2012年西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案（理科）

1、北京市西城區(qū)2012年高三二模試卷 數(shù) 學(xué)（理科） 2012.5第卷（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1已知集合，其中若，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入如下四個(gè)函數(shù)：； ； 則輸出函數(shù)的序號為（ ）（A） （B）（C） （D）3橢圓 是參數(shù)的離心率是（ ）（A）（B）（C）（D）4已知向量，其中則“”是“”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分又不必要條件5右圖是，兩組各名同學(xué)體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖設(shè)，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為

2、和，標(biāo)準(zhǔn)差依次為和，那么（ ）（注：標(biāo)準(zhǔn)差，其中為的平均數(shù)）（A），（B），（C），（D），6已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)隨機(jī)選自區(qū)間對，的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）7某大樓共有層，有人在第層上了電梯，他們分別要去第至第層，每層人因特殊原因，電梯只允許停次，只可使人如愿到達(dá)，其余人都要步行到達(dá)所去的樓層假設(shè)這位乘客的初始“不滿意度”均為，乘客每向下步行層的“不滿意度”增量為，每向上步行層的“不滿意度”增量為，人的“不滿意度”之和記為，則的最小值是（ ）（A）（B）（C）（D）8對數(shù)列，如果及，使成立，其中，則稱為階遞歸數(shù)列給出下列三個(gè)結(jié)論： 若是等比數(shù)列，則為階遞歸數(shù)列； 若是等差數(shù)列，則為階

3、遞歸數(shù)列； 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則為階遞歸數(shù)列其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.9在中，則 _ 10已知復(fù)數(shù)滿足，則_ 11如圖，是的內(nèi)接三角形，是的切線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若，則_；_12已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)_；不等式 的解集為_ 13一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是_；若該幾何體的所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是_14曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線關(guān)于軸對稱； 若點(diǎn)在曲線上，則； 若點(diǎn)

4、在曲線上，則.其中，所有正確結(jié)論的序號是_ 三、解答題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程. 15（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求的值； （）若對于任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍16（本小題滿分14分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值； （）線段上是否存在點(diǎn)，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由 17（本小題滿分13分）甲、乙兩人參加某種選拔測試在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機(jī)抽出道題進(jìn)行測試，答對一題加分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減分，至

5、少得分才能入選（）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率18（本小題滿分13分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（）若，求直線的斜率；（）設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍20（本小題滿分13分） 若或，則稱為和的一個(gè)位排列對于，將排列記為；將排列記為；依此類推，直至對于排列和，它們對應(yīng)位置數(shù)字相同的個(gè)數(shù)減去對應(yīng)位置數(shù)字不同的個(gè)數(shù)，叫做和的相關(guān)值，記作例如，則， 若，則稱為最佳排列（）寫出所有的

6、最佳排列；（）證明：不存在最佳排列；（）若某個(gè)是正整數(shù)為最佳排列，求排列中的個(gè)數(shù)北京市西城區(qū)2012年高三二模試卷 數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2012.5一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1D； 2D； 3B； 4A； 5C； 6C； 7C； 8D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10； 11，； 12， 13，； 14 注：11、12、13第一問2分，第二問3分；14題少填不給分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 15（本小題滿分13分） （）解： 5分 （）解： 7分 8分 9分 因?yàn)?，所以 ， 10分 所以當(dāng) ，即 時(shí)，取得最大值 1

7、1分 所以 ， 等價(jià)于 故當(dāng) ，時(shí)，的取值范圍是 13分16（本小題滿分14分）（）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)椋?1分因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，所以四邊形為正方形，所?2分所以平面 3分所以 4分（）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，?，所以平面，所以 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 5分因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切危?，設(shè)，所以 所以 ，平面的一個(gè)法向量為 7分 設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為 9分 （）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有/ 平面 10分證明如下：由 ，所以設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 12分 因?yàn)?，且平面，所以 / 平面 即點(diǎn)滿足時(shí)，有/ 平面 14分

8、17（本小題滿分13分）（）解：設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為，則的可能取值為1分 ； ； 5分乙得分的分布列如下： 6分 7分（）由已知甲、乙至少答對題才能入選，記甲入選為事件，乙入選為事件.則 ， 10分 11分故甲乙兩人至少有一人入選的概率 13分18（本小題滿分13分）（）解：依題意，設(shè)直線方程為 1分將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得 3分設(shè)，所以 ， 4分因?yàn)?，所以 5分聯(lián)立和，消去，得 6分所以直線的斜率是 7分（）解：由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，得是線段的中點(diǎn)，從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于 9分因?yàn)?10分， 12分 所以 時(shí)，四邊形的面積最小，最小值是 13分19.（

9、本小題滿分14分）（）解：當(dāng)時(shí)， 2分由 ， 得曲線在原點(diǎn)處的切線方程是3分 （）解： 4分 當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 5分當(dāng)， 當(dāng)時(shí)，令，得，與的情況如下：故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是 7分 當(dāng)時(shí)，與的情況如下： 所以的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是， 9分（）解：由（）得， 時(shí)不合題意 10分 當(dāng)時(shí)，由（）得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值 設(shè)為的零點(diǎn)，易知，且從而時(shí)，；時(shí)，若在上存在最小值，必有，解得 所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 12分 當(dāng)時(shí)，由（）得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 綜上，的取值范圍是 14分20.（本小題滿分13分）（）解：最佳排列為， 3分（）證明：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，之中有個(gè)，個(gè)按的順序研究數(shù)碼變化，由上述分析可知有次數(shù)碼不發(fā)生改變，有次數(shù)碼