非線性回歸模型中擬合曲線的選擇

1、非線性回歸模型中擬合曲線的選擇1一元線性回歸模型在含有變量的系統(tǒng)中，如果自變量與因變量之間是直線或近似的直線關(guān)系，稱之為線性回歸模型。一元線性回歸模型如下：y=B0+B1x+eE（£）=0,D（£）=?滓2利用提供的數(shù)據(jù)，可由LS估計法作出B0,B1的估計值0,1，于是得到回歸方程=0+1x殘差平方和Qe=（yi-i）2越小，表示y與x的線性關(guān)系越顯著?；貧w方程的顯著性可用F檢驗法或t檢驗法或檢驗法來檢驗。2可化為線性的非線性回歸模型在實際問題中，自變量與因變量之間未必總有線性關(guān)系，回歸函數(shù)往往是比較復(fù)雜的非線性函數(shù)，但在某些情形下，可以通過對自變量與因變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將

2、一個非線性的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)關(guān)系，再用線性回歸的方法來處理。常見的情形有以下幾種：（1）雙曲線=?+；（2）冪函數(shù)y=?xb；（3）指數(shù)函數(shù)y=?ebx；（4）倒指數(shù)函數(shù)y=?e；（5）對數(shù)曲線y=?+blnx。3應(yīng)用舉例在實際應(yīng)用中，一般是由給出的數(shù)據(jù)，利用matlab軟件，先描繪出散點圖，然后根據(jù)曲線的形狀選擇一條最佳的擬合曲線，建立變量之間的回歸方程。實例：出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增大。我們希望找出使用次數(shù)與增大的的容積之間的關(guān)系。實驗數(shù)據(jù)如下：根據(jù)實測數(shù)據(jù)作出散點圖，選用雙曲線=?+，令u=,y=,得線性函數(shù)：u=?+v,由x,y的數(shù)據(jù)可得u,

3、v的數(shù)據(jù)，利用matlab可求得=0.1312，=0.0823，r=0.9683，于是得回歸方程：=0.0823+0.1312vo取a=0.01,查相關(guān)系數(shù)臨界值，r1-0.01（15-2）=r0.99（13）=0.6411，因r=0.9683>0.6411，所以回歸方程是高度顯著的。代回到原來變量得回歸方程為=0.0823+或=在上面的運算中，由于對y作了變換，故實際上所求的回歸方程是按偏差平方和（-）2達(dá)到最小求得的，但這個值最小并不說明殘差平方和Qe=（yi-i）2最小，因此所求得的回歸曲線不一定是最佳擬合曲線。如果選取倒指數(shù)曲線y=?e，作變換u=lny，y=，c=ln?可得線性函數(shù)：u=c+bv,利用數(shù)據(jù)計算結(jié)果如下：=-1.1107,=2.4579，r=-0.9795r=0.9795>0.6411=r0.99（13），所以回歸方程為=2.4578-1.1107v。高度顯著。代回到原來變量得回歸方程為：=11.679e。為比較兩個回歸方程哪個擬合得更好一些，分別求兩個模型下的殘差平方和，雙曲線回歸方程的殘差平方和Qe=1.4385,倒指數(shù)曲線