得,HA (HB- HC)2二HB (HC - HA)2=HB HC二HC HA同理可證得，HA HB二HB HC二HC HA由結(jié)論3可知命題成立三、外心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線(中垂線)的相交點(diǎn)。用這個(gè)點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。結(jié)論5:若0是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，貝V|0A二|0B|二OCu 是厶ABC的外心 證明：由外心定義可知 命題成立結(jié)論6: 若是上ABC

4、所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則(OA OB) BA二(OB OC) CB二(OC OA) AC =O是二ABC的外心24_F_F_ 2二（OB + OC）CB = OB四、內(nèi)心（incenter）三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。結(jié)論7:若P為厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則AB + ACBA * BC（、CA丄CB鬧同=OB +入2屈岡=OC +、-3JCAOP =OA 1（九 0）二P是ABC的內(nèi)心證明：（OA OB）BA =（OA OB）（OA- OB）- O_ 2OC992故O為厶ABC的外心526證明：記AB,AC方向上的單位向量分別 為e1,e2AB ACOP =0Ai廠AP

5、二i（ee2）1|AB| |ACL由平行四邊形法則知，（ee2）在AB, AC邊夾角平分線上即P在.A平分線上同理可得，P在.B,C的平分線上故P為厶ABC的內(nèi)心結(jié)論8:若P是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則aPA bPB cPC = 0二P是厶ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)= PCaPA bPB cPC = 0= a(PD DA) b(PD DB) cPC = 0二(a b c)PC (aDA bDB)二0由于PC與DA,DB不共線，則-V- 1- a b c = 0,aDA bDB = 0DB a由角平分線定理，CD是ACB的 同理可得其他的兩條也 是平分線 故P是上ABC的內(nèi)心即DA如果我是山，就要站成一種尊嚴(yán)，讓山花燦